高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何動態(tài)問題（四大題型）（解析版）

特訓(xùn)11空間向量與立體幾何動態(tài)問題（四大題型）探索性問題：(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．最值或取值范圍問題：在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的思路是：(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解．(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值．目錄：01：立體幾何中的探索性問題02：空間位置關(guān)系的判定03：軌跡問題04：最值、取值范圍問題01：立體幾何中的探索性問題例1如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，點為棱的中點.(1)求證：；(2)棱（除兩端點外）上是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.答案(1)證明見解析(2)存在，的值為或分析（1）結(jié)合題意添加輔助線，先證明平面，進(jìn)而得到；（2）根據(jù)題目中的已知條件找到兩兩垂直的三條棱，然后建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，假設(shè)點存在，設(shè)出點的坐標(biāo)，求出該二面角的兩個平面的法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式列出方程，解方程即可.解析（1）證明：取的中點，連接、、，∵，且，∴為等邊三角形，得，∵四邊形為正方形，且、分別是、的中點，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴；（2）∵平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，平面，，以為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，則，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，由，取，得；假設(shè)棱上（除端點外）存在點滿足題意，令，得，設(shè)為平面的一個法向量，則由，取，得.由，解得或，經(jīng)檢驗或時，二面角的平面角均為銳角，綜上，的值為或.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用向量共線定理設(shè)，再用表示出兩個平面的法向量，得到方程，解出即可.方法歸納：(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．02：空間位置關(guān)系的判定例2（多選）如圖幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，已知點是圓弧的中點，點是圓弧上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點，使得平面B．不存在點，使得平面平面C．存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為D．不存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為答案ACD分析將圖形補全為一個正方體，設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.解析由題意可將圖形補全為一個正方體，如圖所示：不妨設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，設(shè)點，其中，對于A選項，假設(shè)存在點，使得平面，，，，則，可得，因為，則，即當(dāng)點與點重合時，平面，A對；對于B選項，由A選項可知，平面的一個法向量為，假設(shè)存在點，使得平面平面，則，，則，可得，又因為，解得，即當(dāng)點為的中點時，面平面，B錯；對于C選項，若存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為，則直線與平面的所成角的正弦值為，且，所以，，整理可得，因為函數(shù)在時的圖象是連續(xù)的，且，，所以，存在，使得，所以，存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為，C對；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，假設(shè)存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即，可得或，因為，則，則，所以，，故當(dāng)時，方程和均無解，綜上所述，不存在點，平面與平面的夾角的余弦值為，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.方法歸納：解決空間位置關(guān)系的動點問題(1)應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化．(2)建立“坐標(biāo)系”計算．03：軌跡問題例3(1)如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是．①若平面，則動點Q的軌跡是一條線段②存在Q點，使得平面③當(dāng)且僅當(dāng)Q點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大④若，那么Q點的軌跡長度為答案①③④分析作出過點與平面平行的正方體的截面判斷①；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量判斷②；設(shè)出點Q的坐標(biāo)，求出點Q到平面最大距離判斷③；確定點Q的軌跡計算判斷④作答.解析在正方體中，取的中點E，F(xiàn)，連，如圖，則，平面，平面，則有平面，因點P為棱的中點，有，，即有為平行四邊形，則，而平面，平面，有平面，，平面，因此，平面平面，因平面，則平面，又點Q在平面，平面平面，即點Q的軌跡為線段EF，①正確；以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，若平面，則，即，，所以不存在Q點，使得平面，②不正確；因的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點Q到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，，點Q到平面的距離，而，則當(dāng)時，，而，即，因此點與點重合時，三棱錐的體積最大，③正確；因平面，平面，則，因此，顯然點Q的軌跡是以為圓心，半徑為，所含圓心角為的扇形弧，弧長為，④正確.故答案為：①③④【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.方法歸納：解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定．(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進(jìn)行計算．(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除．04：最值、范圍問題例4如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點，點在棱上，且.(1)當(dāng)時，求證平面；(2)設(shè)為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值.答案(1)證明見解析(2)最大值為，此時分析（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐坐標(biāo)系，利用向量證明線面垂直即可.（2）求出直線對應(yīng)的方向向量和平面對應(yīng)的法向量，將線面角用向量坐標(biāo)表示進(jìn)而求最值.解析（1）取的中點，連接，因為三棱柱為直棱柱，且△為正三角形，所以以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件得，當(dāng)時，，，，，，即，又，而平面，平面.（2）由（1）知，，為△的中心，，設(shè)平面的法向量，則，令，則設(shè)直線與平面所成角為，則令，則，此時，(當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號)，，即直線與平面所成角正弦的最大值為，此時的值為方法歸納：在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的思路是(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解．(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值．例5三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，點Q為平面ABC內(nèi)的動點，且滿足，記直線PQ與直線AB的所成角為，則的取值范圍為.答案分析根據(jù)已知條件先確定出在平面內(nèi)的軌跡，然后通過建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩直線方向向量夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計算出兩直線所成角的正弦值的取值范圍.