高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)第18講　計(jì)數(shù)原理與概率(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第18講計(jì)數(shù)原理與概率（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，時(shí)常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為主.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點(diǎn)考查古典概型、條件概率、全概率公式的基本應(yīng)用．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：排列與組合問題解決排列、組合問題的一般過程：(1)認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化．【例1】(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．【變式1】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）（

）A．65 B．160 C．165 D．210【變式2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一項(xiàng)需要用時(shí)兩天的活動(dòng)，要從5人中安排2人參加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（

）A．20種 B．10種 C．8種 D．6種【變式3】（2024·四川涼山·二模）為了傳承和弘揚(yáng)雷鋒精神，凝聚榜樣力量．3月5日學(xué)雷鋒紀(jì)念日來臨之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時(shí)代力量”的征文比賽．此次征文共5個(gè)題目，每位參賽學(xué)生從中隨機(jī)選取一個(gè)題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理1．求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路：(1)利用通項(xiàng)公式將Tk＋1項(xiàng)寫出并化簡(jiǎn)．(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項(xiàng)公式即得所求．2．對(duì)于兩個(gè)因式的積的特定項(xiàng)問題，一般對(duì)某個(gè)因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解．規(guī)律方法二項(xiàng)式(a＋b)n的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)；其中Ceq\o\al(k,n)是二項(xiàng)式展開式的第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式的展開式的第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)．【例2】（2024·貴州畢節(jié)·一模）二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·遼寧大連·一模）（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·浙江溫州·二模）在展開式中，的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為（

）A． B．64 C． D．32【變式3】（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）下列不屬于的展開式的項(xiàng)的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：概率1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù),試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)).2．條件概率公式設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．全概率公式一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，且它們的和i=1nAi=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，則對(duì)于Ω中的任意事件B，有P(B)=規(guī)律方法求概率的方法與技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解．(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對(duì)應(yīng)事件的概率公式求解．【例3】(多選)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)．()A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【變式1】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)．用表示第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果．記“”為事件，“”為事件，“”為事件，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【變式2】（2024·安徽黃山·一模）2024年是安徽省實(shí)施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·陜西西安·二模）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇不同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為（

）A． B． C． D．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2024·山東青島·一模）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．1 B．10 C．40 D．802．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）2024年1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月每月都是31天，2月是29天，其余月份是30天，從2024年2月、4月、6月、8月、10月、12月中任取兩個(gè)月份，則所取的兩個(gè)月份的天數(shù)之和不小于60的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）從集合中任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的倍數(shù)的概率為(

）A． B． C． D．4．（2024·陜西銅川·二模）從這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·新疆·一模）在古典名著《紅樓夢(mèng)》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋順序共有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．6種6．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某學(xué)校參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的1名教師和甲、乙、丙、丁4名學(xué)生站成一排合影留念，則教師不站在兩端，且甲、乙相鄰的概率為（

）A． B． C． D．7．（2024·北京石景山·一模）中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音，排成一個(gè)沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種8．（22-23高三·河北·階段練習(xí)）從這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不同的數(shù),這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù),這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,則的后兩位數(shù)字為（

）A．89 B．51 C．49 D．13二、多選題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．2．（2024·吉林延邊·一模）已知當(dāng)時(shí)，，則（

）A．B．C．D．3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）近幾年隨著AI技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，如圖為2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據(jù)該圖，下列說法正確的是（

