《機(jī)械制圖與CAD》課件-第5章

第5章立體及截交線5.1立體的三視圖5.2平面立體5.3回轉(zhuǎn)體5.4帶有切口的立體（截交線）5.5直線與立體相交（貫穿點(diǎn)） 5.1立體的三視圖

5.1.1三視圖的形成

將立體向多面投影體系的投影面作正投影得到的圖形稱為視圖。如圖5－1(a)所示的是三投影面體系，其中立體在V面的投影稱為主視圖，在H面的投影稱為俯視圖，在W面的投影稱為左視圖。將投影面展開后，省略投影軸，得到圖5－1(b)所示的圖，就稱為立體的三視圖。圖5－1三棱錐的三視圖畫立體三視圖時(shí)，應(yīng)注意：

（1）立體為回轉(zhuǎn)體或其投影圖對(duì)稱時(shí)，用細(xì)點(diǎn)畫線表示軸線和對(duì)稱中心線。

（2）可見輪廓線畫成粗實(shí)線，不可見輪廓線畫成細(xì)虛線。當(dāng)細(xì)虛線與粗實(shí)線重合時(shí)，只畫粗實(shí)線。當(dāng)細(xì)點(diǎn)畫線與細(xì)虛線重合時(shí)，只畫細(xì)虛線。5.1.2三視圖的投影規(guī)律

三視圖和三面投影圖本質(zhì)是相同的，只是繪制三視圖時(shí)省去了投影軸，因此畫圖時(shí)必須依然保持三投影間的投影規(guī)律。若約定X向的尺寸為“長(zhǎng)”，Y向的尺寸為“寬”，Z向的尺寸為“高”，則三視圖的投影規(guī)律為：

主視圖與俯視圖“長(zhǎng)對(duì)正”，主視圖與左視圖“高平齊”，俯視圖與左視圖“寬相等”。

各視圖中，主視圖反映了立體的上下和左右位置；俯視圖反映了立體的前后和左右位置；左視圖反應(yīng)了立體的前后和上下位置。

畫立體的三視圖時(shí)，為了盡量反映立體表面的實(shí)形和便于作圖，常將立體底面、對(duì)稱平面（或軸線）放置成平行或垂直于某一投影面。 5.2平面立體

5.2.1平面立體的表示法

由于組成平面立體的各表面都是平面，因此表示平面立體投影時(shí)，只需畫出立體上棱線及其交點(diǎn)的投影。作圖時(shí)，弄清平面立體上各平面和棱線與投影面的相對(duì)位置，明確它們的投影特性，便于簡(jiǎn)化作圖。

常見的平面立體有棱錐和棱柱兩種。

【例5－1】圖5－1（a）所示的三棱錐底面△ABC∥H面，畫出其三視圖。

解根據(jù)投影規(guī)律，繪出三棱錐底面△ABC、頂點(diǎn)S以及棱線SA、SB、SC的三個(gè)投影，判別可見性，即可得出三棱錐的三視圖，如圖5－1(b)所示。

由圖5－1(b)可以看出，投影的外形輪廓線總是可見的。而判別投影中外形輪廓線以內(nèi)直線的可見性，可根據(jù)線面相對(duì)位置確定。如水平投影外形輪廓線內(nèi)的三條線sa、sb、sc，可從圖5－1(b)的正面投影看，棱錐的三個(gè)棱面都高于底面，均是可見的，所以水平投影都畫成粗實(shí)線。又如SB棱線在棱錐正面投影外形輪廓線SA、SC的前方，是可見的，故正面投影s′b′畫成粗實(shí)線。

【例5－2】圖5－2所示為斜三棱柱的三視圖，分析各線段的可見性。

解因投影的外形輪廓線總是可見的，故主視圖中主要判別c′c1′

是否可見；左視圖中主要判別a″a1″是否可見；在俯視圖中，主要判別點(diǎn)a1（aa1、b1a1、c1a1三線的交點(diǎn))是否可見，如點(diǎn)a1不可見，則aa1、b1a1、c1a1均不可見。從主視圖可以看出，點(diǎn)A1為底面上的點(diǎn)，被其他棱面遮擋，故a1不可見，因此，aa1、b1a1、c1a1均畫成細(xì)虛線。也可利用兩交叉直線的重影點(diǎn)來判斷每一投影輪廓線以內(nèi)的直線的可見性。如aa1的可見性，可利用BC和AA1兩條棱線上對(duì)H面的重影點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ來判斷，因Ⅰz＞Ⅱz，故aa1不可見。包含AA1的兩個(gè)棱面□AA1BB1、□AA1CC1的水平投影也為不可見。c′c1′、a″a1″的可見性讀者自行分析。圖5－2斜三棱柱的三視圖綜上兩例可以看出，平面立體的視圖是通過棱線的投影來表示的，故平面立體表面在投影時(shí)的可見性是由其棱線投影的可見性來確定的。