解析因為兩兩垂直，且，所以由全等三角形可知，所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內(nèi)的投影為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，取中點，連接，可知經(jīng)過點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，所以，所以，所以，所以，且，所以，所以，故答案為：.【點睛】思路點睛：異面直線所成角的余弦值的向量求法：（1）先分別求解出兩條異面直線的一個方向向量；（2）計算出兩個方向向量夾角的余弦值；（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對值等于異面直線所成角的余弦值求解出結(jié)果.一、單選題1．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知空間向量兩兩夾角均為，且.若向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，取一個三棱錐，用其棱表示對應(yīng)的向量，結(jié)合題中所給的條件，將相應(yīng)的邊長求出，之后應(yīng)用空間向量運算法則，表示出對應(yīng)的結(jié)果，從而判斷出取最值時對應(yīng)的情況，求值即可.【解析】取一三棱錐，，且，，所以，，設(shè)，因為，所以，即，所以在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，又由同理可知在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，球心距，所以兩球相交，即點與點可以重合，又，所以.故選：C.2．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知點，，，，，都在同一個球面上，為正方形，若直線經(jīng)過球心，且平面．則異面直線，所成的角最小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，記中心為，依題意可得過點且的中點為球心，設(shè)球心為，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，，利用空間向量法表示出，求出的最大值，即可得到.【解析】設(shè)球的半徑為，記中心為，因為為正方形，直線經(jīng)過球心，且平面，所以過點且的中點為球心，設(shè)球心為，以為原點，、、分別為，，軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，設(shè)直線，所成的角為，則，又，所以.故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答是建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法求出的最大值.3．（2020·浙江嘉興·二模）將邊長為1的正方形沿對角線翻折，使得二面角的平面角的大小為，若點,分別是線段和上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點為中點，連接，，由題意可證得，作，，利用向量的基本運算可得，再通過建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，求出，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求出，借助的范圍，即可得解.【解析】設(shè)點為中點，連接，，由題意可知，，所以，作，則P為OC中點作，則平面BCD，所以，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，，，所以，，，則，因為，所以，故選：B.【點睛】本題考查平面圖形的翻折，考查二面角，向量的基本運算以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查學(xué)生的推理能力和計算能力，難度較大.4．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，已知矩形的對角線交于點，將沿翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出翻折后的位置，利用向量垂直，數(shù)量積為零，找出關(guān)系式，進(jìn)而求得，再利用極限位置求得a的最小值，即可求得答案?！窘馕觥咳鐖D示,設(shè)處為沿翻折后的位置，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC分別為x,y軸，過點D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由于,故，而，由于,故，則，即；又由在翻折過程中存在某個位置，便得，不妨假設(shè),則，即，即，當(dāng)將翻折到如圖位置時，位于平面ABCD內(nèi)，不妨假設(shè)此時，設(shè)垂足為G,作AD的延長線，垂足為F,此時在x軸負(fù)半軸上方向上，DF的長最大，a取最小值，由于，故,所以,而,故，又,故為正三角形，則,而,故,則，故，，則，故的取值范圍是，故選：A【點睛】本題考查了空間的垂直關(guān)系，綜合性較強，解答時要充分發(fā)揮空間想象力，明確空間的點線面的位置關(guān)系，解答時涉及到空間坐標(biāo)系的建立以及空間向量的應(yīng)用，還要注意極限位置的利用，有較大難度.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知矩形ABCD中，E為線段CD上一動點（不含端點），記，現(xiàn)將沿直線AE翻折到的位置，記直線CP與直線AE所成的角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量夾角余弦公式和向量數(shù)量積公式得到，由三角形三邊關(guān)系得到，求出答案.【解析】AB選項，，因為，所以，所以，A錯誤，B正確；由于在上單調(diào)遞減，故，不確定和的大小關(guān)系，CD錯誤.故選：B．6．（2023·四川遂寧·三模）如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點（在的左邊），且．下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)運動時，二面角的最小值為B．當(dāng)運動時，三棱錐體積不變C．當(dāng)運動時，存在點使得D．當(dāng)運動時，二面角為定值【答案】C【分析】對A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據(jù)其范圍，即可判斷；對B：利用棱錐體積公式，即可求得三棱錐的體積，即可判斷.對C：由反證法判斷；對D：平面即為平面，平面即為平面，從而得出二面角為定值.【解析】對A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因為在上，且，，可設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，即，取，則，平面的法向量為，所以．設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，因為，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，即取最小值，故A說法正確．對B：因為，點A到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故B說法正確．對C：若，則四點共面，與和是異面直線矛盾，故C說法錯誤．對D：連接，平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運動時，二面角的大小保持不變，故D說法正確．故選：C7．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中不正確的是（）A．若平面，則動點Q的軌跡是一條線段B．存在Q點，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點的軌跡長度為【答案】B【分析】取中點，證明平面，得動點軌跡判斷A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，由與此法向量平行確定點位置，判斷B，利用空間向量法求得到到平面距離的最大值，確定點位置判斷C，利用勾股定理確定點軌跡，得軌跡長度判斷D．【解析】選項A，分別取中點，連接，，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，連接，，，所以，同理平面，，平面，所以平面平面，當(dāng)時，平面，所以平面，即點軌跡是線段，A正確；選項B，以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)（），，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，則，若平面，則，所以存在，使得，，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點，使得平面，B錯；選項C，面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，，到平面的距離為，，時，，當(dāng)時，d有最大值1，時，，時，d有最大值，綜上，時，d取得最大值1，故與重合時，d取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；選項D，平面，平面，，所以，所以點軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長度為，D正確．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間點的軌跡問題，解題關(guān)鍵是勾畫出過且與平面平行的平面，由體積公式，在正方形內(nèi)的點到平面的距離最大，則三棱錐體積最大．8．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則以下不正確的是（

