高等數(shù)學(xué) 課件【ch01】函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)性第一章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01函數(shù)一、數(shù)集與區(qū)間高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)集包括自然數(shù)集（記為N）、整數(shù)集（記為Z）、有理數(shù)集（記為Q）和實(shí)數(shù)集（記為R）。數(shù)值范圍通常用區(qū)間表示。區(qū)間包括四種有限區(qū)間和五種無限區(qū)間。函數(shù)函數(shù)有限區(qū)間a、b都是有限數(shù)，因此以上四種區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間。無限區(qū)間引入記號+∞（讀作“正無窮大”）及-∞（讀作“負(fù)無窮大”），則可類似地表示無限區(qū)間。二、鄰域三、函數(shù)的概念函數(shù)是指集合上的一種基礎(chǔ)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。函數(shù)的定義：我們在觀察或研究某種自然現(xiàn)象或技術(shù)的過程中，常會遇到兩種不同的量。一種是在某過程中保持不變的量，稱為常量，如圓周率、重力加速度、北京至南京的直線距離等。另一種是在某過程中可在一定范圍內(nèi)取不同數(shù)值的量，稱為變量，如自然界中的溫度、變速運(yùn)動物體的速度、經(jīng)濟(jì)問題中的商品的價格等，通常用字母x、y、z等表示。函數(shù)010302函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域就是使式子有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域。函數(shù)值在函數(shù)的表達(dá)式中，自變量x用數(shù)代入所得到的數(shù)值就是函數(shù)值。函數(shù)的表示法函數(shù)f（x）的具體表達(dá)方式是不盡相同的，這就產(chǎn)生了函數(shù)的不同表示法。函數(shù)函數(shù)四、函數(shù)的幾種特性奇偶性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。有界性：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集，若存在一個正數(shù)M，使得對于任意的，恒有。單調(diào)性：單調(diào)增加的函數(shù)和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，并稱區(qū)間I是該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。周期性：對于每個周期函數(shù)來說，定義中的T有無窮多個，通常所說的周期函數(shù)的周期都是指它的最小正周期。函數(shù)五、初等函數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)：我們將常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。復(fù)合函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=（u）的定義域?yàn)镈，函數(shù)

的值域?yàn)镸，如果，則通過中間變量u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為由和構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。函數(shù)其中，x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量。通常又將y=f（u）稱為外層函數(shù)，簡稱外函數(shù)；u=φ（x）稱為內(nèi)層函數(shù)，簡稱內(nèi)函數(shù)。初等函數(shù)：將由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除），且可以用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。六、函數(shù)關(guān)系的建立建立函數(shù)關(guān)系舉例：要把實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系正確抽象出來，首先應(yīng)分析哪些是常量、哪些是變量。然后確定選取哪個為自變量、哪個為因變量，最后根據(jù)題意建立它們之間的函數(shù)關(guān)系，同時給出函數(shù)的定義域。函數(shù)函數(shù)常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)：（1）需求函數(shù)與供給函數(shù)在研究市場問題時，常常會設(shè)計(jì)兩個重要的函數(shù)，即需求函數(shù)和供給函數(shù)。（2）成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)在產(chǎn)品的生產(chǎn)和經(jīng)營活動中，人們總希望盡可能降低成本、提高收入和增加利潤，而成本、收入和利潤這些經(jīng)濟(jì)變量都與產(chǎn)品的產(chǎn)量或銷售量Q密切相關(guān)。02極限的概念一、數(shù)列的極限古人云：“一尺之槌，日取其半，萬世不竭?！币馑际钦f：一尺長的木槌，每天取它的一半，永遠(yuǎn)取不盡。我們把每天取后剩下的部分記為像這樣按一定規(guī)律排列的一列數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列。極限的概念極限的概念數(shù)列可以看作自變量定義在正整數(shù)集上的函數(shù)。當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時，數(shù)列通項(xiàng)的變化趨勢有兩種情況，要么無限趨近于某個確定的常數(shù)，要么無法趨近于一個常數(shù)。將此現(xiàn)象抽象，便可以得到數(shù)列極限的描述性定義。二、函數(shù)的極限極限的概念數(shù)列可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，yn=f（n）。數(shù)列{yn}的極限為常數(shù)A，即當(dāng)自變量n取正整數(shù)且無限增大（n→∞）時，對應(yīng)的函數(shù)值f（n）無限接近常數(shù)A。若將數(shù)列極限概念中自變量n和函數(shù)值f（n）的特殊性撇開，則可以引出函數(shù)極限的一般概念。在自變量x的某個變化過程中，若其對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù)A，則常數(shù)A就為x在該變化過程中函數(shù)f（x）的極限。極限的概念極限的概念自變量趨向于無窮大時函數(shù)的極限：如果當(dāng)x的絕對值無限增大時，函數(shù)f（x）無限接近于某個確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f（x）當(dāng)（x→∞）時的極限。自變量趨向于某一實(shí)數(shù)時函數(shù)的極限：現(xiàn)在研究自變量x趨向于某一實(shí)數(shù)x0(x→x0)時，函數(shù)f（x）的變化趨勢。三、無窮大量與無窮小量無窮大量：在x→α?xí)r，函數(shù)f（x）的絕對值無限地增大，那么稱函數(shù)f（x）在x→α?xí)r為無窮大量，簡稱無窮大。說明：在本段討論中，記號“

