第八部分力法講解學(xué)習(xí)

第八章力法本章提要本章主要介紹超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的基本方法——力法。介紹了超靜定次數(shù)的確定、如何選擇力法的基本結(jié)構(gòu)、建立力法典型方程，并求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。通過本章的學(xué)習(xí)應(yīng)重點(diǎn)掌握：

1、超靜定次數(shù)的確定； 2、力法的基本原理； 3、基本結(jié)構(gòu)的選擇方法； 4、力法解低次超靜定結(jié)構(gòu)的方法。本章內(nèi)容

8.1超靜定結(jié)構(gòu)概述 8.2力法基本原理8.3力法的典型方程8.4力法應(yīng)用舉例8.5超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算8.1超靜定結(jié)構(gòu)概述一、超靜定結(jié)構(gòu)的概念1、靜定結(jié)構(gòu)

凡在幾何組成上為幾何不變且無多余約束的結(jié)構(gòu)，其全部的反力和內(nèi)力都可由靜力平衡方程唯一地確定。如圖1（a）、（c）所示。2、超靜定結(jié)構(gòu)

凡在幾何組成上為幾何不變且有多余約束的結(jié)構(gòu)，其全部的反力和內(nèi)力不能完全由靜力平衡方程唯一地確定。如圖1（b）、（d）所示。圖1圖3

圖4

(3)將固定端支座改成鉸支座，或?qū)傂月?lián)結(jié)改成單鉸聯(lián)結(jié)，等于去掉一個(gè)約束，如圖5。(4)去掉一個(gè)固定端支座或切開剛性聯(lián)結(jié)等于去掉三個(gè)約束，如圖6。圖5

圖6

所去掉的多余約束的總數(shù)即為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。如從原結(jié)構(gòu)中去掉n個(gè)約束結(jié)構(gòu)就成為靜定結(jié)構(gòu)，則原結(jié)構(gòu)稱為n次超靜定結(jié)構(gòu)。8.2力法原理一、力法的基本思路力法是計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)最基本的方法?；舅悸肥前殉o定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題，利用以熟知的靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法達(dá)到計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的目的。二、力法的基本結(jié)構(gòu)如圖7(a)所示為一次超靜定梁，虛線表示梁在受力后的彈性變形情況。拆去B端的多余約束鏈桿并用多余未知力X1代替B端的約束對(duì)原結(jié)構(gòu)的作用，得到如圖7(b)所示靜定梁。這種去掉多余約束后所得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)，待求的多余未知力X1稱為力法的基本未知量。圖7三、力法的基本方程基本結(jié)構(gòu)在B端不受約束限制，在外力P作用下B點(diǎn)豎向位移Δ1P向下（圖7(c)），在X1作用下B點(diǎn)豎向位移Δ11向上(圖7(d))。由于X1是取代了被拆去約束對(duì)原結(jié)構(gòu)的作用，因此基本結(jié)構(gòu)的變形位移狀態(tài)應(yīng)與原結(jié)構(gòu)完全一致，即B點(diǎn)的豎向位移Δ1必須為零，也就是說基本結(jié)構(gòu)在已知荷載與多余未知力X1共同作用下，在拆除約束處沿多余未知力X1作用方向產(chǎn)生的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)在X1方向的位移相等。即：

Δ1=0由疊加原理根據(jù)位移條件可得下列方程

Δ1=Δ11+Δ1P=0若X1=1時(shí)在X1方向產(chǎn)生的位移為δ11，則有：Δ11=δ11X1于是得：

δ11X1+Δ1P=0

此求解多余未知力的補(bǔ)充方程，稱為力法基本方程。為了計(jì)算δ11和Δ1P，分別作基本結(jié)構(gòu)在荷載q作用下的彎矩圖MP(圖8(a))和在單位力X1=1作用下的單位彎矩圖M1(圖8(b))，應(yīng)用圖乘法可得：圖8代入力法方程得：多余未知力X1求得后，即可由靜力平衡條件求得其余的約束反力和內(nèi)力。最后彎矩圖也可以利用已經(jīng)繪出的基本結(jié)構(gòu)的M1圖和MP圖，由疊加原理按下式求得

