邏輯學(xué)導(dǎo)論 第10章 量化理論

邏

輯

學(xué)導(dǎo)論（第15版）IntroductiontoLogicPPT制作湖南師范大學(xué)

彭道林

[美]歐文·M.柯匹[美]卡爾·科恩著[加]維克多·羅迪奇張建軍潘天群頓新國等譯10第10講量化理論目錄Contents對量化的呼喚第一節(jié)全稱量詞和存在量詞第三節(jié)傳統(tǒng)主-謂命題第四節(jié)有效性證明第五節(jié)第二節(jié)無效性證明第六節(jié)非三段論推論第七節(jié)單稱命題一、對量化的呼喚1.已有方法的局限性對于一個(gè)由簡單命題構(gòu)成的有效論證，其論證的有效性是基于前提的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，已有的技術(shù)還無法揭示這種內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)。有效三段論AAA-1：所有人都是有死的。蘇格拉底是人。因此，蘇格拉底是有死的。AH∴M命題邏輯給出的邏輯技術(shù)：只能檢驗(yàn)完全基于簡單陳述真值函項(xiàng)性地結(jié)合為復(fù)合陳述所構(gòu)成的演繹論證的有效性。符號化無效論證！一、對量化的呼喚2.量化的意義命題邏輯與謂詞邏輯通過量詞，命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、主項(xiàng)和謂項(xiàng)的關(guān)系就可以得到處理。通過量化得到的復(fù)合陳述可以被轉(zhuǎn)化為(再一次利用量化理論)非復(fù)合形式的陳述。繼而，使用基本論證形式和替換規(guī)則來做推論，證明有效性或無效性。量化能將非復(fù)合的前提翻譯為復(fù)合陳述，而不丟失其含義。1.已構(gòu)建的演繹方法仍然是基礎(chǔ)。2.量詞不會(huì)修改推論規(guī)則。二、單稱命題有些謂項(xiàng)是形容詞或者是動(dòng)詞，這種區(qū)別并不重要，關(guān)鍵性的第一步就是要區(qū)分主項(xiàng)和謂項(xiàng)，區(qū)分個(gè)體和個(gè)體具有的屬性。主項(xiàng)指稱某特定個(gè)體，謂項(xiàng)指謂該個(gè)體所具有的某種屬性。日常語法和傳統(tǒng)邏輯都一致地把“蘇格拉底”劃為主項(xiàng)，把“人”劃為謂項(xiàng)?！疤K格拉底是人?！币粋€(gè)肯定的單稱命題斷言：一個(gè)特定個(gè)體具有某種特定屬性?！皞€(gè)體”不僅可以用來指人，還可以指事物。1.主項(xiàng)和謂項(xiàng)用兩種不同的符號來指稱個(gè)體和其屬性。二、單稱命題約定：把謂述符號直接寫在個(gè)體符號的左邊。謂述符號：大寫字母符號化個(gè)體可能具有的屬性：H、M、F、W分別符號化屬性是人、有死的、胖的、聰明的。個(gè)體常元：a到w的小寫字母來指謂個(gè)體，字母s、a、b、c指稱蘇格拉底、亞里士多德、巴西、芝加哥。Hs：蘇格拉底是人Hc：芝加哥是人Wa：亞里士多德很聰明2.單稱命題符號化Wb：巴西很聰明Fs：蘇格拉底是個(gè)胖子Fc：芝加哥很胖二、單稱命題命題函項(xiàng)Hx：(1)含有一個(gè)謂述符號和個(gè)體變元;(2)當(dāng)一個(gè)個(gè)體常元代入個(gè)體變元時(shí)，它就變成一個(gè)命題。當(dāng)從a到w的各個(gè)字母——個(gè)體常元——中的某一個(gè)出現(xiàn)在x的位置的時(shí)候，就得到了一個(gè)單稱命題。個(gè)體變元：符號Hx是所有以“是人”作為個(gè)體屬性的單稱命題的共同模式，其中，字母x只是一個(gè)位置標(biāo)示，即個(gè)體變元。命題函項(xiàng)自身并不是一個(gè)命題，任何單稱命題都是一個(gè)命題函項(xiàng)或真或假的代入例，是用個(gè)體常元代入該命題函項(xiàng)中的個(gè)體變元所產(chǎn)生的。3.個(gè)體變元、命題函項(xiàng)與簡單謂述Hx、Mx、Fx、Wx、Bx……簡單謂述：一個(gè)有真代入例和假代入例的命題函項(xiàng)，并且每個(gè)代入例都是一個(gè)單稱肯定命題。三、全稱量詞和存在量詞每個(gè)事物都是有死的。有些事物是美麗的。普遍命題：包含謂項(xiàng)，但主項(xiàng)不具體指涉任何特殊的個(gè)體。一個(gè)普遍命題可以用多種不同的邏輯等價(jià)方式表示。1.普遍命題所有事物都是有死的。給定任一個(gè)體事物，它都是有死的。至少存在這樣一個(gè)事物，它是美麗的。三、全稱量詞和存在量詞對于普遍命題的多種邏輯等價(jià)式：每個(gè)事物都是有死的。所有事物都是有死的。給定任一個(gè)體事物，它都是有死的。給定任何x，x是有死的。Mx是命題函項(xiàng)，并非命題。但它包含在一個(gè)表述中，該表述是一個(gè)命題。短語“給定任何x”用符號“（x）”——全稱量詞——表示。命題符號化：（x）Mx。2.全稱量詞給定任何x，Mx。所有事物都是有死的。三、全稱量詞和存在量詞對于普遍命題的多種邏輯等價(jià)式：有些事物是美麗的。至少存在這樣一個(gè)事物，它是美麗的。至少存在這樣一個(gè)x，x是美麗的。包含命題函項(xiàng)Bx的表述是一個(gè)命題。短語“至少存在這樣一個(gè)x”用符號“(?x)”——存在量詞——表示。命題符號化：(?x)Bx。3.存在量詞至少存在這樣一個(gè)x，Bx。有些事物是美麗的。三、全稱量詞和存在量詞一個(gè)命題函項(xiàng)的全稱量化式(x)Mx為真，當(dāng)且僅當(dāng)，它的所有代入例都為真。一個(gè)命題函項(xiàng)的存在量化式(?x)