”中的α是指有限數(shù)

中的任意一種。極限的概念極限的概念無窮小量：無窮小的概念：如果

，那么稱函數(shù)f（x）在x→α?xí)r為無窮小量，簡稱無窮小。注：（1）無窮小是以零為極限的變量（函數(shù)），不要把一個絕對值很小的數(shù)誤認(rèn)為是無窮小。極限的概念無窮大與無窮小的關(guān)系：在同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)為無窮小，非零無窮小的倒數(shù)為無窮大。無窮小的比較：兩個無窮小之商的極限存在很大差異，這種情況反映了兩個無窮小趨于零的“快慢”程度的不同，其中x2比x快些。03極限的運(yùn)算一、極限的運(yùn)算法則當(dāng)遇到求分母的極限為零、分子的極限不為零的分式函數(shù)的極限時，可利用倒數(shù)的極限及無窮大與無窮小的關(guān)系來確定原式的極限。當(dāng)遇到求分子、分母的極限都為零（這類極限常稱為型未定式極限）的有理分式函數(shù)極限時，應(yīng)先將分子、分母因式分解，約去趨于零的公因式，再求極限。極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算當(dāng)遇到求0/0型非有理函數(shù)未定式極限時，若分子或分母中含有根式，可以先將分子或分母進(jìn)行有理化，約去趨于零的公因式，再求極限。當(dāng)遇到求這種分子、分母都是多項(xiàng)式的∞/∞型未定式極限時，可以先將分子、分母同除以它們的最高次冪，再求極限。二、兩個重要極限極限的運(yùn)算當(dāng)遇到求兩個根式差的極限時，若這兩個根式都是無窮大，則可以先將它們看作分母為1的分式進(jìn)行分子有理化，再求極限。

特別強(qiáng)調(diào)的是，應(yīng)用該重要極限時應(yīng)注意它的格式。

特別強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)用該重要極限時應(yīng)注意它的格式：在某一變化過程中，底的極限為1，指數(shù)是無窮大（稱為1∞型），且底中1加的部分與指數(shù)是倒數(shù)關(guān)系。極限的運(yùn)算04函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性在客觀世界中，許多現(xiàn)象和運(yùn)動都是連續(xù)不斷變化的，如一天中氣溫是隨時間連續(xù)變化的、植物生長過程是連續(xù)且有序變化的、曲線y=lnx是連續(xù)變化的。為了確切地描述一個變量隨另一個變量的變化情況，在這一節(jié)中引入函數(shù)的連續(xù)性概念。一、函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的概念：為了描述函數(shù)的連續(xù)性，先引入函數(shù)增量的概念。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)的直觀意義是自變量的改變量△x為無窮小時，函數(shù)相應(yīng)的改變量△y也為無窮小。函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性左連續(xù)與右連續(xù)：類似于左極限與右極限，也有左連續(xù)與右連續(xù)的概念。函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù)。連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間：若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的每點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義f（x）可知，若函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的三個條件中的任一條件不成立，則點(diǎn)x0是函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)。函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)又可分為可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)通常又可分為無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性若已知函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則由定義16可得

。這為求函數(shù)的極限開辟了一條新的途徑。我們已經(jīng)知道六類基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。其次還可以證明兩個函數(shù)經(jīng)過和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合運(yùn)算后仍是連續(xù)函數(shù)，因此再由初等