江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語1.3命題及其關(guān)系充分條件與必要條件教案含解析

PAGEPAGE1§1.3命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考情考向分析命題的真假推斷和充分、必要條件的判定是考查的主要形式，多與集合、函數(shù)、不等式、立體幾何中的線面關(guān)系相交匯，考查學(xué)生的推理實力，題型為填空題，低檔難度．1．命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題，其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．3．充分條件、必要條件與充要條件的概念一般地，假如p?q，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q，且q?pp是q的必要不充分條件p?q，且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分又不必要條件p?q，且q?p概念方法微思索若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，請寫出集合A，B的其他關(guān)系對應(yīng)的條件p，q的關(guān)系．提示若AB，則p是q的充分不必要條件；若A?B，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若A?B且A?B，則p是q的既不充分又不必要條件．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)“對頂角相等”是命題．(√)(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(×)(3)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(√)(4)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真．(√)題組二教材改編2．[P8習(xí)題T2]下列命題是真命題的是________．(填序號)①矩形的對角線相等；②若a>b，c>d，則ac>bd；③若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)；④命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題．答案①3．[P7例1]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的__________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要題組三易錯自糾4．命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是____________．答案若x≤y，則x2≤y2解析依據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．5．“sinα>0”是“α是第一象限角”的____________條件．答案必要不充分解析由sinα>0，可得α是第一或其次象限角及終邊在y軸正半軸上；若α是第一象限角，則sinα>0，所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分條件．6．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，則實數(shù)m的取值范圍是____________．答案(2，＋∞)解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.題型一命題及其關(guān)系1．下列命題是真命題的是________．(填序號)①若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng)；②若x2＝1，則x＝1；③若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y)；④若x<y，則x2<y2.答案①2．某食品的廣告詞為“華蜜的人們都擁有”，這句話的等價命題是______________．答案不擁有的人們不華蜜3．命題“若a≥2，則a2≥4”的否命題是______________．答案若a<2，則a2<44．有下列四個命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題．其中真命題為________．(填寫全部真命題的序號)答案①②③解析①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，明顯是真命題，故①正確；②“面積相等的三角形全等”的否命題是“面積不相等的三角形不全等”，明顯是真命題，故②正確；③若x2－2x＋m＝0有實數(shù)解，則Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”是真命題，故其逆否命題是真命題，故③正確；④若A∩B＝B，則B?A，故原命題錯誤，所以其逆否命題錯誤，故④錯誤．思維升華(1)寫一個命題的其他三種命題時，需留意：①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．(2)推斷一個命題為真命題，要給出推理證明；推斷一個命題是假命題，只需舉出反例即可．(3)依據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題干脆推斷不易進(jìn)行時，可轉(zhuǎn)化為推斷其等價命題的真假．題型二充分、必要條件的判定例1(1)設(shè)x∈R，則“2x>2”是“eq\f(1,x)<1”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析解不等式2x>2，得x>1；不等式eq\f(1,x)<1，即為eq\f(x－1,x)>0，解得x>1或x<0.∵{x|x>1}?{x|x>1或x<0}，∴“2x>2”是“eq\f(1,x)<1”的充分不必要條件．(2)已知條件p：x>1或x<－3，條件q：5x－6>x2，則綈p是綈q的____________條件．答案充分不必要解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q?p，p?q，所以綈p?綈q，綈q?綈p，所以綈p是綈q的充分不必要條件．思維升華充分條件、必要條件的三種判定方法(1)定義法：依據(jù)p?q，q?p進(jìn)行推斷，適用于定義、定理推斷性問題．(2)集合法：依據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題．(3)等價轉(zhuǎn)化法：依據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把推斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行推斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題．＝eq\f(1,2)成立”的______________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析a∥b?sin2θ＝cos2θ?cosθ＝0或2sinθ＝cosθ?cosθ＝0或tanθ＝eq\f(1,2)，所以“a∥b”是“tanθ＝eq\f(1,2)成立”的必要不充分條件．(2)習(xí)近平總書記曾引用一句老話“打鐵還需自身硬”來強調(diào)領(lǐng)導(dǎo)干部自身素養(yǎng)建設(shè)的重要性．那么“打鐵”是“自身硬”的________條件．答案必要不充分題型三充分、必要條件的應(yīng)用例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴當(dāng)0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．引申探究若本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件．解若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程組無解，即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件．思維升華充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需留意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要留意區(qū)間端點值的檢驗．跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)p：|2x＋1|<m(m>0)；q：eq\f(x－1,2x－1)>0.若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為__________．答案(0,2]解析由|2x＋1|<m(m>0)，得－m<2x＋1<m，∴－eq\f(m＋1,2)<x<eq\f(m－1,2).由eq\f(x－1,2x－1)>0，得x<eq\f(1,2)或x>1.∵p是q的充分不必要條件，又m>0，∴eq\f(m－1,2)≤eq\f(1,2)，∴0<m≤2.(2)設(shè)n∈N*，則一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，則n＝1,2,3,4.當(dāng)n＝1,2時，方程沒有整數(shù)根；當(dāng)n＝3時，方程有整數(shù)根1,3，當(dāng)n＝4時，方程有整數(shù)根2.綜上可知，n＝3或4.利用充要條件求參數(shù)范圍邏輯推理是從事實和命題動身，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)．邏輯推理的主要形式是演繹推理，它是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、證明數(shù)學(xué)命題的主要方式，也是數(shù)學(xué)溝通、表達(dá)的基本思維品質(zhì)．例已知條件p：2x2－3x＋1≤0，條件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析方法一命題p為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，命題q為{x|a≤x≤a＋1}．綈p對應(yīng)的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<\f(1,2)))))，綈q對應(yīng)的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}．∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,a≤\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1，,a<\f(1,2)，))∴0≤a≤eq\f(1,2).方法二命題p為A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，命題q為B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件，即AB.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1，,a<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,a≤\f(1,2)，))∴0≤a≤eq\f(1,2).素養(yǎng)提升例題中得到實數(shù)a的范圍的過程就是利用已知條件進(jìn)行推理論證的過程，數(shù)學(xué)表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)清楚．1．命題“若a>－3，則a>－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數(shù)為________．答案2解析原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為“若a>－6，則a>－3”是假命題，從而其否命題也是假命題．因此4個命題中有2個假命題．2．命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是________________．答案若a≤b，則a＋c≤b＋c解析否命題是將原命題的條件和結(jié)論都否定，故命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是“若a≤b，則a＋c≤b＋c”．3．“φ＝eq\f(π,2)”是“函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象關(guān)于y軸對稱”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析若函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴必要性不成立．若φ＝eq\f(π,2)，則函數(shù)y＝sin(x＋φ)＝cosx的圖象關(guān)于y軸對稱，∴充分性成立．∴“φ＝eq\f(π,2)”是“函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象關(guān)于y軸對稱”的充分不必要條件．4．“若a≤b，則ac2≤bc2”，則原命題及命題的逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是________．答案2解析其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題．5．有下列命題：①“若x＋y>0，則x>0且y>0”的否命題；②“矩形的對角線相等”的否命題；③“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命題；④“若a＋7是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”的逆否命題．其中正確的是________．(填序號)答案①③④解析①的逆命題“若x>0且y>0，則x＋y>0”為真，故否命題為真；②的否命題為“不是矩形的圖形對角線不相等”，為假命題；③的逆命題為“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R，則m>1”．因為當(dāng)m＝0時，解集不是R，所以應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ<0，))即m>1.所以③是真命題；④原命題為真，逆否命題也為真．所以正確的命題序號是①③④.6．直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.則“m≠－7”是“l(fā)1與l2相交”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析因為l1與l2相交，所以(3＋m)(5＋m)≠8，所以m≠－1且m≠－7.所以“m≠－7”是“l(fā)1與l2相交”的必要不充分條件．7．設(shè)p：實數(shù)x，y滿意x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿意x＋y>2，則p是q的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析當(dāng)x>1，y>1時，x＋y>2肯定成立，即p?q，當(dāng)x＋y>2時，可令x＝－1，y＝4，即q?p，故p是q的充分不必要條件．8．已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．答案(0,3)解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．∵p是q的充分不必要條件，∴MN，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a＋1<4，))解得0<a<3.9．下列結(jié)論錯誤的是________．(填序號)①命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”；②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件；③命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆命題為真命題；④命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”．答案③解析命題③的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0”．若方程有實根，則Δ＝1＋4m≥0，即m≥－eq\f(1,4)，不能推出m>0，所以不是真命題．10．若“數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)是遞增數(shù)列”為假命題，則λ的取值范圍是________________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析若數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)為遞增數(shù)列，則有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ對隨意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<eq\f(3,2).因為原命題為假命題，故所求λ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).11．在△ABC中，角A，B均為銳角，則“cosA>sinB”是“△ABC為鈍角三角形”的____________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析因為cosA>sinB，所以cosA>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，因為角A，B均為銳角，所以eq\f(π,2)－B為銳角，又因為余弦函數(shù)y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減，所以A<eq\f(π,2)－B，所以A＋B<eq\f(π,2)，因為在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>eq\f(π,2)，所以△ABC為鈍角三角形；若△ABC為鈍角三角形，角A，B均為銳角，則C>eq\f(π,2)，所以A＋B<eq\f(π,2)，所以A<eq\f(π,2)－B，所以cosA>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，即cosA>sinB.故“cosA>sinB”是“△ABC為鈍角三角形”的充要條件．12．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，則m的取值范圍是____________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,3)))解析解不等式|x－m|<1，得m－1<x<m＋1.由題意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))(m－1，m＋1)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3)，,m＋1≥\f(1,2)))且等號不同時成立，解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3).13．已知α，β∈(0，π)，則“sinα＋sinβ<eq\f(1,3)”是“sin(α＋β)<eq\f(1,3)”的______________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析因為sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ<sinα＋sinβ，所以若sinα＋sinβ<eq\f(1,3)，則有sin(α＋β)<eq\f(1,3)，故充分性成立；當(dāng)α＝β＝eq\f(π,2)時，有sin(α＋β)＝sinπ＝0<eq\f(1,3)，而sinα＋sinβ＝1＋1＝2，不滿意sinα＋sinβ<eq\f(1,3)，故必要性不成立．所以“sinα＋sinβ<eq\f(1,3)”是“sin(α＋β)<eq\f(1,3)”的充分不必要條件．14．有下列命題：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分條件；②“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集為R”的充要條件；③“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的充分不必要條件；④“xy＝1”是“l(fā)gx＋lgy＝0”的必要不充分條件．其中真命題的序號為________．答案①④解析①當(dāng)x>2且y>3時，x＋y>5成立，反之不肯定，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要條件，故①為真命題；②不等式的解集為R的充要條件是a<0且b2－4ac<0，故②為假命題；③當(dāng)a＝2時，兩直線平行，反之，若兩直線平行，則eq\f(a,1)＝eq\f(2,1)，所以a＝2，所以“a＝2”是“兩直線平行”的充要條件，故③為假命題；④lgx＋lgy＝lg(xy)＝