）

A．2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)數(shù)量逐年增加B．2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為410C．2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為915D．從圖中9年企業(yè)注冊(cè)增加數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)大于110的概率三、填空題1．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有種．（結(jié)果用數(shù)值表示）2．（2024·寧夏銀川·一模）某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，6名學(xué)生中甲、乙兩人關(guān)系最好，則恰好甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室的概率為.3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則．四、解答題1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，解關(guān)于的不等式：.2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：，（）.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小軍與小玲共同發(fā)明了一種“字母棋”，進(jìn)行比勝負(fù)的游戲她們用四種字母做成10個(gè)棋子，其中A棋1個(gè)，B棋2個(gè)，C棋3個(gè)，D棋4個(gè)，“字母棋”的游戲規(guī)則為：①游戲時(shí)兩人各摸一個(gè)棋子進(jìn)行比賽稱一輪比賽，先摸者摸出的棋子不放回；②A棋勝B棋，C棋；B棋勝C棋，D棋；C棋勝D棋；D棋勝A棋；③相同棋子不分勝負(fù)，(1)若小玲先摸，問小玲摸到C棋的概率是多少？(2)已知小玲先摸到了C棋，小軍在剩余的9個(gè)棋中隨機(jī)摸一個(gè)，問這一輪中小玲勝小軍的概率是多少？(3)已知小玲先摸一個(gè)棋，小軍在剩余的9個(gè)棋中隨機(jī)摸一個(gè)，問這一輪中小玲希望摸到哪種棋勝小軍的概率最大？4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求正整數(shù)，使得成立．5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）有個(gè)元素，將其中相同的元素歸成一類，共有k類，這k類元素中每類分別中個(gè)，，將這個(gè)元素全部取出的排列叫做個(gè)不盡相異元素的全排列．(1)求上述個(gè)不盡相異的元素的全排列數(shù)．(2)由結(jié)論（1），回答“1個(gè)球隊(duì)與10個(gè)球隊(duì)各比賽1次，共有10場(chǎng)比賽，問五勝三負(fù)二平的可能情形有多少種？”第18講計(jì)數(shù)原理與概率（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，時(shí)常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為主.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點(diǎn)考查古典概型、條件概率、全概率公式的基本應(yīng)用．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：排列與組合問題解決排列、組合問題的一般過程：(1)認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化．【例1】(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．【答案】64【解析】①當(dāng)從8門課中選修2門時(shí)，不同的選課方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝16(種)；②當(dāng)從8門課中選修3門時(shí)，(ⅰ)若體育類選修1門，則不同的選課方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24(種)；(ⅱ)若體育類選修2門，則不同的選課方案共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝24(種)．綜上所述，不同的選課方案共有16＋24＋24＝64(種)．【變式1】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）（

）A．65 B．160 C．165 D．210【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：.【變式2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一項(xiàng)需要用時(shí)兩天的活動(dòng)，要從5人中安排2人參加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（

）A．20種 B．10種 C．8種 D．6種【答案】D【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動(dòng)，有種方法.故選：D【變式3】（2024·四川涼山·二模）為了傳承和弘揚(yáng)雷鋒精神，凝聚榜樣力量．3月5日學(xué)雷鋒紀(jì)念日來臨之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時(shí)代力量”的征文比賽．此次征文共5個(gè)題目，每位參賽學(xué)生從中隨機(jī)選取一個(gè)題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分步計(jì)算原理得到總情況數(shù)，再利用排列公式得到滿足題意的情況數(shù)，最后利用古典概率的計(jì)算公式即可.【詳解】甲同學(xué)可以選擇一個(gè)題目共有5種選法，同理，乙、丙也有5種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，3人到四個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)共有種選法；若甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目，共有種選法；則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為.故選：D.考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理1．求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路：(1)利用通項(xiàng)公式將Tk＋1項(xiàng)寫出并化簡(jiǎn)．(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項(xiàng)公式即得所求．2．對(duì)于兩個(gè)因式的積的特定項(xiàng)問題，一般對(duì)某個(gè)因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解．規(guī)律方法二項(xiàng)式(a＋b)n的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)；其中Ceq\o\al(k,n)是二項(xiàng)式展開式的第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式的展開式的第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)．【例2】（2024·貴州畢節(jié)·一模）二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，所以二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.【變式1】（2024·遼寧大連·一模）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)表達(dá)式特征可知利用二項(xiàng)式定理的逆運(yùn)用可得結(jié)果.【詳解】易知.故選：B【變式2】（2024·浙江溫州·二模）在展開式中，的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為（