Mx為真，當(dāng)且僅當(dāng)，它至少有一個(gè)真代入例。命題可以用列舉方法從命題函項(xiàng)生成，即通過用個(gè)體常元代人個(gè)體變元；或者可以用概括方法生成，即在命題函項(xiàng)的前面放一個(gè)全稱量詞或存在量詞。4.列舉與概括一個(gè)非常弱的假定：每個(gè)命題函項(xiàng)必定至少有一個(gè)或真或假的代入例。在這種假定下，如果一個(gè)命題函項(xiàng)的全稱量化式為真，那么它的存在量化式也必定為真。即，如果每個(gè)x都是M，那么，如果至少存在一個(gè)事物，則這個(gè)事物是M。三、全稱量詞和存在量詞5.否定普遍命題對于否定普遍命題：沒有任何事物是完美的。每個(gè)事物都是不完美的。給定不管任何事物，它不是完美的。給定任何x，x是不是完美的。在命題函項(xiàng)~Px之前加上全稱量詞將命題符號化：（x）~Px。給定任何x，~Px。沒有任何事物是完美的。三、全稱量詞和存在量詞對于否定普遍命題：有些事物不是完美的。至少存在這樣一個(gè)事物，它是不完美的。至少存在這樣一個(gè)x，x是不完美的。在命題函項(xiàng)~Px之前加上存在量詞將命題符號化：(?x)~Px。至少存在這樣一個(gè)x，~Px。有些事物不是完美的。5.否定普遍命題三、全稱量詞和存在量詞1.(全稱)普遍命題“每個(gè)事物都是有死的”，被否定的(存在)普遍命題“有些事物不是有死的”否定。即(x)Mx被(?x)