M=M1X1+MP

最后內(nèi)力圖如圖9所示。

圖9綜上所述，我們把這種取多余未知力作為基本未知量，通過基本結(jié)構(gòu)，利用計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的位移，達(dá)到求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法，稱為力法。8.3力法的典型方程如圖10(a)所示的為一個(gè)三次超靜定剛架?，F(xiàn)去掉固定端支座B，加上相應(yīng)的多余未知力X1、X2和X3，便得到圖10(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。由位移條件可知，基本結(jié)構(gòu)在外荷載和多余未知力X1、X2及X3共同作用下，B處的水平位移Δ1、豎向位移Δ2和角位移Δ3即分別沿X1、X2及X3方向的位移都應(yīng)等于零，即：

Δ1＝0Δ2＝0Δ3＝0根據(jù)疊加原理得：

Δ1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0Δ2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0Δ3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)有：

δ11X1+δ12X2+…+δ1nXn+Δ1P=0……δi1X1+δi2X2+…+δinXn+ΔiP=0……δn1X1+δn2X2+…+δnnXn+ΔnP=0

上式為力法方程的一般形式，通常稱為力法典型方程。由力法方程解出多余未知力X1,X2,…,Xn后，即可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求得原結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力，或按疊加原理求出彎矩：

M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP

再根據(jù)平衡條件即可求其剪力和軸力。式中：δ11、δ22、δ33……δnn----主系數(shù)δ12、δ21、δ13……δij----副系數(shù)Δ1P、Δ2P、Δ3P……ΔnP-----自由項(xiàng)8.4力法應(yīng)用舉例一、力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟(1)選取基本結(jié)構(gòu)。

確定原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，去掉多余約束代之以相應(yīng)的多余未知力，從而得到基本結(jié)構(gòu)。

(2)根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程。(3)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。

首先作基本結(jié)構(gòu)在荷載和各單位未知力分別單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上的彎矩圖或?qū)懗鰞?nèi)力表達(dá)式，然后計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。

(4)求多余未知力。將計(jì)算的系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程，求解得各多余未知力。

(5)繪制內(nèi)力圖。例1圖示兩跨連續(xù)梁，作其內(nèi)力圖。解：1.選取基本結(jié)構(gòu)，確定基本未知量X1：2.建立力法典型方程：

Δ11=δ11X1+Δ1P=03.計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)：

4、求基本末知量：

5、作內(nèi)力圖M=M1X1+MP

例2作圖(a)所示超靜定剛架的內(nèi)力圖。已知?jiǎng)偧芨鳁UEI均為常數(shù)。解：(1)

選取基本結(jié)構(gòu)

此為二次超靜定剛架，去掉C支座約束得如圖(b)所示懸臂剛架作為基本結(jié)構(gòu)。

(2)

建立力法方程δ11X1+δ12X2+Δ1P=0δ21X1+δ22X2+Δ2P=0

(3)

計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)分別作基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖MP圖和單位彎矩圖M1圖、M2圖，如圖(c)、(d)、(e)所示。由圖乘法計(jì)算各系數(shù)和自由項(xiàng)分別為：δ11=4a3/3EIδ22=a3/3EIδ12=δ21=a3/2EIΔ1P=-5qa4/8EIΔ2P=-qa4/4EI(4)求多余未知力將以上各系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程得：(5)作內(nèi)力圖①根據(jù)疊加原理作彎矩圖，如圖(f)所示。②根據(jù)彎矩圖和荷載作剪力圖，如圖(g)所示。③根據(jù)剪力圖和荷載利用結(jié)點(diǎn)平衡作軸力圖，如圖(h)所示。例3計(jì)算圖(a)所示鉸結(jié)排架的內(nèi)力，并作出彎矩圖。解：(1)選取基本結(jié)構(gòu)此排架是一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷橫梁代之以多余未知力X1得到基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。

(2)建立力法方程

δ11X1+Δ1P=0

(3)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)分別作基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖MP圖和單位彎矩圖M1圖如圖(c)、(d)所示。利用圖乘法計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)分別如下：(4)計(jì)算多余未知力將系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程得：解得：X1=-5kN

(5)

作彎矩圖

M=M1X1+MP

作出排架最后彎矩圖如圖(e)所示。8.5超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移時(shí)可以用原超靜定結(jié)構(gòu)已經(jīng)求出的彎矩圖與靜定的基本結(jié)構(gòu)的單位荷載彎矩圖用圖乘法求位移。

具體步驟：(1)力法解超靜定結(jié)構(gòu)，并繪出彎矩圖(即MP圖)；

(2)選擇一個(gè)最簡(jiǎn)單