）A． B．64 C． D．32【答案】A【分析】設(shè)，利用賦值法計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，令可得，令可得，所以，即在展開式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：A【變式3】（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）下列不屬于的展開式的項(xiàng)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照二項(xiàng)式定理直接展開判斷即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，，故不是展開式的項(xiàng).故選：B考點(diǎn)三：概率1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù),試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)).2．條件概率公式設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．全概率公式一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，且它們的和i=1nAi=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，則對(duì)于Ω中的任意事件B，有P(B)=規(guī)律方法求概率的方法與技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解．(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對(duì)應(yīng)事件的概率公式求解．【例3】(多選)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)．()A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】對(duì)于A，依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1這3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1，則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1這3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1和1,1,1這4個(gè)事件的和，它們互斥，所求的概率為Ceq\o\al(2,3)β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正確．【變式1】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)．用表示第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果．記“”為事件，“”為事件，“”為事件，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】C【分析】用列舉法列出所有可能結(jié)果，再結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件及古典概型的概率公式計(jì)算可得．【詳解】依題意依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為個(gè)；其中事件“”包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，共個(gè)；事件“”，包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，共個(gè)，事件“”，包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，所以與不能同時(shí)發(fā)生，但是能同時(shí)不發(fā)生，故不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不能同時(shí)發(fā)生，所以與是互斥事件，則，又，，所以，所以與不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；又事件包含的樣本點(diǎn)有：，，共個(gè)，所以，，則，所以與相互獨(dú)立，故C正確；事件包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，共個(gè)，因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：C【變式2】（2024·安徽黃山·一模）2024年是安徽省實(shí)施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別計(jì)算出任選兩門的種類數(shù)，再得出化學(xué)和地理都沒有被選中的情況，即可得出結(jié)果.【詳解】依題意從從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有種情況，其中化學(xué)和地理都沒有被選中共有種，因此化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是.故選：D【變式3】（2024·陜西西安·二模）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇不同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇種有種不同的結(jié)果，分別為（紅，紅），（紅，黃），（紅，白），（紅，藍(lán)），（黃，紅），（黃，黃），（黃，白），（黃，藍(lán)），（白，紅），（白，黃），（白，白），（白，藍(lán)），（藍(lán)，紅），（藍(lán)，黃），（藍(lán)，白），（藍(lán)，藍(lán)）．他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服有種不同的結(jié)果，即（紅，紅），（黃，黃），（白，白），（藍(lán)，藍(lán)），故他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為，所以他們選擇不同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.故選：A．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2024·山東青島·一模）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．1 B．10 C．40 D．80【答案】D【分析】利用通項(xiàng)求解可得.【詳解】通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以項(xiàng)的系數(shù)為80.故選：D2．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）2024年1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月每月都是31天，2月是29天，其余月份是30天，從2024年2月、4月、6月、8月、10月、12月中任取兩個(gè)月份，則所取的兩個(gè)月份的天數(shù)之和不小于60的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】列舉出所有可能并找出所有符合要求的情況計(jì)算即可得.【詳解】所有取出的月份可能為：2月與4月、2月與6月、2月與8月、2月與10月、2月與12月、4月與6月、4月與8月、4月與10月、4月與12月、6月與8月、6月與10月、6月與12月、8月與10月、8月與12月、10月與12月共15種，其中天數(shù)之和不小于60的可能有：2月與8月、2月與10月、2月與12月、4月與6月、4月與8月、4月與10月、4月與12月、6月與8月、6月與10月、6月與12月、8月與10月、8月與12月、10月與12月共13種，故所取的兩個(gè)月份的天數(shù)之和不小于60的概率為.故選：A.3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）從集合中任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的倍數(shù)的概率為(

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用列舉法寫出任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的樣本點(diǎn)，得出樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)后，由概率公式計(jì)算概率．【詳解】由題知和為2的倍數(shù)的有(1,3），(1,5），(1,7），(3,5），(3,7），(5,7），(2,4），(2,6），(2,8），(4,6），(4,8），(6,8）共12種可能，．故選：D．4．（2024·陜西銅川·二模）從這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求所有組合個(gè)數(shù)，列舉和為質(zhì)數(shù)的情況，古典概型求概率.【詳解】這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，有種取法，和為質(zhì)數(shù)有，共14種情況，因此所求概率為.故選：C.5．（2024·新疆·一模）在古典名著《紅樓夢(mèng)》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋順序共有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．6種【答案】C【分析】利用排列知識(shí)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知六種原料中可以把香菌、新筍、豆腐干看成一種，即有種放法，又茄子凈肉放在雞脯肉后，則有種放法.故選：C6．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某學(xué)校參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的1名教師和甲、乙、丙、丁4名學(xué)生站成一排合影留念，則教師不站在兩端，且甲、乙相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用捆綁法和特殊元素優(yōu)先的原則，先求滿足條件的方法種數(shù)，再根據(jù)古典概型，即可求解.【詳解】教師和4名學(xué)生站成一排一共有種方法，將甲和乙看成一個(gè)元素，有種方法，這樣就有4個(gè)不同的元素，教師不站兩端，則教師有2種方法，其余3個(gè)元素有種方法，則滿足條件的站法有種，所以教師不站兩端，且甲、乙相鄰的概率.故選：C7．（2024·北京石景山·一模）中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音，排成一個(gè)沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】先排宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)，然后商、角兩個(gè)音階插空即可求解.【詳解】解：先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有，再將商、角插入4個(gè)空中的2個(gè)，有，所以共有種．故選：C．8．（22-23高三·河北·階段練習(xí)）從這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不同的數(shù),這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù),這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,則的后兩位數(shù)字為（