）

A．當(dāng)在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．使直線與平面所成的角為的點的軌跡長度為D．若是的中點，當(dāng)在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是【答案】D【分析】由底面正方形的面積不變，點到平面的距離不變，可判定A正確；以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；由直線與平面所成的角為，作平面，得到點的軌跡，可判定C正確；設(shè)，求得平面的一個法向量為，得到，可判定D錯誤.【解析】對于A中：底面正方形的面積不變，點到平面的距離為正方體棱長，所以四棱錐的體積不變，所以A選項正確；對于B中：以為原點，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為，則，因為，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；

對于C中：因為直線與平面所成的角為，若點在平面和平面內(nèi)，因為最大，不成立；在平面內(nèi)，點的軌跡是；在平面內(nèi)，點的軌跡是；在平面時，作平面，如圖所示，因為，所以，又因為，所以，所以，所以點的軌跡是以點為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點的軌跡的長度為，綜上，點的軌跡的總長度為，所以C正確；

對于D中，由，設(shè)，則設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，因為平面，所以，可得，所以，當(dāng)時，等號成立，所以D錯誤.故選：D.

【點睛】方法點撥：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.二、多選題9．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，則（

）A．當(dāng)時，最小值為B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，平面平面D．若，則P的軌跡長度為【答案】BCD【分析】當(dāng)時，點在上，把平面與平面展在一個平面上，可判定A錯誤；當(dāng)時，得到點在上，證得平面，求得三棱柱的體積定值，可判定B正確；當(dāng)時，得到點為的中點，取的中點，證得平面，得到平面，可判定C正確；由點P滿足，得到點在矩形內(nèi)，取的中點，證得平面，得到，求得，得出以點的軌跡，可判定D正確.【解析】對于A中，當(dāng)時，，可得點在上，以為軸，把平面與平面展在一個平面上，如圖所示，連接交于點，此時最小值為，所以A錯誤；

對于B中，當(dāng)時，，可得點在上，取的中點，在等邊中，可得，且，因為平面，且平面，所以，又因為且平面，所以平面，即為三棱錐的高，所以三棱錐的體積為為定值，所以B正確；