棱線投影可見性的判別原則可歸納如下：

(1)各投影中的外形輪廓線總是可見的，并且是可見棱面與不可見棱面的分界線。

(2)各投影中在外形輪廓線范圍內(nèi)的直線的可見性，可按上下、左右、前后是否遮擋或交叉直線重影點(diǎn)的可見性進(jìn)行判別（圖5－2）。

(3)各投影的外形輪廓線內(nèi)，如有多條直線交于一點(diǎn)，若交點(diǎn)可見，則各直線均可見，否則各直線均不可見（圖5－2中的水平投影）。

(4)各投影中，若立體上某平面可見，則該平面上點(diǎn)、線的投影均可見；若立體上某條棱線可見，則該棱線上點(diǎn)的投影亦可見。若某一棱線的投影不可見，則以此棱線為交線的兩棱面的投影也不可見。5.2.2平面立體表面上的點(diǎn)和直線

平面立體各表面都是平面，因此在平面立體表面上取點(diǎn)和線，其實(shí)質(zhì)就是在平面內(nèi)取點(diǎn)和線。關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件，分析清楚點(diǎn)或線屬于平面立體表面的哪個(gè)平面上。同時(shí)注意這些點(diǎn)或線的投影必在該平面的同面投影內(nèi)，且它們的可見性與該平面的可見性相同。

【例5－3】如圖5－3所示，已知三棱錐表面上K點(diǎn)的正面投影和MN線段的水平投影mn，求作它們的其余投影。

解（1）由點(diǎn)K的正面投影k′（可見）可知，點(diǎn)K在三棱錐的SBC表面上，通過K點(diǎn)在SBC上作輔助線SⅠ,即可作出點(diǎn)K的另外兩個(gè)投影。在側(cè)面投影上，因SBC表面不可見，故k″也不可見，水平投影k可見。

（2）由直線MN的水平投影mn可知，其中，M點(diǎn)在三棱錐的棱SA上，N點(diǎn)在三棱錐表面SAB上。分別作出M、N點(diǎn)的正面投影和水平投影，用直線連接其同面投影即可。因表面SAB的三面投影均可見，所以MN的三面投影也都可見。圖5－3平面立體表面上取點(diǎn)、直線

5.3回轉(zhuǎn)體

5.3.1回轉(zhuǎn)體的形成

回轉(zhuǎn)體是常見的曲面立體。將母線（直線或曲線）繞軸線旋轉(zhuǎn)，即形成回轉(zhuǎn)面。由回轉(zhuǎn)面或者回轉(zhuǎn)面和平面圍成的立體稱為回轉(zhuǎn)體。工程上用得最多的回轉(zhuǎn)體是圓柱體、圓錐體、球體和圓環(huán)體（見圖5－4）。圖5－4常見回轉(zhuǎn)面和回轉(zhuǎn)體5.3.2回轉(zhuǎn)體的三視圖及其表面上的點(diǎn)和線

1．圓柱體

1)圓柱體的三視圖

圓柱體由圓柱面和上、下底平面圍成。圖5－5(a)所示為軸線垂直于H面的圓柱體，圖5－5(b)為該圓柱體的三視圖。圖5－5圓柱體的三視圖

2)可見性

以圖5－5所示為例，主視圖的可見性，以正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線為分界線，轉(zhuǎn)向輪廓素線之前的半個(gè)圓柱面為可見，后半個(gè)圓柱面為不可見；左視圖的可見性，以側(cè)面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線為分界線，轉(zhuǎn)向輪廓素線之左的半個(gè)圓柱面為可見，之右的半個(gè)圓柱面為不可見；對(duì)于俯視圖，只有頂面可見。

畫圓柱體的視圖時(shí)，應(yīng)先畫軸線及中心線，接著畫反映圓實(shí)形的投影，然后再畫其他兩個(gè)投影。

3)圓柱體表面上的點(diǎn)和線

在圓柱體表面上求作點(diǎn)的投影，就是根據(jù)已知投影，分析該點(diǎn)在圓柱體表面所處的位置，并利用圓柱面對(duì)某一投影面的積聚性和點(diǎn)的投影規(guī)律，求得點(diǎn)的其余投影。所求點(diǎn)的可見性，取決于該點(diǎn)所在圓柱體表面的可見性。

在圓柱體表面上求作線的投影，應(yīng)首先分析線的空間形狀，然后求作組成線的若干點(diǎn)的投影，最后判別可見性，連接得到線的投影。

【例5－4】已知圓柱體表面上的點(diǎn)E和線段EH的正面投影e′、e′h′，求它們的其余兩投影（圖5－6）。

解因圓柱的軸線垂直于H面，其俯視圖具有積聚性。

圖5－6(a)中，根據(jù)點(diǎn)E的正面投影e′可見，則由e′直接在前半圓周上作出水平投影e，根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律可求出點(diǎn)E的側(cè)面投影e″。因點(diǎn)E在右半圓柱面上，故e″不可見。