~Mx否定，因?yàn)樗鼈兠總€(gè)都是另一個(gè)的否定，下述雙條件陳述是邏輯真的:~(x)Mx

(?x)

~Mx2.“每個(gè)事物都是有死的”正好表示了“不存在任何不是有死的事物”所表示的東西[(全稱)普遍命題否定了(存在)否定命題]——表述成另一個(gè)邏輯真的雙條件陳述:(x)Mx

~(?x)

~Mx全稱量化和存在量化之間的重要邏輯等價(jià)關(guān)系：6.邏輯等價(jià)關(guān)系≡T≡T三、全稱量詞和存在量詞3.否定的(全稱)普遍命題“沒有任何事物是有死的”，被(存在)普遍命題“有些事物是有死的”否定：~(x)~Mx

(?x)

Mx4.“每個(gè)事物都不是有死的”正好表示了“不存在任何有死的事物”——即另一個(gè)邏輯真的雙條件陳述:(x)~Mx

~(?x)

Mx全稱量化和存在量化之間的重要邏輯等價(jià)關(guān)系：6.邏輯等價(jià)關(guān)系≡T≡T三、全稱量詞和存在量詞以符號ф替換示例謂詞M，代表任何簡單謂詞，可列出下面這四個(gè)雙條件陳述式:[~(x)фx]

(?x)~фx(x)фx

[~(?x)~фx][~(x)~фx]

(?x)фx

(x)~фx

[~(?x)

фx]任何一個(gè)否定符在量詞之前的命題都可以用另一個(gè)與其邏輯等價(jià)但量詞前面沒有否定符的命題替換之。6.邏輯等價(jià)關(guān)系≡T≡T≡T≡T三、全稱量詞和存在量詞全稱量化和存在量化之間的一般關(guān)系可用方陣進(jìn)行圖示化描述：6.邏輯等價(jià)關(guān)系2.頂端的兩個(gè)命題是反對關(guān)系：可同時(shí)為假但不能同時(shí)為真。4.在方陣的每側(cè)，下面命題的真被它正上方命題的真所蘊(yùn)涵。3.底端的兩個(gè)命題是下反對關(guān)系：可同時(shí)為真但不能同時(shí)為假。1.對角線相反兩端是矛盾關(guān)系：它們中一個(gè)為真，則另一個(gè)必定為假。四、傳統(tǒng)的主——謂命題傳統(tǒng)的四類命題：[全稱肯定:A]：所有人是有死的[全稱否定:E]：沒有人是有死的[特稱肯定:I]：