對于C中，當(dāng)時，，可得點為的中點，如圖所示，取的中點，分別連接，可得且，所以為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，又因為，且，平面，所以平面，因為，所以平面，又因為平面，所以平面，所以C正確；

對于D中，由點P滿足，其中，可得點在矩形內(nèi)（包含邊界），取的中點，連接和，因為平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，且，在直角中，可得，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的半圓，其軌跡長度為，所以D正確.故選：BCD

【點睛】解題方法點撥：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.10．（2024·浙江·三模）已知正方體的棱長為1，點滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時，則的最小值為B．過點在平面內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與垂直C．若與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線D．當(dāng)，時，正方體經(jīng)過點、、的截面面積的取值范圍為【答案】ACD【分析】對A，將平面展開到與同一平面，由兩點間線段最短得解；對B，當(dāng)在時，過點只能作一條直線與垂直，可判斷；對CD，以點D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點P坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算即可判斷.【解析】對于A，當(dāng)時，，所以點在線段上，如圖，將三角形與矩形沿展成平面圖形如下所示，則線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，即的最小值為，故A正確；對于B，當(dāng)在時，過點在平面內(nèi)只可以作一條直線與垂直，故B錯誤；對于C，以D為原點，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，得，，整理得，為雙曲線方程，故C正確．對于D，當(dāng)時，，故點在線段上運動,正方體經(jīng)過點、、的截面為平行四邊形，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點到直線的距離為，于是當(dāng)時，的面積取最小值，此時截面面積為；當(dāng)或時，的面積取最大值，此時截面面積為，所以正方體經(jīng)過點、、的截面面積的取值范圍為，故D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.11．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知正方體棱長為4，點N是底面正方形ABCD內(nèi)及邊界上的動點，點M是棱上的動點（包括點），已知，P為MN中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．無論M，N在何位置，為異面直線 B．若M是棱中點，則點P的軌跡長度為C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP與平面所成角的正弦最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)相交，而即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算可判斷P的軌跡長度為半徑為的圓的，即可判斷B，根據(jù)法向量與方向向量垂直即可判斷C,根據(jù)線面角的向量法，結(jié)合基本不等式即可求解.【解析】由于相交，而，因此為異面直線，A正確，當(dāng)M是棱中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),故，且，由于，故，化簡得，由于，所以點P的軌跡長度為半徑為的圓的，故長度為，B正確，設(shè),則，且，，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則,，故，由于，故，化簡得，聯(lián)立，故解不唯一，比如取，則或取，故C錯誤，由于平面，平面，故,又四邊形為正方形，所以,平面，所以平面，故平面的法向量為，設(shè)AP與平面所成角為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，時，令，則，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，由且可得因此，由于，，故的最大值為，故D正確，、故選：ABD【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.三、填空題12．（2024·浙江金華·三模）四棱錐的底面為正方形，平面，且，．四棱錐的各個頂點均在球O的表面上，，，則直線l與平面所成夾角的范圍為．【答案】．【分析】依題意可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求線面角可得結(jié)果.【解析】解：依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點，連接，交點為Q，因為底面為正方形，所以，又平面，且平面，所以，又，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，如圖建立坐標(biāo)系，并設(shè)直線l上異于B的一點，所求線面角為，，則，，，由可得，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，，∴．故答案為：.

另解：依題意，四棱錐的外接球的球心O為的中點，連接，交點為Q，因為底面為正方形，所以，又平面，且平面，所以，又，平面，平面，所以平面，即面，若平面，則與平面所成的角為.若過B的直線l與平面相交于點R，在平面中，過B作直線，與平面相交于點為S，因為面，且平面，所以，又，，且，平面，所以平面，故過且與垂直的直線與平面的交點的軌跡為直線，又平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，又面，所以為在面內(nèi)的射影，即為直線l與平面所成的角，且，又，而，當(dāng)且僅當(dāng)重合等號成立，故，綜上，，∴．故答案為：.