圖5－6（b）中，根據(jù)圓柱面的形成原理，EH線段既不是直線也不是圓弧（是一段橢圓?。?。作EH的投影時(shí)，須作出它上面的一系列點(diǎn)的投影，然后用曲線光滑連接各點(diǎn)的同面投影即可。圖中EH的水平投影與圓柱面的水平投影重合，側(cè)面投影用光滑的曲線連接，其中線段跨過圓柱面轉(zhuǎn)向輪廓素線的點(diǎn)（如M）的投影必須作出，它是線段側(cè)面投影可見與不可見的分界點(diǎn)。圖5－6圓柱體表面上取點(diǎn)、線

2．圓錐體

1)圓錐體的三視圖

圓錐體由圓錐面和底面圍成，圖5－7(a)所示圓錐體的軸線與H面垂直。圖5－7(b)為該圓錐體的三視圖。

由于圓錐體軸線垂直于H面，其俯視圖為一圓，它既是底面（實(shí)形）的投影，也是圓錐面的投影(沒有積聚性)；主視圖為一等腰三角形，其底邊是底面的積聚性投影，兩腰s′a′、s′b′是最左與最右兩條素線SA、SB的正面投影，也是主視圖的轉(zhuǎn)向輪廓素線；左視圖也為等腰三角形，底邊是底面的積聚性投影，兩腰s″c″、s″d″是最前與最后兩條素線SC、SD的側(cè)面投影，也是左視圖的轉(zhuǎn)向輪廓素線。同樣注意用細(xì)點(diǎn)畫線畫出軸線和中心線的投影。圖5－7圓錐體的三視圖

2)可見性

在圖5－7(b)所示的俯視圖中，圓錐面的投影可見，底面的投影不可見；主視圖的可見性，以正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線分界，轉(zhuǎn)向輪廓素線之前的半個(gè)圓錐面為可見，后半個(gè)圓錐面為不可見；左視圖的可見性，以側(cè)面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線分界，轉(zhuǎn)向輪廓素線之左的半個(gè)圓錐面為可見，右半個(gè)圓錐面不可見。

3)圓錐體表面上的點(diǎn)與線

因?yàn)閳A錐面的幾個(gè)投影都無積聚性，所以在圓錐面上取點(diǎn)時(shí)，需要借助圓錐面上的輔助線，即圓錐面上素線（素線法）或緯圓（緯圓法）求得點(diǎn)的其余投影。

【例5－5】已知圓錐體表面上點(diǎn)F的水平投影f和線段FH的正面投影f′h′，求它們的其余兩投影（圖5－8）。

解根據(jù)已知條件，點(diǎn)F位于主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線之前的左半部。利用素線法或緯圓法均可求解。作圖步驟如下：

（1）素線法：作圖方法見圖5－8(a)，連接sf，與底面圓周交于e，SE即為過點(diǎn)F的素線；求出s′e′及s″e(cuò)″，根據(jù)從屬性，即可在其上定出f′和f″。圖5－8圓錐體表面上的點(diǎn)與線（2）緯圓法：作圖方法見圖5－8(a)，以s為中心，sf為半徑作圓，此即過點(diǎn)F的緯圓的水平投影（水平圓），此圓與圓錐面的正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線交于點(diǎn)A，由點(diǎn)A的水平投影a定出其正面投影a′，即可作出此緯圓的正面及側(cè)面投影，并可在其上定出f′及f″。

需注意的是，圓錐面上的線除了素線和平行于投影面的圓弧之外，所有其他的線都必須作出線段上一系列點(diǎn)的投影，如圖5－8（b）所示，圖中點(diǎn)M必須作出，因?yàn)樗亲笠晥D的轉(zhuǎn)向輪廓素線上的點(diǎn)，是曲線段可見與不可見的分界點(diǎn)。除了圖中標(biāo)出的三個(gè)特殊點(diǎn)外，還應(yīng)作出若干一般點(diǎn)如Ⅰ的投影，以便光滑連接得到曲線的投影。

3．圓球體

1)圓球體的三視圖

圓球體由球面圍成，如圖5－9(a)所示。圓球的三個(gè)視圖都是圓，其直徑都等于球的直徑，如圖5－9(b)所示。需要注意是：這三個(gè)圓分別是正面投影、水平投影、側(cè)面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線的投影。球的正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線為平行于V面的球面上的最大圓A的正面投影a′，其他兩投影與相應(yīng)圓的中心線重合。球的水平投影、側(cè)面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線請(qǐng)讀者自行分析，可參見圖5－9(b)。圖5－9圓球體的三視圖

