遼寧省葫蘆島市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025年1月葫蘆島市普通高中期末考試高二數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生須在答題卡和試題卷上規(guī)定的位置，準(zhǔn)確填寫(xiě)本人姓名?準(zhǔn)考證號(hào)，并核對(duì)條形碼上的信息.確認(rèn)無(wú)誤后，將條形碼粘貼在答題卡上相應(yīng)位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上各題目規(guī)定答題區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)或?qū)懺诒驹嚲砩系拇鸢笩o(wú)效.第I卷（選擇題，共58分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)即可求解出斜率．【詳解】直線的斜率為，故選：C．2.直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用垂直關(guān)系求出，再代入方程聯(lián)立求解交點(diǎn).【詳解】直線與互相垂直,可得，即.把代入直線，得到.聯(lián)立方程組解得.把代入，得.所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.3.設(shè)是單位正交基底，已知向量在基底下的坐標(biāo)為，其中，則向量在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意以基底表示向量即可得出結(jié)論.【詳解】由向量在基底下的坐標(biāo)為可得，又，所以，即可得向量在基底下的坐標(biāo)是.故選：A4.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度列方程即可求解得解.【詳解】由題意可知：實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，故，解得，故雙曲線方程為，故選：C5.現(xiàn)將包含球的5個(gè)不同的小球放入包含甲盒的四個(gè)不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，則不同安排方案的種數(shù)是（）A.180 B.168 C.120 D.90【答案】A【解析】【分析】將5個(gè)小球首先分成四組，再分別放入四個(gè)不同的盒子中去，保證小球不放入甲盒即可.【詳解】首先，將包含球的5個(gè)不同的小球分成四組，共有種組合；然后，將含有球的一組小球放到除去甲盒之外的三個(gè)盒子中，共有種；剩余三組小球再分別放入3個(gè)不同的盒子中，共種；因此不同安排方案的種數(shù)是.故選：A6.過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】就直線的斜率是否存在分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，利用圓心到直線的距離為半徑可求直線方程，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】若直線的斜率不存在，則直線的方程為：，圓心，半徑為，圓心到直線的距離為，符合要求；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即，故圓心到直線的距離為，故，故此時(shí)直線的方程為，故選：D.7.已知集合，直線中的是取自集合中的三個(gè)不同元素，并且該直線的傾斜角為銳角，符合以上所有條件的直線的條數(shù)為（）A.40 B.32 C.24 D.23【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意按照順序分別將的選法種類逐一確定，再除去不合題意的即可.【詳解】由直線的傾斜角為銳角可知斜率一定存在，可得，且，所以異號(hào)，從集合中任取三個(gè)不同元素，且異號(hào)，易知有4種選法，有2種選法，有3種選法，共有種，又因?yàn)楫?dāng)和時(shí)，都表示直線，所以符合條件的直線的條數(shù)為種.故選：D8.已知點(diǎn)在雙曲線上，到兩漸近線的距離分別為，為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且到雙曲線漸近線的距離為，若恒成立，則雙曲線的離心率的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可根據(jù)求解.【詳解】設(shè)，則雙曲線的漸近線方程為，因此，故，由于在雙曲線上，故，即，因此，由于，由可得，故，故離心率的最小值為，故選：B二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.兩圓有2條公切線B.圓與圓的公共弦所在直線的方程是C.D.四邊形的面積為2【答案】ABD【解析】【分析】求出圓心距后可判斷A的正誤，兩圓方程相減后可得公共弦方程，故可判斷B的正誤，利用弦長(zhǎng)公式求出可判斷C的正誤，利用面積公式求出四邊形的面積后可判斷D的正誤.【詳解】由題設(shè)可圓，故，而，故.對(duì)于A，,而，故兩圓相交，故兩圓有2條公切線，故A正確；對(duì)于B，兩圓方程相減后可得公共弦方程為即，故B正確；對(duì)于C，到直線的距離為，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋仕倪呅蔚拿娣e為，故D正確，故選：ABD.10.如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.的最小值為C.若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值是2D.存在點(diǎn)，使直線平面成立【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，需通過(guò)等體積法將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為易求的形式來(lái)判斷是否為定值；對(duì)于選項(xiàng)B，要找到點(diǎn)M的位置使得最小，可利用勾股定理求解；對(duì)于選項(xiàng)C，先找出異面直線與所成的角，再求其正切值；對(duì)于選項(xiàng)D，可通過(guò)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，利用線面垂直的判定定理進(jìn)行推理判斷.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)檎睦庵校?，所?由正四棱柱性質(zhì)可知，且在平面內(nèi)，不在平面內(nèi)，所以平面.那么點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，都是固定的，則底面積和高都為定值，三棱錐體積也是定值，選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：連接，，在中，，，.由余弦定理可得.設(shè)（），則.在中，由余弦定理可得.當(dāng)時(shí)，取得最小值，，則的最小值為，選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)N，連接，則，所以異面直線與所成的角等于.且底面AC.在中，，，底面AC.底面AC.則則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D：假設(shè)存在點(diǎn)，使直線平面.因?yàn)槠矫妫?在正四棱柱中，，，平面，若，則平面，所以，這與正四棱柱中且與相交矛盾，所以不存在點(diǎn)，使直線平面成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.的最小值為D.直線與間的距離最小值為4【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后可得，，據(jù)此逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】由題設(shè)有過(guò)焦點(diǎn)，而，設(shè)，則可得即，此時(shí)且，，故，故A正確；，故B正確；對(duì)于C，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故C成立；對(duì)于D，故直線與間的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故直線與間的距離最小值為8，故選：ABC.