）A．89 B．51 C．49 D．13【答案】C【分析】先根據(jù)抽取三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列,求出公差為1,2,時(shí),滿足題意的數(shù)列的個(gè)數(shù),通過等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,求出即可,同理求出的值,因?yàn)橐蟮氖?即的后兩位,將寫為,用二項(xiàng)式定理展開可得的后兩位與后兩位一致,將寫為,利用二項(xiàng)式定理展開,因?yàn)榈暮髢晌灰欢ㄊ?0,則的后兩位數(shù)與的后兩位一致,計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】解:由題知,當(dāng)抽取三個(gè)不同的數(shù),成等差數(shù)列時(shí),記公差為,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)98個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)96個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)94個(gè),,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)4個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)2個(gè),故,當(dāng)抽取四個(gè)不同的數(shù),成等差數(shù)列時(shí),記公差為,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)97個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)94個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)91個(gè),,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)4個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)1個(gè),故,所以,所以的后兩位與的后兩位一致,,因?yàn)?因?yàn)榈暮髢晌灰欢ㄊ?0,故的后兩位數(shù)與的后兩位一致,因?yàn)?故的后兩位數(shù)為49,即的后兩位數(shù)為49.故選:C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:該題考查數(shù)列和二項(xiàng)式定理綜合問題,屬于難題,關(guān)于數(shù)列問題的思路點(diǎn)睛有:(1)數(shù)列新定義問題,先寫出幾項(xiàng)找到規(guī)律;(2)根據(jù)規(guī)律,寫出相對(duì)應(yīng)的式子;(3)利用累加,累乘,公式法等進(jìn)行解決問題.二、多選題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】對(duì)A：借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，又，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故B正確；對(duì)C：，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，即，故D正確.故選：BD.2．（2024·吉林延邊·一模）已知當(dāng)時(shí)，，則（

）A．B．C．D．【答案】CD【分析】根據(jù)給定的不等式，賦值變形判斷A；賦值求和判斷BC；變形不等式右邊，借助二項(xiàng)式定理及組合數(shù)的性質(zhì)推理判斷D作答.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)椋?，則，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?所以，則以上各式相加有故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)椋?，則以上各式相加有，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:由可得，即，所以，因此，故選項(xiàng)D正確；故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由給定信息判斷命題的正確性問題，從給定的信息出發(fā)結(jié)合命題，對(duì)變量適當(dāng)賦值，再綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)及方法是解決問題的關(guān)鍵.3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）近幾年隨著AI技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，如圖為2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據(jù)該圖，下列說法正確的是（

）

A．2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)數(shù)量逐年增加B．2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為410C．2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為915D．從圖中9年企業(yè)注冊(cè)增加數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)大于110的概率【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件及圖表，利用中位數(shù)和極差的定義，結(jié)合古典概型的概率公式及對(duì)立事件的概率公式即可求解.【詳解】對(duì)A，由每年增加數(shù)均為正數(shù)，可得A正確；對(duì)B，2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為121，B錯(cuò)誤；對(duì)C，2014～2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為，C正確；對(duì)D，當(dāng)且僅當(dāng)從33，48，76，84，121中任取兩個(gè)數(shù)字，其平均數(shù)均不大于110，所以所求概率為，D正確.故選：ACD．三、填空題1．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有種．（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】【分析】首先考慮甲連續(xù)天的情況，再其余人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】在天里，連續(xù)天的情況，一共有種，則剩下的人全排列有種排法，故一共有種排法．故答案為：．2．（2024·寧夏銀川·一模）某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，6名學(xué)生中甲、乙兩人關(guān)系最好，則恰好甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室的概率為.【答案】【分析】首先分三種情況討論求出所有的安排方法數(shù)，再求出滿足條件的安排方法，最后由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，則有①：兩個(gè)辦公室安排人，另外一個(gè)辦公室安排人，則有種安排方法；②三個(gè)辦公室安排的人數(shù)為、、，則有種安排方法；③三個(gè)辦公室均安排人，則有種安排方法；綜上可得一共有種安排方法.其中甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室的有種安排方法，所以恰好甲、乙（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室的概率.故答案為：3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件求出，即，解出即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，因?yàn)檎归_式中常數(shù)項(xiàng)為10，則時(shí)，解得，即，解得.故答案為：四、解答題1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，解關(guān)于的不等式：.【答案】【分析】運(yùn)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