2)可見性

球體主視圖的可見性，以正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線分界，轉(zhuǎn)向輪廓素線之前的半個(gè)圓球面為可見，后半個(gè)圓球面為不可見；俯視圖的可見性，以水平投影轉(zhuǎn)向輪廓素線分界，轉(zhuǎn)向輪廓素線之上的半個(gè)圓球面為可見，之下的半個(gè)圓球面為不可見；左視圖的可見性，以側(cè)面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線分界，轉(zhuǎn)向輪廓素線之左的半個(gè)圓球面為可見，之右的半個(gè)圓球面為不可見。

3)球體表面上的點(diǎn)與線

欲求球體表面上的點(diǎn)，重要的是根據(jù)已知投影，分析該點(diǎn)在圓球體表面上的所處位置，再過該點(diǎn)在球面上作輔助緯圓(正平圓、水平圓或側(cè)平圓)，以求得點(diǎn)的其余投影。

【例5－6】已知圓球體表面上點(diǎn)E的水平投影e和線段EH的水平投影eh，求它們的其余兩投影（圖5－10)。

解（1）根據(jù)點(diǎn)E的水平投影可見，知點(diǎn)E位于球體的上半部，其求解需作輔助的水平圓。過E在球面上作輔助的水平緯圓，其水平投影是以oe為半徑的圓。該圓與正面（或者側(cè)面）投影轉(zhuǎn)向輪廓素線的交點(diǎn)確定了該圓正面（或者側(cè)面）投影的位置，其投影均積聚為直線，根據(jù)從屬性，即可作出e′及e″（見圖5－10（a））。同樣，也可以通過點(diǎn)E在球面上作輔助的正平緯圓或輔助的側(cè)平緯圓求解。圖5－10球體表面上取點(diǎn)、線（2）在球面上取線時(shí)，除了所取線段為平行圓弧外，其他的曲線段要作出線段上的一系列點(diǎn)的投影，然后用曲線依次連接各點(diǎn)的同面投影，并判別可見性。如圖5－10(b)所示。圖中N點(diǎn)和M點(diǎn)的投影必須作出，因?yàn)樗鼈兎謩e是線段EH的正面投影和側(cè)面投影可見與不可見的分界點(diǎn)。

4．圓環(huán)體

1)圓環(huán)體的三視圖

圓環(huán)體由圓環(huán)面圍成，如圖5－11(a)所示。圖5－11(b)所示為軸線垂直于H面的圓環(huán)體的三視圖。

俯視圖中的粗實(shí)線圓是圓環(huán)面上最大緯圓和最小緯圓的水平投影，也是圓環(huán)體水平投影轉(zhuǎn)向輪廓素線。用細(xì)點(diǎn)畫線表示的圓是母線圓圓心軌跡的投影。

主視圖中左邊的小圓反映母線圓ABCD的實(shí)形。粗實(shí)線的半圓弧d′a′c′是外環(huán)面正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線；細(xì)虛線的半圓弧c′b′d′為內(nèi)環(huán)面正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線。兩個(gè)小圓的上、下兩條公切線是內(nèi)、外環(huán)面分界處的圓的正面投影。圓環(huán)體的左視圖讀者可自行分析。圖5－11圓環(huán)體的三視圖

2)可見性

如圖5－11(b)所示，俯視圖的可見性，以水平投影轉(zhuǎn)向輪廓素線分界，轉(zhuǎn)向輪廓素線之上的半個(gè)環(huán)面為可見，之下的半個(gè)環(huán)面為不可見；主視圖的可見性，以外環(huán)面正面投影轉(zhuǎn)向輪廓素線分界，轉(zhuǎn)向輪廓素線之前的半個(gè)外環(huán)面為可見，之后的半個(gè)外環(huán)面與內(nèi)環(huán)面不可見。圖5－12圓環(huán)體表面上取點(diǎn)

3)圓環(huán)體表面上的點(diǎn)與線

求作圓環(huán)體表面上的點(diǎn)，通過該點(diǎn)在圓環(huán)體表面上作輔助線(與投影面平行的圓)來完成。圓環(huán)體表面上求作線的投影與圓柱體類似。

【例5－7】已知圓環(huán)體表面上點(diǎn)A、B的正面投影a′、b′，求其水平投影（圖5－12）。

解根據(jù)已知條件，因a′可見，點(diǎn)A應(yīng)在前半外環(huán)面上，a點(diǎn)有唯一解；b′不可見，點(diǎn)B可能在內(nèi)環(huán)面上，也可能在后半環(huán)面上，故b有三解?？衫眠^點(diǎn)A或點(diǎn)B作水平圓求得a、b。因點(diǎn)A和點(diǎn)B均在水平投影轉(zhuǎn)向輪廓素線之上的半個(gè)環(huán)面，故其水平投影都可見。

