河北省部分學校2025屆高三上學期期末聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省部分學校2025屆高三上學期期末聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，所以，，故.故選：B.2.已知為虛數單位，復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由條件可知，所以，故選B.3.函數在點處的切線斜率為2，則a=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】，，故選：B.4.已知，，，，，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由題意知，，即，令，則不等式化為,當且僅當時取等號，的最小值為4.故選：C.5.數列為等差數列，，，且，，成等比數列，當最大時，n=（）A.8或9 B.9或10 C.10或11 D.11或12【答案】B【解析】，故，，∴，，∴最大時，或10，故選：B.6.如圖組合體是由正四棱錐與正四棱臺組合而成，，則PA與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】延長，，，交于Q，易知：，故是正八面體，故，，∠APD即為所求異面直線所成角，余弦值為.故選：A.7.數據a、b、c的方差為1，對，的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設，依題意，，而，當且僅當時，取最小值為3.故選：C.8.已知，，，則以下正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，故A錯誤；，而.∵，∴，即∴，故B正確；即，而，故C錯誤；即，而，故D錯誤，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知z，，是復數，則以下正確的是（）A.復數z對應的點在第三象限，則復數對應的點在第四象限B.C.D.【答案】BCD【解析】對于A：由z對應的點與對應的點關于x軸對稱，則復數z對應的點在第三象限，則復數對應的點在第二象限，錯誤；對于B：設，在復平面對應向量分別為，，則，，正確；對于C、D：設，，且，則，C正確；，D正確，故選：BCD.10.橢圓上的動點M與點的距離的最小值為，則a的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】設，則，則，即函數最小值為，對稱軸為，其中，故，原條件等價于或，解得：或.故選：BD.11.斐波那契數列滿足：，，，，則以下正確的是（）A. B.C.遞減 D.【答案】ABC【解析】驗證得，，，…，故當時，，又，∴為常數列，∴，故A正確；，∴，即，故B正確；，分子，故C正確；時，，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.三棱錐中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC內，并且與三個側面都相切，則球的半徑為_______.【答案】【解析】設球半徑為r，平面，顯然,又，平面,故平面，平面,則.由于平面ABC，，，則,.，,故三棱錐側面積為，故答案為：.13.過直線上一點M引拋物線的兩條切線為切點，拋物線焦點為F，則F到距離的最大值為_______.【答案】【解析】設，，，則，方程：化為，同理方程：，將代入兩式：，.故，都直線上，而代入化為：此為直線方程，恒過點，焦點，即為F到距離最大值.故答案為：.14.甲乙兩個袋子，甲袋有1白2黑3個球，乙袋有2個白球.現從兩袋各取1球，交換放入甲乙兩袋.如此交換兩次后，甲袋中的白球個數記作X，則=_______.【答案】【解析】由題意可知：X所有可能取值為1，2，3，可得，，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.長方體中，，，M為中點.（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，如圖，，，因此，又，則，可得；又平面，而平面，可得，又，平面，故平面，又平面，故.（2）解：以D為原點，，，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖空間直角坐標系.則，可得，，顯然，即可得，又，平面，所以平面，即平面的一個法向量為，又，設與平面所成的角為，故所求線面角的正弦值為.16.數列滿足：，.（1）求數列通項；（2）恒成立，求m最小值.解：（1）由，，兩式相減得：，時，符合等式，故，，兩式相除得：故n為奇數時，n為偶數時，綜上，對任意，.（2）由故，最小值為.17.某省級示范學校高三的一次考試后，為了調查學生們的偏科程度，在實驗班隨機抽取8名同學，比較物理成績x與數學成績y，得到下表（單位：分）：學生號12345678x98848794819185100y135124113125116120132135（1）求出y關于x的回歸方程（精確到0.01）；（2）若相關系數r滿足，則我們可以認為y與x之間具有較強的線性相關關系，計算這8名學生的物理成績和數學成績是否具有較強的線性相關關系？（附：，，，，，相關系數）解：（1）設y關于x的回歸方程為，由題設有，，，故所求回歸方程為：；（2）由，故這8名學生的物理成績和數學成績不具有較強的線性相關關系.18.雙曲線，左、右頂點分別為A，B，曲線上有點，滿足.（1）求雙曲線方程；（2）Q是雙曲線上的動點，QA，QB分別交橢圓于點E，N，S，T，證明：為定值.（1）解：由題意，，故，將代入，故雙曲線方程為.（2）證明：設，則，而，故.設：代入橢圓方程得：，，其中，過A作ST平行線交橢圓于G，H，由對稱性可知：，故將中的k換為，即得，故，∴.原命題得證.19.若方程有n個實數根：，，…，，且，則稱函數為關于k的n度函數，稱為關于k的總度量值，已知.（1）證明：是增函數；（2）函數為關于0的2度函數.（i）求a的取值范圍；（ⅱ）證明：關于0的總度量值大于.（1）證明：，函數定義域為，故，故為增函數.（2）（i）解