【點睛】方法點睛：解決直線與平面所成角的方法：（1）幾何法：作出直線與平面所成角，在直角三角形中求角；（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，用向量法求線面角.13．（2024·北京通州·二模）如圖，幾何體是以正方形ABCD的一邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點G是圓弧的中點，點H是圓弧上的動點，，給出下列四個結(jié)論：①不存在點H，使得平面平面CEG；②存在點H，使得平面CEG；③不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于；④存在點H，使得直線DH與平而CEG所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③④【分析】將圖形補全為一個正方體，以點為坐標(biāo)原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【解析】由題意可將圖形補全為一個正方體，如圖所示：以點為坐標(biāo)原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，設(shè)點，其中，對于①，，，設(shè)平面，則，即，取x=1，則，可得，設(shè)平面，，，則，即，取，則，可得，若平面平面CEG，則，解得：，所以存在使得平面平面CEG，故①錯誤；對于②，，若平面CEG，則，即，即，故，故存在點H，使得平面CEG，故②正確；對于③，，所以點H到平面CEG的距離為，，因為，所以，所以，，所以，所以不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于，故③正確；對于④，，，則直線與平面CEG的所成角為，所以，，整理可得，因為函數(shù)在時的圖象是連續(xù)的，且，，所以，存在，使得，所以，存在點，使得直線與平面CEG的所成角的余弦值為，④正確.故答案為：②③④.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（l為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.14．（2023·江西宜春·一模）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點，為棱上的動點，有下列結(jié)論：①當(dāng)為的中點時，平面；②存在點，使得；③直線與所成角的余弦值的最小值為；④三棱錐的外接球的表面積為.其中正確的結(jié)論序號為.（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①④【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合異面直線所成角，以及棱錐外接球半徑的求解，對每一項進(jìn)行逐一求解和分析即可.【解析】對①：當(dāng)H為DE的中點時，取中點為，連接，因為分別為的中點，故可得//，，根據(jù)已知條件可知：//，故//，故四邊形為平行四邊形，則//，又平面平面，故//面，故①正確；對②：因為平面，平面，故，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)，，若，則，不滿足題意，故②錯誤；對③：，，，，，，，，令，設(shè)，，，則，當(dāng)時，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)得，則，當(dāng)時，有最小值，最小值為，故③錯誤；對④：由題可得平面，又面為正方形，∴，∴AB⊥平面BCF，則AB，BC，CF兩兩垂直，∴AF為三棱錐的外接球的直徑，又，∴三棱錐的外接球表面積為，故④正確.故答案為：①④.四、解答題15．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點，證明：平面平面；(2)若，，線段上的點滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點為，利用直角梯形中位線的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)判定推理即可；（2）通過正三角形證明，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角得向量求法計算求解即可.【解析】（1）取中點為，由條件可得為梯形的中位線，則，又，則，且，平面，平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，得平面，平面，.由，則，又，為梯形的兩腰，則與相交，平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中點為Q，由，，則，，因此△為等邊三角形，.由（1）知平面，，，兩兩垂直，如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由，，則，，，，，由，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由取，得，，得.設(shè)平面的一個法向量為，由取，得，，即平面的一個法向量為.記平面與平面夾角的大小為，所以，化簡得，即，所以實數(shù)的值為.16．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點為線段上的動點．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)交于點，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進(jìn)而證得直線平面；（2）通過平面，證得平面，所以平面平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.【解析】（1）如圖，設(shè)交于點，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，

因為平面，所以，又因為是底面圓的內(nèi)接正三角形，由，可得，，解得，又，，所以，即，，又因為，所以，所以，即，又平面，直線平面，平面，所以直線平面．（2）因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）易知，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，有最大值，即當(dāng)時，的最大值為1，此時點，所以，所以點到平面的距離，故當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時，點到平面的距離為.17．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點D到達(dá)點P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）推導(dǎo)出，證明出平面，可得出，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出結(jié)論.【解析】（1）證明：翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，因為，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，所以平面平面.（2）因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，平面的一個法向量為，，，則，令，可得，則，整理可得，因此，線段上存在點，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為，且.18．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖所示，四棱臺，底面為一個菱形，且.底面與頂面的對角線交點分別為，.，，與底面夾角余弦值為.(1)證明：平面；(2)現(xiàn)將頂面繞旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向為自上而下看的逆時針方向.此時使得底面與的夾角正弦值為，此時求的值()；(3)求旋轉(zhuǎn)后與的夾角余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）先在等腰梯形證明，求出；再證明即與底面夾角，利用，及余弦定