5.4帶有切口的立體（截交線）

在機(jī)器零件中，有很多零件是由平面截切基本立體而形成的。通常將截切立體的平面稱為截切平面，截切平面與立體的交線稱為截交線，截交線所圍成的平面圖形稱為截?cái)嗝妫Ⅲw被截切平面切出的口子稱為切口。畫圖時(shí)，為清楚地表達(dá)零件的形狀，必須正確畫出截交線即切口的投影。

立體分為平面立體與曲面立體，而截切平面與立體又有各種不同的相對(duì)位置，所以截交線的形狀也各種各樣，但任何截交線都具有以下兩個(gè)基本特性：（1）由于立體都有一定的范圍，所以截交線一定是封閉的平面圖形；

（2）既然截交線是立體表面與截切平面的交線，那么截交線上的點(diǎn)就是立體表面與截切平面的共有點(diǎn)。5.4.1平面立體的截交線

截切平面截切平面立體，截交線是封閉的平面多邊形。截交線的求解有兩種方法：一是求出相交的各棱線與截切平面的交點(diǎn)，并判別投影的可見性，然后依次相連；另一種是求出平面立體上參與相交的各棱面與截切平面的交線。具體作圖時(shí)，可根據(jù)已知條件，以作圖簡(jiǎn)便為原則，任選其中一種方法或兩種方法結(jié)合使用。

【例5－8】用正垂面P截去三棱錐的上部，求截交線的投影和截?cái)嗝娴膶?shí)形（圖5－13(a))。圖5－13三棱錐與正垂面相交

解由圖5－13(a)可知，截切平面P與三棱錐的三個(gè)棱面都相交，截交線為三角形，用求棱線與截切平面交點(diǎn)的方法求解。由于截切平面P是正垂面，故截交線的正面投影重合在正垂面的正面跡線上，跡線PV與s′a′、s′b′、s′c′的交點(diǎn)即為截交線各頂點(diǎn)的正面投影1′、2′、3′。根據(jù)點(diǎn)在直線上的投影規(guī)律，即可作出截交線各頂點(diǎn)的水平投影1、2、3及側(cè)面投影。用直線依次連接各點(diǎn)的同面投影即得所求截交線的投影，最后判別可見性。

截?cái)嗝娴膶?shí)形，可用投影變換的方法求得。此題中由于截?cái)嗝鏋檎姑?，其?shí)形用一次換面法即可求解（可參見圖5－13（b））。

【例5－9】已知帶切口四棱錐臺(tái)的正面投影，完成其水平投影及側(cè)面投影（圖5－14(a))。[JP]

圖5－14(a)所示的切口，可看做是由一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面截切后形成，故分別求出各截切平面的截交線即可。

投影作圖如圖5－14（b）所示。若水平面與四棱錐臺(tái)完全截交，則截交線為矩形，截交線頂點(diǎn)即為水平面與各棱線的交點(diǎn)。因水平面僅截棱臺(tái)的中間部分，故截交線僅有中間部分線段。水平截切平面的側(cè)面投影不可見，兩個(gè)側(cè)平面截切四棱錐臺(tái)的截交線的水平投影均積聚成一直線段，即圖中ab和a1b1。連接有關(guān)線段，即完成切口的投影。圖5－14四棱錐臺(tái)的切口解

【例5－10】

完成帶切口正四棱錐的水平投影及側(cè)面投影（圖5－15(a))。

解從給出的正面投影可知，切口是由水平面R和正垂面P共同切割四棱錐而成。四棱錐與平面R的截交線為各邊與底邊平行的正方形；與平面P的截交線為五邊形，其中ⅢⅦ、ⅣⅧ兩邊與棱線SC平行。SC棱不參與相交。

投影作圖如圖5－15(b)所示。由1′直接求得水平投影1，過1作底邊的平行線即可求得Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的水平投影，進(jìn)而求得其側(cè)面投影。由Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ三點(diǎn)的正面投影6′、7′、8′可知，它們分別屬于SA、SB、SD棱線上的點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)、線的從屬關(guān)系，可直接求出它們的側(cè)面投影，再求得其水平投影。連接有關(guān)線段，即完成切口的投影。5.4.2回轉(zhuǎn)體的截交線

平面與回轉(zhuǎn)體相交，截交線通常是一條封閉的平面曲線，特殊情況也可能是由直線和曲線或完全由直線所圍成的平面圖形。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的性質(zhì)和截切平面與回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置關(guān)系。

根據(jù)截交線的性質(zhì)，截交線上的點(diǎn)是截切平面與立體表面的共有點(diǎn)，所以求作回轉(zhuǎn)體的截交線可歸結(jié)為求截切平面與回轉(zhuǎn)體表面共有點(diǎn)的問題。其共有點(diǎn)可以通過回轉(zhuǎn)體表面上取素線或緯圓，然后作出素線或緯圓與截切平面的交點(diǎn)來求得。求曲面立體截交線的一般步驟是：