有些人是有死的[特稱否定:O]：有些人不是有死的對于傳統(tǒng)的主謂命題的符號化需要進(jìn)一步擴(kuò)大命題函項(xiàng)的概念。1.傳統(tǒng)的四類命題四、傳統(tǒng)的主——謂命題A命題也有多種邏輯等價(jià)式：所有人是有死的。給定不管任何事物，如果它是人，它是有死的。給定任何x，如果x是人，x是有死的。A命題是以一種新的命題函項(xiàng)的全稱量化式，Hx?Mx是一個(gè)命題函項(xiàng)，它以前后件具有相同主項(xiàng)的單稱命題構(gòu)成的條件陳述作為代入例。給定任何x，x是人?x是有死的。（x）（Hx?Mx）2.四類命題的量化四、傳統(tǒng)的主——謂命題E命題的量化：沒有人是有死的。給定不管任何事物，如果它是人，它不是有死的。給定任何x，如果x是人，x不是有死的。E命題是命題函項(xiàng)Hx?~Mx的全稱量化式，它同樣以前后件具有相同主項(xiàng)的單稱命題構(gòu)成的條件陳述作為代入例。給定任何x，x是人?x是有死的。（x）（Hx?~Mx）2.四類命題的量化四、傳統(tǒng)的主——謂命題I命題的量化：有人是有死的。至少存在一個(gè)事物，它是人并且它是有死的。至少存在一個(gè)x，x是人并且x是有死的。I命題是命題函項(xiàng)Hx·Mx的存在量化式，它以具有相同主項(xiàng)的單稱命題構(gòu)成的合取作為代入例。至少存在一個(gè)x，x是人·x是有死的。(?x)（Hx·Mx）2.四類命題的量化四、傳統(tǒng)的主——謂命題O命題的量化：有人不是有死的。至少存在一個(gè)事物，它是人并且它不是有死的。至少存在一個(gè)x，x是人并且x不是有死的。O命題是命題函項(xiàng)Hx·~Mx的存在量化式，它同樣以具有相同主項(xiàng)的單稱命題構(gòu)成的合取作為代入例。至少存在一個(gè)x，x是人·x不是有死的。(?x)（Hx·~Mx）2.四類命題的量化四、傳統(tǒng)的主——謂命題任何以具有相同主項(xiàng)的單稱命題為分支陳述的真值函項(xiàng)復(fù)合命題，都可以看做由某些或所有真值函項(xiàng)聯(lián)結(jié)詞(圓點(diǎn)號、楔劈號、馬蹄號、三杠等值號和波浪號)加之簡單謂詞(Ax、Bx、Cx、D.....）所構(gòu)成的命題函項(xiàng)的代人例。符號公式(x)（Hx?Mx）不僅是對標(biāo)準(zhǔn)形式的命題“所有H's都是M's"的翻譯，而且是對任何一個(gè)有同樣含義的自然語言句子的翻譯。3.四類命題量化的總結(jié)符號邏輯在認(rèn)知或信息方面比自然語言優(yōu)越，然而，在修辭力或詩意表述力上，毫無疑問是處于劣勢的。四、傳統(tǒng)的主——謂命題用希臘字母ф和ψ表示任何一個(gè)謂詞：A命題：(x)[фx?ψx]E命題：(x)[фx?~ψx]I命題：(?x)[фx·ψx]O命題：(?x)[фx·~ψx]傳統(tǒng)邏輯的四個(gè)主謂型普遍命題的方陣：3.四類命題量化的總結(jié)矛盾關(guān)系四、傳統(tǒng)的主——謂命題從A命題的真不能推出I命題的真：當(dāng)Фx是一個(gè)沒有真代入例的命題函項(xiàng)，Фx?ψx為真，而Фx·ψx為假。同理，E命題真，O命題可能假。原因：A命題和E命題僅斷言，如果有某事，則有另外一件事；I命題和O命題卻假定某物存在，它們中的存在量詞是區(qū)別的關(guān)鍵所在。4.存在含義從一個(gè)并不斷言或假定任何事物存在的命題推出某物的存在，顯然是錯(cuò)誤的。四、傳統(tǒng)的主——謂命題在弱假定——至少存在一個(gè)個(gè)體——下，(x)[фx?ψx]的真的確蘊(yùn)含了(?x)[фx?ψx]的真，但(?x)[фx?ψx]并不是I命題——(?x)[фx·ψx]。自然語言中，被符號化為(?x)[фx?ψx]的命題，可以被理解為“至少存在一個(gè)如此這般的事物，如果它是鳳凰，那么它是漂亮的"。該命題只有兩種情況下是假的：4.存在含義第一，如果根本不存在個(gè)體。第二，如果所有個(gè)體都是鳳凰，并且它們當(dāng)中沒有一個(gè)是漂亮的。通過一個(gè)顯然真且明確的假定——宇宙中至少存在一個(gè)個(gè)體，可以排除第一種情形。第二種情形是如此極端地不合理，以致與I命題(?x)[фx·ψx]的重要性相反，因此，任何形如(?x)[фx?ψx]的命題都必定是非常平庸的。四、傳統(tǒng)的主——謂命題自然語言中A命題“所有人是有死的”和I命題“有些人是有死的”的區(qū)別：4.存在含義第一，因初始詞“所有”和“有些”的不同而在量化上的區(qū)別：全稱量化和存在量化。第二，它們是不同的命題函項(xiàng)——фx?ψx以及фx·ψx。A命題和I命題并不像它們在自然語言中看起來那么相似，它們之間的區(qū)別可通過使用命題函項(xiàng)符號和量詞符號得以彰顯。四、傳統(tǒng)的主——謂命題范型公式：否定符號只作用于簡單謂述的公式。否定符號作用于簡單謂述的公式是最方便的。通過邏輯等價(jià)和推論規(guī)則可以移動(dòng)在量詞之前的否定符號，使其不再作用于復(fù)合表達(dá)式，而只作用于簡單謂述。5.范型公式~(???)[Fx·~Gx]第四個(gè)邏輯等價(jià)式：（x）~[Fx·~Gx]德摩根律：（x）（~Fx∨~~Gx）雙重否定：（x）（~Fx∨Gx）實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含：（x）[Hx?Mx]四個(gè)邏輯等價(jià)式:

[~(x)фx]

(?x)~фx

(x)фx

[~(?x)~фx]

[~(x)~фx]

(?x)фx

(x)~фx

[~(?x)

фx]O命題的否定A命題≡T≡T≡T≡T五、有效性證明1.新增規(guī)則：全稱列舉原則有效三段論：所有人都是有死的。蘇格拉底是人。因此，蘇格拉底是有死的。（P1）（x）[Hx?Mx]（P2）Hs∴Ms為構(gòu)造有效性取決于非復(fù)合陳述的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的論證的有效性的形式證明，需增加四個(gè)規(guī)則：全稱列舉原則：一個(gè)命題函項(xiàng)的任一代入例都可以有效地從其全稱量化式推得。U.I.:(x)фx∴ф?（?是任一個(gè)體符號）五、有效性證明1.新增規(guī)則：全稱列舉原則有效性的形式證明：1.(x）[Hx?Mx]2.Hs

/∴Ms3.Hs?Ms1，U.I.4.Ms3,2，M.P.（P1）（x）[Hx?Mx]（P2）Hs∴Ms全稱列舉原則：一個(gè)命題函項(xiàng)的任一代入例都可以有效地從其全稱量化式推得。U.I.:(x)фx∴ф?（?是任一個(gè)體符號）五、有效性證明2.新增規(guī)則：全稱概括原則有效性的形式證明：1.（x）[Hx?Mx]2.（x）[Gx?Mx]/∴（x）[Gx?Mx]3.Hy?My

1，U.I.4.Gy?My2，U.I.5.Gy?Hy4,3，H.S.6.（x）[Gx?Mx]5,U.G.全稱概括原則：從一個(gè)命題函項(xiàng)關(guān)于任意選取的個(gè)體名稱的代入例，可以有效地推出該命題函項(xiàng)的全稱量化式。U.G.:фy（y是“一任意選取的個(gè)體”）∴(x)фx有效三段論：所有人都是有死的。所有希臘人都是人。因此所有希臘人都是有死的。(x)[Hx?Mx](x)[Gx?Mx]∴(x)[Gx?Mx]形式證明五、有效性證明2.新增規(guī)則：全稱概括原則幾何的論證確立了：若任一三角形都具有某屬性，那么所有三角形都具有該屬性?！皔”是引進(jìn)的一個(gè)符號，它類似于幾何中“一任意選取的三角形ABC”，它是某命題函項(xiàng)的任一代入例。關(guān)于任意選取，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)一般技巧給出了提示。為證明“三角形內(nèi)角和等于180°”，可以從“令A(yù)BC是一個(gè)任意選取的三角形”出發(fā)進(jìn)行演繹推理，而后得出“所有三角形內(nèi)角和均為180°”的結(jié)論。這一證明過程的合理性是顯而易見的。除假定符號“ABC”為三角形外，沒做任何其他的假定。因此，符號“ABC”可以被看作所挑選的任何三角形。五、有效性證明2.新增規(guī)則：全稱概括原則使用U.1.可以得到復(fù)合陳述Hx?Mx和Gx?Mx，然后可以進(jìn)行相關(guān)推理。雖然根據(jù)U.G.和U.1.，(x)(φx)和φy必定可以相互推出，然而，它們之間確實(shí)有一種形式的差別。盡管有形式的差別，(x)(φx)和φy必定是邏輯等價(jià)的。(x)(Hx?Mx)和(x)(Gx?Mx)是非復(fù)合陳述，依照19個(gè)規(guī)則的推論規(guī)則表，不能做相關(guān)的推理。五、有效性證明3.新增規(guī)則：存在列舉原則有效三段論：“所有罪犯都是邪惡的。有些人是罪犯。因此有些人是邪惡的。”（P1）(x)[Cx?Vx]（P2）(?x)[Hx·Cx]∴

