2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教B版必修第四冊教學(xué)課件 第十一章-11.1.3 多面體與棱柱 11.1.4棱錐與棱臺

11.1.311.1.4多面體與棱柱棱錐與棱臺第十一章1.認識多面體、棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.2.能運用結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).3.了解多面體表面積的概念，知道棱柱、棱錐、棱臺表面積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.重點：概括多面體、棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.難點：特殊棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征的辨析及有關(guān)計算問題.學(xué)習(xí)目標一般地，由若干個平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體.圍成多面體的各個多邊形稱為多面體的

，相鄰兩個面的公共邊稱為多面體的

，棱與棱的公共點稱為多面體的

.一、多面體一個多面體中，連接同一面上兩個頂點的線段，如果不是多面體的棱，就稱其為多面體的

；連接不在同一面上兩個頂點的線段稱為多面體的

.面棱頂點面對角線體對角線新知學(xué)習(xí)一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形（包含它的內(nèi)部），稱為這個幾何體的一個截面.多面體所有面的面積之和稱為多面體的

（或全面積）.表面積有兩個面互相平行，且該多面體的頂點都在這兩個面上，其余各面都是平行四邊形，這樣的多面體稱為棱柱.棱柱的兩個互相平行的面稱為棱柱的

（底面水平放置時，分別稱為上底面、下底面），其他各面稱為棱柱的

，兩個側(cè)面的公共邊稱為棱柱的

.二、棱柱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤膺^棱柱一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）稱為棱柱的

.棱柱所有側(cè)面的面積之和稱為棱柱的

.如果棱柱的側(cè)棱垂直于底面，則可知棱柱所有的側(cè)面都是長方形，這樣的棱柱稱為直棱柱（不是直棱柱的棱柱稱為斜棱柱）.特別地，底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.棱柱可以按底面的形狀分類，例如底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱，可分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱.高側(cè)面積底面是平行四邊形的棱柱也稱為

.側(cè)棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體.底面是矩形的直平行六面體就是以前我們學(xué)過的長方體，而棱長都相等的長方體就是正方體.在平行六面體中，相對的面都是

的.棱柱可以用底面上的頂點來表示.圖（1）所示的棱柱可表示為棱柱ABC-A′B′C′，圖（2）所示的棱柱可表示為棱柱AC1.互相平行（1）（2）平行六面體如果一個多面體有一個面是多邊形，且其余各面都是有一個公共頂點的三角形，則稱這個多面體為棱錐.棱錐中，是多邊形的那個面稱為棱錐的

，有公共頂點的各三角形稱為棱錐的

，各側(cè)面的公共頂點稱為棱錐的

，相鄰兩側(cè)面的公共邊稱為棱錐的

.棱錐可以按底面的形狀分類，例如底面是三角形、四邊形、五邊形的棱錐，可分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐.三、棱錐底面?zhèn)让骓旤c側(cè)棱棱錐可以用頂點與底面各頂點的字母來表示.如圖所示的是一個四棱錐，這個四棱錐可以記作棱錐P-ABCD或棱錐P-AC.過棱錐的頂點作棱錐底面的垂線，所得到的線段（或它的長度）稱為棱錐的高.棱錐所有側(cè)面的面積之和稱為棱錐的側(cè)面積.如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為

.正棱錐的側(cè)面都全等，而且都是等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高也都相等，稱為棱錐的

.正棱錐斜高一般地，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，所得截面與底面間的多面體稱為棱臺.原棱錐的底面與截面分別稱為棱臺的

與

，其余各面稱為棱臺的

，相鄰兩側(cè)面的公共邊稱為棱臺的

.棱臺可用上底面與下底面的頂點表示.如圖所示的棱臺ABCD-A1B1C1D1.四、棱臺下底面上底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤馔庵粯?，過棱臺一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）稱為棱臺的

.棱臺所有側(cè)面的面積之和稱為棱臺的側(cè)面積.棱臺可以按底面的形狀分類：三棱臺、四棱臺…….由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.正棱臺上、下底面都是正多邊形，兩者中心的連線是棱臺的高；而且，正棱臺的側(cè)面都全等，且都是等腰梯形，這些等腰梯形的高也都相等，稱為棱臺的

.高斜高例1一多面體觀察如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是

（）A.該幾何體是一個多面體B.該幾何體有12條棱，6個頂點C.該幾何體有8個面，并且各面均為三角形D.該幾何體有9個面，其中有一個面為四邊形，其余各面為三角形【解析】觀察所給幾何體，由其結(jié)構(gòu)特征可知它是一個多面體，有6個頂點，12條棱，8個面，且8個面均為三角形.【答案】D例2如圖①②③所示的平面圖形，沿相鄰多邊形的公共邊折疊能折疊成什么樣的立體圖形？

①

②

③【解】圖①中有兩個面是全等的五邊形，其他各面都是矩形，故圖①能折成五棱柱；圖②中有一個面是五邊形，其他各面都是三角形，故圖②能折成五棱錐；圖③中有三個面是梯形，有兩個面是相似的三角形，故圖③能折成三棱臺.1.變式訓(xùn)練下列說法中正確的是