(1)根據(jù)截切平面和曲面立體的特點(diǎn)及其相對(duì)位置關(guān)系，分析截交線的形狀和投影特性；

(2)依次作出截交線上的特殊點(diǎn)（最高、最低點(diǎn)，最左、最右點(diǎn)，最前、最后點(diǎn)，可見性分界點(diǎn)）、一般點(diǎn)的各個(gè)投影；

(3)判別截交線在各投影中的可見性，依次連接各點(diǎn)；

(4)補(bǔ)畫曲面立體被截切后保留的其他輪廓線投影。

1.平面與圓柱體相交

根據(jù)截切平面與圓柱體相對(duì)位置的不同，平面截切圓柱所得截交線有橢圓、圓或矩形三種情況，如表5－1所示。表5－1圓柱體的截交線【例5－11】求正垂面截切圓柱體的截交線（圖5－16）。圖5－16正垂面截切圓柱體

解因圓柱軸線垂直于H面，其俯視圖有積聚性。截切平面P是正垂面，與圓柱軸線斜交，截交線應(yīng)為橢圓。其正面投影與P面的具有積聚性的正面投影重合，是一段直線；其水平投影與圓柱面的具有積聚性的投影重合，是一個(gè)圓。這表明截交線的兩個(gè)投影已知，故用正面、水平投影可求其側(cè)面投影。由于交線可看做是一系列點(diǎn)的集合，故作出其上一系列點(diǎn)的投影，然后依次用曲線光滑相連即可得出截交線的投影。作圖步驟如下：

（1）作截交線上的特殊點(diǎn)。如圖5－16上的A點(diǎn)（最低點(diǎn)、最左點(diǎn)、橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)）、B點(diǎn)（最高點(diǎn)、最右點(diǎn)、橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)）、C點(diǎn)（最前點(diǎn)、橢圓短軸端點(diǎn)）、D點(diǎn)（最后點(diǎn)、橢圓短軸端點(diǎn)）。

（2）作截交線上的一般點(diǎn)。如圖中的E、F點(diǎn)，按照立體表面上取點(diǎn)可求得其他投影。

（3）判定可見性，用曲線光滑連接各點(diǎn)的側(cè)面投影。

需要指出的是，當(dāng)截切平面與圓柱軸線夾角為45°時(shí)，a″b″=c″d″，側(cè)面投影為圓。

【例5－12】求作圖5－17(a)所示套筒上部切口的投影。

圖5－17求套筒上部切口的投影解由表5－1可知，圓柱面被平行于軸線和垂直于軸線的平面截切后，截交線分別為直線和圓弧。由于套筒的內(nèi)外圓柱面均被截切，因而切口部分內(nèi)外圓柱面均有直線和圓弧的截交線產(chǎn)生。

圖5－17（b）所示為實(shí)心圓柱體切口的投影：在側(cè)面投影上，圓柱面最前和最后輪廓素線在切口內(nèi)的部分被切掉，截交線（直線）向軸線方向“退縮”。

圖5－17(c)所示為圓柱筒切口的投影：其內(nèi)圓柱面的正面投影和側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓素線畫成細(xì)虛線，在側(cè)面投影上，側(cè)平面與水平面的交線在圓筒厚度（實(shí)體）方向上應(yīng)畫出一段細(xì)虛線。圖5－17求套筒上部切口的投影

2.平面與圓錐體相交

平面與圓錐面的交線有五種情況：圓、橢圓、拋物線、雙曲線及相交兩直線，如表5－2所示。表5-2

圓錐體的截交線

【例5－13】求正垂面截切圓錐后的水平投影和側(cè)面投影（圖5－18(a))。圖5－18正垂面截切圓錐體

(1)求特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的投影。其中點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，且處在圓錐面的正面輪廓素線上，Ⅲ、Ⅳ點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，其正面投影重影成一點(diǎn)，且平分1′2′，Ⅴ、Ⅵ點(diǎn)分別在圓錐面的側(cè)面輪廓素線上。Ⅲ、Ⅳ點(diǎn)的水平投影與側(cè)面投影可用輔助的緯圓法或素線法作出，圖中采用緯圓法。

（2）作一般點(diǎn)。如圖Ⅶ、Ⅷ點(diǎn)所示，用緯圓法求出。

(3)判別可見性，光滑連接各點(diǎn)的同面投影。截交線的水平投影及側(cè)面投影均可見（圖5－18(b)）。

【例5－14】求圖5－19（a)所示的圓錐體切口的投影。

由圖5－19（b）所示的正面投影可知，圓錐體切口由左、右兩側(cè)平面和一個(gè)水平面截切而成。由表5－2可知，側(cè)平面截切圓錐面的截交線為雙曲線，水平面截切圓錐面的截交線為圓。側(cè)平面與圓錐面的截交線投影作圖如圖5－19（c）所示：截交線的側(cè)面投影反映實(shí)形（雙曲線），水平投影積聚為直線。其中A、B、C是截交線上的特殊點(diǎn)，其投影必須作出，D、E是截交線上的一般點(diǎn)，圖中用緯圓法作出了它們的投影。