(?x)[Hx·Vx]存在列舉原則：從一個(gè)命題函項(xiàng)的存在量化式，可以推得關(guān)于在其語境中早先沒有出現(xiàn)過的任一個(gè)體常元（除y之外）的代入例。E.I.：(?x)（фx）∴ф?五、有效性證明3.新增規(guī)則：存在列舉原則（P1）(x)[Cx?Vx]（P2）(?x)[Hx·Cx]∴

(?x)[Hx·Vx]存在列舉原則：從一個(gè)命題函項(xiàng)的存在量化式，可以推得關(guān)于在其語境中早先沒有出現(xiàn)過的任一個(gè)體常元（除y之外）的代入例。E.I.：(?x)（фx）∴ф?有效性的形式證明：1.(x)[Cx?Vx]2.(?x)[Hx·Cx]∴

(?x)[Hx·Vx]3.Ha·Ca2，E.I.4.Ca?Va1，U.I.5.Ca·Ha3，交換律6.Ca5，簡化律7.Va4,6,肯定前件式8.Ha3，交換律9.Ha·Va8,7合取律演繹出的Ha·Va是其存在量化式被結(jié)論所斷定的那個(gè)命題函項(xiàng)的代入例。五、有效性證明（P1）(x)[Cx?Vx]（P2）(?x)[Hx·Cx]∴

(?x)[Hx·Vx]存在概括原則從一個(gè)命題函項(xiàng)的任一為真的代入例，可以有效地推出該命題函項(xiàng)的存在量化式。E.G.:ф?（?是任一個(gè)體符號）∴(?x)（фx）有效性的形式證明：1.(x)[Cx?Vx]2.(?x)[Hx·Cx]∴

(?x)[Hx·Vx]3.Ha·Ca2，E.I.4.Ca?Va1，U.I.5.Ca·Ha3，交換律6.Ca5，簡化律7.Va

4,6肯定前件式8.Ha

3，交換律9.Ha·Va

8,7合取律10.(?x)[Hx·Vx]9，E.G.4.新增規(guī)則：存在概括原則五、有效性證明4.新增規(guī)則：存在概括原則對E.I.的使用必須施加必要的限制。無效的論證:“有些短吻鱷被關(guān)在籠子里。有些鳥被關(guān)在籠子里。因此有些短吻鱷是鳥?！保≒1）(?x)[Ax·Cx]（P2）(?x)[Bx·Cx]∴

