2024-2025學(xué)年江西省九江市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省九江市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂；非選擇題使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清晰.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效.4.保持答題卡卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1已知命題p：，，命題q：，，則（）A.：， B.：，C.：， D.：，2.已知數(shù)集滿足：，，若，則一定有：（）A. B. C. D.3.已知命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A B. C. D.5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.某單位采用新工藝將二氧化碳轉(zhuǎn)化為化工產(chǎn)品，其月處理成本y（元）與月處理量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為.請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)月處理量為（）噸時(shí)，可以使每噸的平均處理成本最低？A.100噸 B.150噸 C.200噸 D.250噸，7.在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象.數(shù)學(xué)黑洞：無(wú)論怎樣設(shè)值，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)黑河有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等.定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.8 B.16 C.32 D.648.已知，，，且，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.9二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6題，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組中表示不同集合的是（）A.，B.，C.，D.，10.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為2C.的最大值為1 D.的最小值為11.為配制一種藥液，進(jìn)行了兩次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補(bǔ)滿，攪拌均勻，第二次倒出3升后用水補(bǔ)滿，若在第二次稀釋后桶中藥液含量不超過(guò)容積的75％，則V的可能取值為（）．A.4 B.40 C.8 D.28三、填空題：共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則___________．13.已知，則最大值為_(kāi)__________.14.設(shè)全集，集合，，若集合中有且僅有個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題：共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15.設(shè)全集，，.（1）求；（2）寫出集合所有的真子集.16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得，若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，否則，說(shuō)明理由.17.已知恒成立，.如果中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（1）已知關(guān)于x不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若，解關(guān)于x的不等式.19.設(shè)集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若全集，，求實(shí)數(shù)a取值范圍.2024-2025學(xué)年江西省九江市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂；非選擇題使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清晰.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效.4.保持答題卡卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.：， B.：，C.：， D.：，【正確答案】B【分析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定求解.【詳解】命題p：，，則：，，A錯(cuò)誤B正確；命題q：，，則：，，CD錯(cuò)誤.故選：B.2.已知數(shù)集滿足：，，若，則一定有：（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用交集、并集的概念及運(yùn)算結(jié)合元素與集合的關(guān)系判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以必有，可能且，也可能且，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.3.已知命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】先求出命題和命題，再利用充分條件與必要條件判斷方法，即可求解.【詳解】由，得到，所以，由，得到，所以，若成立，則成立，充分性成立；若成立，則不一定成立，必要性不成立所以是的充分不必要條件，故選：A.4.如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，再結(jié)合韋恩圖求出陰影部分表示的集合.【詳解】依題意，集合或，而，則或，由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由不等式的性質(zhì)可得.【詳解】由，得，又，則，又由得，故.故選：B.6.某單位采用新工藝將二氧化碳轉(zhuǎn)化為化工產(chǎn)品，其月處理成本y（元）與月處理量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為.請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)月處理量為（）噸時(shí)，可以使每噸的平均處理成本最低？A.100噸 B.150噸 C.200噸 D.250噸，【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】依題意，每噸的平均處理成本，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)月處理量為100噸時(shí)，可以使每噸的平均處理成本最低.故選：A7.在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象.數(shù)學(xué)黑洞：無(wú)論怎樣設(shè)值，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)黑河有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等.定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.8 B.16 C.32 D.64【正確答案】C【分析】由自戀數(shù)定義可得集合的一個(gè)子集，解不等式可得集合，求得中的元素個(gè)數(shù)即可得出其子集個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)自戀數(shù)定義可知，所有一位正整數(shù)都是自戀數(shù)，即；解不等式可得，即；所以，即中共有5個(gè)元素，因此的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C8.已知，，，且，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.9【正確答案】B【分析】運(yùn)用基本不等式，通過(guò)已知條件進(jìn)行變形，構(gòu)造基本不等式求最值即可.【詳解】，由于，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為3.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6題，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組中表示不同集合的是（）A.，B.，C.，D.，【正確答案】ABD【分析】根據(jù)集合相等的概念依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】選項(xiàng)A中，是數(shù)集，是點(diǎn)集，二者不是同一集合,故；選項(xiàng)B中，與表示不同的點(diǎn)，故；選項(xiàng)C中，，，故；選項(xiàng)D中，是二次函數(shù)的所有組成的集合，而集合是二次函數(shù)圖象上所有點(diǎn)組成的集合，故.故選：ABD.10.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為2C.的最大值為1 D.的最小值為【正確答案】BC【分析】由基本不等式逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故B正確；，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC11.為配制一種藥液，進(jìn)行了兩次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補(bǔ)滿，攪拌均勻，第二次倒出3升后用水補(bǔ)滿，若在第二次稀釋后桶中藥液含量不超過(guò)容積的75％，則V的可能取值為（）．A.4 B.40 C.8 D.28【正確答案】CD【分析】求出第一次、第二次稀釋后的濃度，根據(jù)第二次稀釋后桶中藥液含量不超過(guò)容積的列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】第一次稀釋后，藥液濃度為，第二次稀釋后，藥液濃度為，依題意有，即，解得，又，即，所以.故選：CD.三、填空題：共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則___________．【正確答案】【分析】根據(jù)集合相等的定義求解即可．【詳解】由題意得，，解得或，當(dāng)時(shí)，集合為，不滿足集合中元素的互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，集合為，滿足題意，故．13.已知，則的最大值為_(kāi)__________.【正確答案】##【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】由知1?2x>0,x1?2x=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最大值為18，故14.設(shè)全集，集合，，若集合中有且僅有個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【正確答案】或或【分析】根據(jù)條件，求得或，再利用數(shù)軸，結(jié)合條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由，得到，所以，得到或，因?yàn)橹杏星覂H有個(gè)整數(shù)，如圖，由圖知，或或，解得或或，故或或.四、解答題：共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15.設(shè)全集，，.（1）求；（2）寫出集合所有的真子集.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求出全集和集合，再利用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算求出.（2）根據(jù)子集的定義可寫出集合所有的真子集.【小問(wèn)1詳解】（1）由題意可得，由，則，，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由，則集合所有的真子集為.16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得，若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，否則，說(shuō)明理由.【正確答案】（1），；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）把代入，利用集合的并集、交集的定義求解即得.（2）假定存在，再結(jié)合集合的包含關(guān)系，列式求解即得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，而，所以，【小問(wèn)2詳解】假定存在實(shí)數(shù)a，使得，即，而，因此，即，無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)a，使得成立.17.已知恒成立，.如果中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)取值范圍.【正確答案】【分析】分別求出命題和命題為真命題時(shí)的取值范圍，再根據(jù)題意即可得出.【詳解】若為真命題，當(dāng)時(shí)，可得恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是.若為真命題，則有，解得，當(dāng)為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是.中有且僅有一個(gè)為真命題，當(dāng)為真命題，為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是;當(dāng)為假命題，為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.綜上，當(dāng)中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.（1）已知關(guān)于x的不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若，解關(guān)于x的不等式.【正確答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用解集為，得出的關(guān)系，再解關(guān)于的不等式；（2）由，然后分，，，進(jìn)行分類討論即可.【詳解】（1）的解集為，，且，，，，，，解得或解集為；（2）由，且，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，綜上知，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.設(shè)集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若全集，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由，得，由此可得關(guān)于的方程求解并驗(yàn)證即可得；（2）由得，按集合中元素的個(gè)數(shù)分類討論即可