（）A.各個面都是三角形的多面體是四面體B.一個多面體至少有三個面C.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D.九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形D2.下圖中的圖形經(jīng)過折疊不能圍成棱柱的是

（）DABCD例1二

棱柱圖所示的棱柱ABCD-A1B1C1D1可以由矩形

（填序號）平移得到.①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1.【解】結(jié)合棱柱的定義可知，棱柱ABCD-A1B1C1D1可由矩形ABCD或A1B1C1D1或A1B1BA或D1C1CD或A1D1DA或B1C1CB平移得到，結(jié)合選項可知①②③正確.【答案】

①②③例2給出下列說法：①棱柱中互相平行的兩個面稱為棱柱的底面；②棱柱中相鄰兩個面的公共邊稱為側(cè)棱；③一般地，由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體稱為棱柱；④有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；⑤棱柱的任何兩個平行平面都可以作為棱柱的底面.其中正確說法的序號是

.【解析】

①錯誤，因為存在兩個側(cè)面互相平行的棱柱，比如正方體.②錯誤，因為只有相鄰側(cè)面的公共邊才稱為棱柱的側(cè)棱，而底面和側(cè)面的公共邊只是棱柱的棱，不是棱柱的側(cè)棱.③正確，符合棱柱的定義.④錯誤，如圖所示的幾何體滿足條件，但它不是一個平面多邊形沿某一方向平移形成的幾何體，所以它不是棱柱.⑤錯誤，如圖，過BC的截面截取長方體的一部分，所得幾何體是棱柱，因為它符合棱柱定義的三個條件，該棱柱有兩對平行平面，只有一對可以作為棱柱的底面.【答案】

③1.變式訓(xùn)練下列關(guān)于棱柱的說法中，正確說法的個數(shù)是（）①四棱柱是平行六面體；②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱；④底面是正多邊形的棱柱是正棱柱.A.1 B.2 C.3 D.4A2.下列關(guān)于棱柱的說法，正確的序號是

.①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③所有的面都是四邊形；④棱柱被平面截成的兩部分可以都是棱柱.④解題歸納幾種常見的四棱柱之間的關(guān)系例1三

棱錐下列描述中，不是棱錐的特征的是

.①三棱錐有四個面是三角形；②棱錐都有兩個面是互相平行的多邊形；③棱錐的側(cè)面都是三角形；④棱錐的側(cè)棱交于一點；⑤棱錐的底面一定是平行四邊形；⑥棱錐的底面一定是三角形.【解析】根據(jù)棱錐的特征，知棱錐的側(cè)面必為三角形且有一個公共頂點，故①③④符合棱錐的特征.根據(jù)棱錐的特征，可知②錯誤，棱錐的任何兩個面都不平行.棱錐的底面是多邊形，故⑤⑥不符合棱錐的特征.【答案】②⑤⑥例2畫一個三棱錐.【解】如圖所示，畫三棱錐可分三步完成.第一步：畫底面——畫一個三角形；第二步：確定頂點——在底面外任取一點；第三步：畫側(cè)棱——連接頂點與底面三角形各頂點，將被遮擋的線畫成虛線.解題歸納畫棱錐的步驟（1）畫底面：畫出底面多邊形.（2）確定頂點：在底面的上方取一個符合要求的空間點.（3）畫側(cè)棱：順次連接底面多邊形的頂點與棱錐的頂點.變式訓(xùn)練下列說法正確的是

.①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；②三條側(cè)棱都相等的三棱錐是正三棱錐；③棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐；④若一個棱錐的各棱長均相等，則該棱錐一定不是六棱錐；⑤三棱錐的任何一個面均可作為底面.④⑤例1四棱臺如圖所示的幾何體是棱臺嗎？如何判斷？【解】都不是.第一個幾何體的上下底面不平行，第二個幾何體上下底面不平行且側(cè)棱延長后沒有交于一點，都不符合棱臺的結(jié)構(gòu)特征.例2下列結(jié)論中正確的有

個.①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是棱臺.【解析】

①中的平面不一定平行于底面，故①錯誤；②③可用反例去驗證，如圖所示，故②③錯誤.三幾何體的計算問題例1

【解題提示】（思路1）用“補形法”，將棱臺還原為棱錐，結(jié)合平面幾何知識求解.（思路2）依題意，作出棱臺的對角面，化為平面幾何中的計算問題求解.

解題歸納“補形法”解臺體中的計算問題與臺體有關(guān)的計算問題，常利用“補形法”將臺體還原為錐體，并結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求解.利用了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.正棱臺中的直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺如圖（以正四棱臺為例），O1，O分別為上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，則E1E為斜高.（1）斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1.（2）斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO.（3）高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1.變式訓(xùn)練

解題歸納正棱錐中的直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖（以正四棱錐為例），其高為PO，底面為正方形，作PE⊥CD于E，則PE為斜高.（1）斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△PEC.（2）斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POE.（3）側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POC.四柱、錐、臺體的表面積的計算例1如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為

.【解題提示】判斷幾何體的形狀，利用棱錐的側(cè)面積轉(zhuǎn)化求解即可.

解題歸納棱柱、棱錐、棱臺的表面積的求解方法棱錐及棱臺的表面積計算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長等構(gòu)