天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)大港八中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間100分鐘.不允許提前交卷.第I卷（選擇題）一?單選題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的共12題，每題5分，共60分）1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由已知，故選：C．2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是即可得出.【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，所以點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為.故選：A．3.向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件可設(shè)，結(jié)合向量，坐標(biāo)列方程可求，.【詳解】因?yàn)?，，所以可設(shè)，又，，所以，，，所以，，.故選：C.4.已知向量，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得：故選：B.5.直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系，即可得答案.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的的傾斜角為，且，直線(xiàn)的斜率，所以，故選：C6.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線(xiàn)，，若，則（）A.6 B. C.6或 D.或3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)一般形式下的平行條件計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，解得或．?dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足與平行；當(dāng)時(shí)，，可判斷此時(shí)與重合，舍去；所以.故選：A．7.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)式求得邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，整理得.故選：B8.已知圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得到直線(xiàn)過(guò)的中點(diǎn)且與垂直，結(jié)合垂直的斜率結(jié)論可解.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則，所以直線(xiàn)方程為，即.故選：D.9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，則的周長(zhǎng)為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】由橢圓定義得到，結(jié)合，相加得到周長(zhǎng).【詳解】由題意得，故，，由橢圓定義得，故的周長(zhǎng)為.故選：B10.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求得圓C的一般方程，進(jìn)而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓C的方程為，則圓心，則有，解之得,則有圓C的方程為，即故選：C11.已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法求解出的軌跡方程.詳解】設(shè)，由題意可知，所以，又因?yàn)椋?，化?jiǎn)可得，所以的軌跡方程為，故選：A.12.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)且半徑大于1的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，若該圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由圓與兩坐標(biāo)軸相切和過(guò)點(diǎn)求出圓的方程，再由圓的對(duì)稱(chēng)性得到圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于可轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列不等式求解即可.【詳解】由題意，可設(shè)圓心為，則半徑為，故，則圓的方程為，又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以有，化簡(jiǎn)得：（舍）或5，所以圓方程為，因?yàn)樵搱A上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得：.故選：C.第II卷（非選擇題）二?填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）13.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)一般式垂直時(shí)滿(mǎn)足的系數(shù)關(guān)系即可列方程求解.【詳解】與直線(xiàn)垂直，則滿(mǎn)足，解得，故答案為：314.直線(xiàn)與間的距離為_(kāi)_____【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平行直線(xiàn)間的距離公式計(jì)算即可.【詳解】將直線(xiàn)化為，所以?xún)善叫兄本€(xiàn)間的距離.故答案為：.15.已知點(diǎn)，則的面積為_(kāi)________【答案】【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)求解出三角形邊長(zhǎng)和高，然后根據(jù)面積公式求解即可；【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得：所在直線(xiàn)方程為：則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，也即的高為：所以，故答案為：.16.若點(diǎn)在圓：上，過(guò)作圓的切線(xiàn)，則的傾斜角為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】求出過(guò)切點(diǎn)的圓半徑所在直線(xiàn)斜率即可得解.【詳解】依題意，圓：的圓心，半徑，則直線(xiàn)的斜率為，因此切線(xiàn)的斜率為，其傾斜角為.故答案為：17.圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】求出圓心和半徑，利用圓心到直線(xiàn)的距離和半徑即可得解.【詳解】將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為3，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為.故答案為：.18.直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____．【答案】或【解析】【分析】利用分類(lèi)討論，結(jié)合點(diǎn)斜式方程與截距式方程，可得答案.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，則方程為；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意方程可設(shè)，代入，可得，解得，則方程為.故答案為：或.19.圓與圓的公共弦所在的直線(xiàn)的方程為_(kāi)_________，弦長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)兩圓的方程可求公共弦的方程，根據(jù)公式可求公共弦長(zhǎng).【詳解】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，化簡(jiǎn)得公共弦所在直線(xiàn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心，半徑，圓心到公共弦的距離，所以公共弦長(zhǎng)為．故答案為：；.20.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，若為橢圓上一點(diǎn)，【答案】【解析】【分析】由內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式，利用等面積法表示焦點(diǎn)三角形的面積，得到方程，即可得到離心率的方程，計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由題意，可知為橢圓通徑的一半，故，的面積為，又由于的內(nèi)切圓的半徑為，則的面積也可表示為，所以，即，整理得：，兩邊同除以，得，所以或，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率為.故答案為：.三?解答題（本大題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）21.已知圓．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫(xiě)出圓的圓心坐標(biāo)和半徑：（2）若直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1），圓心坐標(biāo)，半徑為（2）或【解析】【分析】（1）配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑；（2）由垂徑定理得到圓心到直線(xiàn)距離，從而根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得到方程，求出答案【小問(wèn)1詳解】由，得，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為．【小問(wèn)2詳解】由，得圓心到直線(xiàn)的距離為，則圓心到直線(xiàn)的距離，得或．22.如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)E在上且．（1）證明：；（2）求點(diǎn)B到平面的距離；（3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）建立如圖所示坐標(biāo)系，求出，再由數(shù)量積為零證明兩直線(xiàn)垂直即可；（2）求出平面的法向量，代入空間向量的點(diǎn)到面的距離公式求解即可；（3）直接代入空間向量的線(xiàn)面角公式求解即可；【小問(wèn)1詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，所以，所以，即.【小問(wèn)2詳解】由可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，又，所以點(diǎn)B到平面的距離為，【小問(wèn)3詳解】由（2）可得平面的法向量為，又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.23.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用線(xiàn)面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量數(shù)量積公式求解二面角；（3）假設(shè)棱存在一點(diǎn)使得，且，即可求出，利用向量的夾角公式列出關(guān)于的方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以,平面,平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】，，設(shè)，，由（2）知平面的法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面的夾角為，則，整理得，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的長(zhǎng)為或.24.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)．求直線(xiàn)的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）利用直線(xiàn)與圓相切，得到，設(shè)出直線(xiàn)方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，求出直線(xiàn)的斜率，從而得解.【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，，由，得，又由，得，所以，橢圓的方程為；（Ⅱ）直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，所以，根據(jù)題意可知，直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率均存在，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，即，