(?x)[Ax·Bx]“有效性”的形式證明：1.(?x)[Ax·Cx]2.(?x)[Bx·Cx]∴

(?x)[Bx·Vx]3.Aa·Ca1，E.I.4.Ba·Ca2，E.I.5.Aa3，簡化律6.Ba5，簡化律7.Aa·Ba5,6,合取律8.(?x)[Ax·Bx]7，E.G.錯(cuò)！不能再自由地指派“a”，它作為“一只關(guān)在籠子里的短吻鱷”已經(jīng)先在第3行中出現(xiàn)了。在任何要使用E.I.和U.I.的證明中，應(yīng)該總是先使用E.I.。五、有效性證明推論規(guī)則：量化名稱縮寫形式作用全稱列舉U.I.(x)фx∴ф?（?是任一個(gè)體符號）一個(gè)命題函項(xiàng)的任何代入例都可以從它的全稱量化有效地推出。全稱概括U.G.фy（y是“一任意選取的個(gè)體“）∴(x)фx從一個(gè)命題函項(xiàng)關(guān)于任意選取的個(gè)體名稱的代入例，可以有效地推出該命題函項(xiàng)的全稱量化式。存在列舉E.I.從一個(gè)命題函項(xiàng)的存在量化式，我們可以推出，它關(guān)于早先上下文的任何地方都沒出現(xiàn)的任一個(gè)體常元(除了y)的代入例為真。存在概括E.G.從一個(gè)命題函項(xiàng)的任一為真的代入例，我們可以有效地推出該命題函項(xiàng)的存在量化式。量化規(guī)則1.邏輯類推六、無效性證明要證明一個(gè)涉及量詞的論證無效，可以用邏輯類推進(jìn)行反駁的方法。所有保守派都是行政機(jī)關(guān)的反對者。有些代表是行政機(jī)關(guān)的反對者。因此，有些代表是保守派。所有貓都是動(dòng)物。有些狗是動(dòng)物。因此，有些狗是貓。構(gòu)造另一個(gè)AII-2真前提假結(jié)論，論證無效。類比并非總是很容易構(gòu)造，因此，需要某種更有力的證明無效性的方法。2.真值指派六、無效性證明STTT也可以適用于使用量詞的論證，但涉及一個(gè)一般假定：即至少存在一個(gè)個(gè)體。若一個(gè)涉及量詞的論證有效，那么，只要至少有一個(gè)個(gè)體存在，這個(gè)論證的前提為真而結(jié)論為假就必定是不可能的。如果恰好存在一個(gè)個(gè)體或兩個(gè)個(gè)體或三個(gè)個(gè)體.....那么，至少存在一個(gè)個(gè)體的一般假定就得到了滿足。如果做了任何這樣一個(gè)關(guān)于個(gè)體的確切數(shù)量的假定，就有一個(gè)關(guān)于普遍命題與單稱命題的真值函項(xiàng)復(fù)合式的邏輯等價(jià)式。3.真值函項(xiàng)復(fù)合式的邏輯等價(jià)式六、無效性證明1.如果剛好存在一個(gè)個(gè)體a，則:(x)фx