在圖5－19（b）中，水平截切平面與圓錐面的截交線的水平投影為前、后兩段圓弧，其中Ⅱ、Ⅲ兩點(diǎn)為兩類截交線的交點(diǎn)，稱為截交線的結(jié)合點(diǎn)。側(cè)面投影線段2″3″不可見。圖5－19圓錐切口的投影解

3.平面與球體相交

平面與球體相交，無論平面位置如何，其截交線總是圓。但由于截切平面對(duì)投影面的位置不同，所得截交線(圓)的投影卻不同。當(dāng)截切平面垂直某一投影面時(shí)，圓在此投影面上的投影為一直線；當(dāng)截切平面平行某一投影面時(shí)，圓在此投影面上的投影為反映實(shí)形的圓；當(dāng)截切平面傾斜某一投影面時(shí)，圓在此投影面上的投影為橢圓，如表5－3所示。表5－3球體的截交線

【例5－15】求作正垂面與球體的截交線（圖5－20）。

解由于截切平面為正垂面，所以截交線(圓)的正面投影重影為一直線段，水平投影和側(cè)面投影均為橢圓。作圖步驟如下：

(1)求特殊點(diǎn)。

①求橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)。點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ的水平投影1、2和側(cè)面投影1″、2″分別為水平投影和側(cè)面投影橢圓短軸的端點(diǎn)；過球心的正面投影o′向1′2′作垂線，垂足為1′2′的中點(diǎn)，此點(diǎn)即為橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的正面投影3′、4′，根據(jù)球體表面取點(diǎn)的方法即可求出其水平投影3、4和側(cè)面投影3″、4″。圖5－20正垂面截切球體②求轉(zhuǎn)向輪廓素線上的點(diǎn)。球面上對(duì)側(cè)立投影面的轉(zhuǎn)向輪廓素線與截切平面的交點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ，對(duì)水平面的轉(zhuǎn)向輪廓素線與截切平面的交點(diǎn)Ⅶ、Ⅷ，這些點(diǎn)均可利用各轉(zhuǎn)向輪廓素線的投影直接求得。

(2)用輔助平面法作出中間點(diǎn)。（圖中未畫出）。

(3)光滑連接各點(diǎn)的同面投影即為所求。

【例5－16】已知帶切口半球的正面投影，完成其水平和側(cè)面投影（圖5－21）。圖5－21帶切口的半球

解切口是由一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面切割形成的，故水平面與球面的截交線（圓?。┑乃酵队胺从硨?shí)形，其側(cè)面投影積聚為一條直線；側(cè)平面與球面的截交線（圓?。┑膫?cè)面投影反映實(shí)形，水平投影均積聚為直線；水平面與兩個(gè)側(cè)平面的交線是兩條正垂線。投影作圖如圖5－21所示。

【例5－17】求作正平面與回轉(zhuǎn)體的截交線（圖5－22）。

圖5－22正平面截切回轉(zhuǎn)體解由于截切平面為正平面，所以截交線的水平投影和側(cè)面投影分別積聚成直線；正面投影為平面曲線，且反映實(shí)形。作圖步驟如下：

(1)求特殊點(diǎn)。輔助圓中與正平面相切的圓為最小圓，切點(diǎn)為最高點(diǎn)Ⅰ，最大輔助圓即底圓，與正平面相交于Ⅱ、Ⅲ，為最低點(diǎn)，也為最左、最右兩點(diǎn)。

（2）求一般點(diǎn)。在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間作輔助水平圓，求出點(diǎn)Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ和Ⅶ。

（3）依次光滑連接這些點(diǎn)的正面投影，即得截交線的正面投影。圖5－22正平面截切回轉(zhuǎn)體解

4.平面與組合回轉(zhuǎn)體相交

以上所討論的截交線，都是單一形體被一個(gè)或幾個(gè)截切平面截切而得到的。但在實(shí)際零件上，有時(shí)會(huì)遇到多個(gè)形體組成的組合回轉(zhuǎn)體被一個(gè)或幾個(gè)截切平面截切的情況，這時(shí)截交線的求法與上述方法基本相同，其不同處是需先對(duì)組合回轉(zhuǎn)體進(jìn)行形體分析。分析該組合回轉(zhuǎn)體是由哪些基本形體組成，并確定它們的相對(duì)位置和范圍，再分別求出截切平面與各形體的截交線。