第II卷（非選擇題，共92分）三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為，且，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】以為基底，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可求得線段的長(zhǎng).【詳解】如下圖所示：易知，由棱長(zhǎng)均為，且可得，，因此，即可得線段的長(zhǎng)度為.故答案為：.13.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，若的最大值是最小值的4倍，則橢圓的焦距為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由橢圓短軸長(zhǎng)可得，再根據(jù)的最值構(gòu)造方程組可解得，求出結(jié)果.【詳解】依題意可知，由的最大值是最小值的4倍可得，即；又，即；聯(lián)立，解得，所以橢圓的焦距為.故答案為：14.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，線段是該三棱柱內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)是該正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三棱柱性質(zhì)確定出內(nèi)切球的半徑和球心位置，再利用極化恒等式結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可求出結(jié)果.【詳解】由正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為可得底面三角形外接圓半徑為；若該三棱柱有內(nèi)切球，則三棱柱的高剛好為外接圓的直徑，即為，設(shè)內(nèi)切球球心為，如下圖所示：易知球心在正三棱柱的中心處，且半徑為1，即所以，又點(diǎn)是該正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用極化恒等式將數(shù)量積表達(dá)式化簡(jiǎn)可得，再由可得結(jié)果.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知，（1）求的值；（2）求值；（3）求展開(kāi)式中系數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)特征即可求解，（2）利用賦值法即可求解，（3）根據(jù)通項(xiàng)特征，即可列不等式求解.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】令得令得則；【小問(wèn)3詳解】的通項(xiàng)為，令，①②代入得：解得，解得，解得，所以，所以展開(kāi)式中系數(shù)的最大值.16.如圖，在正三棱柱中，是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線性質(zhì)利用線面平行判定定理即可證明得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量即可計(jì)算得出直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】連接，與相交于點(diǎn)，連接，如下圖：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危蕿榈闹悬c(diǎn).又為的中點(diǎn)，故，又平面平面，所以平面【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，由于平面，故平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，所以，設(shè)平面法向量為，則，解得，令得，故，又設(shè)直線與平面所成的角為，所以，故直線與平面所成角正弦值為.17已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，且在拋物線上，求的最小值；（3）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積.【答案】（1）（2）（3）9【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入，求得值，從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由在拋物線上及拋物線的性質(zhì)可知到F的距離與Q到準(zhǔn)線的距離相等，故僅當(dāng)垂直于準(zhǔn)線時(shí)有最小值.（3）設(shè)直線的方程，由直線與圓相切，圓心到直線距離的等于半徑，求得，再聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得到AB的距離為，最后根據(jù)三角形面積公式，代入的值即可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)，故，所以，所以拋物線的方程.【小問(wèn)2詳解】在拋物線上，到F的距離與Q到準(zhǔn)線的距離相等，設(shè)為.的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，易知當(dāng)垂直于準(zhǔn)線時(shí)，取到最小值，，所以的最小值為.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，，顯然不合題意.當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，與圓相切，，聯(lián)立直線與拋物線方程得：，設(shè)，，，到AB的距離為，.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角（即兩個(gè)平面相交時(shí)所成的銳二面角）的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由線面垂直得到，進(jìn)而得到線面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和法向量，結(jié)合點(diǎn)面距離公式計(jì)算即可；（3）結(jié)合（2），設(shè)，得到平面的一個(gè)法向量，結(jié)合題意，構(gòu)造方程計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由平面平面，則，又，由，且平面，所以面，又面，所以平面平面.小問(wèn)2詳解】由（1）易知，又，過(guò)作于，由面面，面面面，所以面，過(guò)作，易知，故可構(gòu)建如圖示空間直角坐標(biāo)系.又，則，所以，若是面的一個(gè)法向量，則解得，所以點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)3詳解】同（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，易知平面的法向量設(shè)，于是，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，所以，整理得，即或（舍）故，所以19.閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)，定理①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過(guò)點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：已知橢圓的離心率為是上一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并寫(xiě)出與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程；（2）設(shè)分別為橢圓左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為的