廣東省廣州市北培高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次（10月）月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2024-2025學(xué)年第一學(xué)期第一次月考高一數(shù)學(xué)科試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集的定義直接求解.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：D2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題即得答案.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.3.已知，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時取等號；故選：B4.已知p：，q：，則是的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充要也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以，是的充分而不必要條件.故選：A.5.在下列選項(xiàng)中，能正確表示集合和的關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，然后利用兩個集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，可得，又，所以故選：B6.已知，，，則最大值是（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，，利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)椋?，，則，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值是.故選：A7.已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合中的元素個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖得出所求集合為，然后根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義求出集合，列舉出元素，從而得解.【詳解】由圖可知陰影部分所表示的集合為．又因?yàn)榧?，所以集合，則，故，共有3個元素．故選：C8.某城市數(shù)、理、化競賽時，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，25名學(xué)生參加物理競賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競賽，其中參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名．若該班學(xué)生共有51名，則沒有參加任何競賽的學(xué)生共有（）名A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】畫出圖，由題意求出分別單獨(dú)參加物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)的人數(shù)，即可求出參賽人數(shù)，進(jìn)而求出沒有參加任何競賽的學(xué)生.【詳解】畫三個圓分別代表數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的人，因?yàn)橛?6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，25名學(xué)生參加物理競賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競賽，參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、化兩科的有5名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，所以單獨(dú)參加數(shù)學(xué)的有人，單獨(dú)參加物理的有人，單獨(dú)參加化學(xué)的有，故參賽人數(shù)共有人，沒有參加任何競賽的學(xué)生共有人.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由元素與集合、集合與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意0是整數(shù)，故A正確；不是有理數(shù)，故B錯誤；0是自然是，0.5不是自然數(shù)，故C錯誤，D正確.故選：AD10.有以下說法，其中正確的為（）A.“是有理數(shù)”是“是實(shí)數(shù)“的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的必要條件D.“”是“”的充分條件【答案】ACD【解析】【分析】對根據(jù)有理數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系即可判斷出結(jié)論；對根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可判斷出結(jié)論；對通過解方程，即可判斷出結(jié)論；對通過解不等式““，即可判斷出結(jié)論．【詳解】．是有理數(shù)是實(shí)數(shù)，因此“是有理數(shù)”是“是實(shí)數(shù)“的充分條件，正確．．，反之不成立，因此”是“”的充分不必要條件，不正確．．由，”因此：””是“”的必要條件，正確；．“”或，“”是“”的充分條件，因此正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判斷，屬簡單題.11.已知為正實(shí)數(shù)，，則（）A.的最大值為 B.的最小值C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】應(yīng)用基本不等式及應(yīng)用常值代換分別計(jì)算判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，A正確；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，B正確；對于C：，令，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取“=”，的最小值為，C正確；對于D：當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，D錯誤；故選：ABC.三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，則______.【答案】．【解析】【分析】根據(jù)并集的概念與運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，，所以.故答案為：13.設(shè)．若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件列不等式求解．【詳解】．若是的充分不必要條件，則且兩等號不能同時取到，解得．故答案為：．14.已知，則最小值為__________.【答案】【解析】【分析】應(yīng)用基本不等式求最小值，注意取值條件.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本小題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是小于的正整數(shù)，，．（1）求，；（2）．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用集合的交集和并集定義即可得到結(jié)果.（2）利用即可的補(bǔ)集和并集定義即可得到結(jié)果.【小問1詳解】，，【小問2詳解】，16.（1）比較與的大?。唬?）已知，求的最小值，并求取到最小值時x的值；【答案】（1）；（2）y最小值為7，此時x=5．【解析】【分析】（1）作差法比較大小；（2）對式子變形后，利用基本不等式求出最小值和此時x的值.【詳解】（1）由，可得；（2）已知，則：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：，即y的最小值為7，此時x=5．17.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時，求，；（2）記，若集合的真子集有7個，求：所有實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意求出集合中方程的解，由中的元素根據(jù)交集、并集運(yùn)算即可求解；（2）由題意得中的元素只有3個，由中的元素即可得到的取值.【小問1詳解】當(dāng)時，，，即，解得或，，，.【小問2詳解】若集合的真子集有7個，則，可得，即中的元素只有3個，而，解得或，則，由（1）知，則當(dāng)時，，故所有實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合為.18.已知全集，集合，（1）若，求（2）若“”是“x∈Q”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】當(dāng)時，可得，則或x>7}，然后求交集即可；由充分不必要條件與集合的包含關(guān)系可得：若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即，然后考慮和兩種情況分別求解即可．【小問1詳解】當(dāng)時，，或x>7}，因?yàn)椋?；【小?詳解】若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即，當(dāng)時，，此時，滿足，當(dāng)時，則，解得：，且和不能同時成立，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為19.已知，，且.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）