фa

(?x)фx2.如果剛好存在兩個(gè)個(gè)體a、b：(x)фx

фa·фb(?x)фx

фa∨фb3.如果剛好存在三個(gè)個(gè)體a、b、c，則:(x)фx

фa·фb·фc(?x)фx

фa∨фb∨фc4.一般的，如果剛好存在n個(gè)個(gè)體a、b、c……n，則:(x)фx

фa·фb·фc…·фn(?x)фx

фa∨фb∨фc…∨фn這4個(gè)邏輯等價(jià)式是基于全稱和存在量詞定義的推論（與量化規(guī)則無關(guān)），因此，這些雙條件語句邏輯為真?！訲≡T≡T≡T≡T≡T≡T≡T4.構(gòu)建模型的真值指派六、無效性證明一個(gè)涉及量詞的論證有效，當(dāng)且僅當(dāng)，不管存在多少個(gè)體它都是有效——假定至少存在一個(gè)個(gè)體的話。如果存在一個(gè)至少含有一個(gè)個(gè)體的可能域或模型：它使得某論證相對該模型來說，其前提為真而結(jié)論為假，那么，該涉及量詞的論證就被可以證明為無效。無效論證：所有雇傭兵都是不可靠的。沒有游擊隊(duì)員是雇傭兵。因此，沒有游擊隊(duì)員是不可靠的。（x）[Mx?Ux]（x）[Gx?~Mx]∴（x）[Gx?~Ux]一個(gè)個(gè)體模型：（P1）Ma?Ua（P2）Ga?~Ma∴Ga?~Ua符號化邏輯等價(jià)于給Ga、Ua指派真，Ma指派假，即可證明論證無效。4.構(gòu)建模型的真值指派六、無效性證明有些論證對于剛好只有一個(gè)個(gè)體的模型來說是有效的，但對于有兩個(gè)或更多個(gè)體的模型來說則無效。兩個(gè)個(gè)體模型：（P1）（Ca?Aa）·（Cb?Ab）（P2）（Aa·Wa）∨（Ab·Wb）∴（Wa?Aa）·（Wb?Ab）無效論證：所有牧羊犬都是可愛的。有些牧羊犬是看門狗。因此，所有看門狗都是可愛的。（x）[Cx?Ax](?x)[Ax·Wx]∴（x）[Wx?Ax]一個(gè)個(gè)體模型：（P1）Ca?Aa（P2）Aa·Wa∴Wa?Aa符號化邏輯等價(jià)于論證有效！邏輯等價(jià)于Ca、Aa、Wa、Wb指派為真，Cb、Ab指派為假，論證無效。無效論證4.構(gòu)建模型的真值指派六、無效性證明在從一個(gè)涉及普遍命題的論證轉(zhuǎn)化為一個(gè)真值函項(xiàng)論證(相對于某特定模型，它邏輯等價(jià)于給定論證)的過程中，并非基于四個(gè)量化規(guī)則。證明一個(gè)含有普遍命題的論證無效的程序：真值函項(xiàng)論證的每個(gè)陳述，邏輯地等價(jià)于給定論證中與之對應(yīng)的普遍命題是從全稱量詞和存在量詞的定義推出的。在將涉及普遍命題的論證轉(zhuǎn)化為一個(gè)真值函項(xiàng)論證的過程中，對于原論證中的全稱量化的命題函項(xiàng)時(shí)，就用合取把新的代入例φb和第一個(gè)代人例中a結(jié)合起來；對于存在量化的命題函項(xiàng)，則用析取，然后進(jìn)行真值指派。首先，考察一個(gè)只含有一個(gè)個(gè)體a的一元模型。寫出該論證相對于此模型的邏輯等價(jià)真值函項(xiàng)論證，再進(jìn)行真值指派；其次，考察含有一個(gè)個(gè)體a、b的二元模型；三元模型......1.直言三段論與非三段論七、非三段論推論直言三段論：它們由兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論組成，每個(gè)前提和結(jié)論都可以分析成一個(gè)單稱命題或A、E、I、O中的某一種。直言三段論中，被量化的命題函項(xiàng)只具有фx?ψx、фx?~ψx、фx·ψx、фx·~ψx形式。評價(jià)這些論證并不需要比此前已經(jīng)給出的更多的邏輯工具，但需要一種比傳統(tǒng)上檢驗(yàn)直言三段論所使用的更有力的邏輯。對于非三段論，需要量化一些具有更復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)的命題函項(xiàng)。日常生活中存在一些更復(fù)雜的論證：它們不能化歸為標(biāo)準(zhǔn)形式的直言三段論，這些論證被稱為非三段論論證。2.非三段論符號化七、非三段論推論有效論證：（P1）旅館都是既貴又令人壓抑的。（P2）有些旅館簡陋。因此，有些貴的東西簡陋。（P1）（x）[Hx?Bx]（P2）(?x)[Hx·Sx]∴

(?x)

[Ex·Sx]對直言命題所施加的符號限制遮蔽了Bx和Ex之間的邏輯聯(lián)系。用如上所解釋的Hx、Sx和Ex，加上Dx（“x是令人壓抑的”），可以獲得一個(gè)更適當(dāng)?shù)姆治觥o效論證！四項(xiàng)謬誤！基于直言三段論理解的符號化（P1）（x）[Hx?(Ex·Dx)]（P2）(?x)[Hx·Sx]∴

(?x)

[Ex·Sx]2.非三段論符號化七、非三段論推論有效論證：（P1）旅館都是既貴又令人壓抑的。（P2）有些旅館簡陋。因此，有些貴的東西簡陋。1.（x）[Hx?(Ex·Dx)]2.(?x)[Hx·Sx]∴

(?x)

[Ex·Sx]3.Hw·Sw2,E.I.4.Hw?（Ew·Dw）1,U.I.