【例5－18】求機(jī)床頂尖的截交線投影（圖5－23(a)）。

由圖5－23(a)可看出，機(jī)床頂尖由圓錐與圓柱組合而成，且被水平面P和側(cè)平面Q所截切。水平面P同時(shí)截切圓錐和圓柱，其中截切圓錐的截交線為雙曲線，截切圓柱的截交線為兩條直線。Ⅱ、Ⅲ點(diǎn)是雙曲線和直線兩類截交線的結(jié)合點(diǎn)，也是圓錐與圓柱交線圓上的點(diǎn)。側(cè)平面截切圓柱的截交線為圓（一段圓?。?。圖5－23(b)示出了其截交線的投影及作圖過程。圖5－23機(jī)床頂尖的截交線解

【例5－19】求連桿頭部的截交線投影（圖5－24）。

解如圖5－24所示，連桿的頭部是由球面、環(huán)面及圓柱面組成的。球面和環(huán)面的分界線為經(jīng)過切點(diǎn)A的側(cè)平圓，環(huán)面與圓柱面的分界線為經(jīng)過切點(diǎn)B的側(cè)平面。由于截切平面為正平圓，截交線的水平投影和側(cè)面投影均重影為直線段，而本例只需求作截交線的正面投影。作圖步驟如下：

（1）截切平面與球的截交線為半徑等于R的圓，其正面投影反映實(shí)形，且畫到分界線的點(diǎn)1′處為止。截切平面與環(huán)面的截交線為一平面曲線，通過水平投影可直接得到它的最右點(diǎn)Ⅱ(2，2′，2″)；（2）用輔助側(cè)平面在點(diǎn)Ⅰ和Ⅱ之間求出若干一般點(diǎn)。圖中用輔助平面P求出點(diǎn)Ⅲ(3，3′，3″)；

（3）依次光滑連接這些點(diǎn)的正面投影。圖5－24連桿頭部的截交線 5.5直線與立體相交（貫穿點(diǎn)）

直線與立體表面的交點(diǎn)稱為貫穿點(diǎn)，如圖5－25所示。一般情況下，貫穿點(diǎn)是成對(duì)存在的，一個(gè)為穿入點(diǎn)，一個(gè)為穿出點(diǎn)。貫穿點(diǎn)既在立體表面上又在直線上，是立體表面與直線的共有點(diǎn)。因此，求直線對(duì)立體貫穿點(diǎn)的方法同求直線與平面交點(diǎn)的方法類似，都是求線、面的共有點(diǎn)問題。

需要注意的是，求出貫穿點(diǎn)后，還應(yīng)根據(jù)直線與立體的相對(duì)位置關(guān)系，判別直線的可見性。直線貫穿于立體內(nèi)部的部分不畫出。圖5－25直線與立體相交5.5.1利用積聚性求貫穿點(diǎn)

【例5－20】求直線AB與三棱柱的貫穿點(diǎn)（圖5－26）。

解三棱柱棱面的水平投影具有積聚性，上下底面的正面投影具有積聚性。利用積聚性投影可直接求出貫穿點(diǎn)。作圖步驟如下：

(1)求貫穿點(diǎn)。從水平投影可知直線AB與三棱柱的DE棱面和DF棱面的積聚投影分別相交于m和n，它們就是直線AB與三棱柱的貫穿點(diǎn)M和N的水平投影，利用從屬關(guān)系即可求得貫穿點(diǎn)的正面投影m′和n′。

(2)判別可見性。貫穿點(diǎn)是否可見，要看該點(diǎn)所在的表面是否可見。因?yàn)辄c(diǎn)M所在的棱面的正面投影可見，故m′可見；點(diǎn)N所在的棱面的正面投影不可見，所以n′不可見。

(3)補(bǔ)畫投影圖。將直線的投影分別畫至貫穿點(diǎn)的投影，AB的正面投影被遮擋的部分用細(xì)虛線畫至n′(圖5－26）。圖5－26直線與三棱柱相交圖5－27直線與圓柱相交

【例5－21】求直線AB與圓柱的貫穿點(diǎn)（圖5－27）。

解因圓柱軸線垂直于水平面，故其水平投影有積聚性。圓柱的上、下底圓為水平面，其正面投影具有積聚性。作圖步驟如下：

(1)求貫穿點(diǎn)。AB直線的水平投影ab與圓柱面水平投影(積聚為圓)之交點(diǎn)k即為貫穿點(diǎn)K的水平投影，利用從屬關(guān)系可直接在a′b′上得出點(diǎn)K的正面投影k′。AB直線的正面投影a′b′與圓柱上頂面的正面投影(積聚為直線)之交點(diǎn)m′即為另一貫穿點(diǎn)M的正面投影，并由其可確定出水平投影m。

(2)判別可見性。因?yàn)辄c(diǎn)K位于后半個(gè)圓柱面上，故正面投影k′不可見。

(3)補(bǔ)畫投影圖。將AB直線的正面投影a′b′與圓柱正面投影重合部分畫成細(xì)虛線至k′，其余均畫成粗實(shí)線。兩貫穿點(diǎn)之間不畫