專題22 截面【一題一專題 技巧全突破】熱點(diǎn)題型專項(xiàng)突破（原卷版）

截面高考定位立體幾何中的截面問(wèn)題主要考查空間想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,因而截面問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)與難點(diǎn)。專題解析正方體的截面（2）棱柱的截面（3）棱錐的截面（4）圓柱圓錐圓臺(tái)的截面（5）球的截面專項(xiàng)突破類型一、正方體的截面例1-1．如圖正方體，棱長(zhǎng)為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，為四邊形 B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，為六邊形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為練．正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為（）A．5 B． C． D．練．在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面．平面以任意角度截正方體，所截得的截面圖形不可能為（）A．等腰梯形 B．非矩形的平行四邊形C．正五邊形 D．正六邊形練．如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個(gè)（）A．三角形 B．平面四邊形C．平面五邊形 D．平面六邊形練．正方體的棱長(zhǎng)為4，，，用經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體，則所截得的截面面積為（）A． B． C． D．練．如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過(guò)三點(diǎn)A、D1、E的截面過(guò)（）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)C．CD中點(diǎn) D．BB1中點(diǎn)練．如圖，為正方體，任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長(zhǎng)為，則（）A．為定值，不為定值B．不為定值，為定值C．與均為定值D．與均不為定值練．已知正方體，平面和線段，，，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（）A．梯形 B．正方形 C．長(zhǎng)方形 D．菱形練．（2021春?金山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，為過(guò)直線的平面，則截該正方體的截面面積的取值范圍是．練．一個(gè)封閉的正方體容器內(nèi)盛有一半的水，以正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為支撐點(diǎn)，將該正方體在水平桌面上任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)容器內(nèi)的水面與桌面間距離最大時(shí)，水面截正方體各面所形成的圖形周長(zhǎng)為，則此正方體外接球的表面積為_(kāi)__________.類型二、平面截棱柱例2-1．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）A．2+2 B． C． D．類型三、平面截棱錐例3-1．（2021?天津校級(jí)期中）空間四邊形的兩條對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為4，5，則平行于兩條對(duì)角線的截面四邊形在平移過(guò)程中，其周長(zhǎng)的取值范圍是A． B． C． D．練．某藝術(shù)比賽提倡能力均衡發(fā)展，特別將水晶獎(jiǎng)杯設(shè)計(jì)成具有對(duì)稱美的形狀．其形如圖所示，是將棱長(zhǎng)為的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)，作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為的空間幾何體，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該幾何體的體積為 B．該幾何體的外接球表面積為C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體中，二面角的余弦值為練．（2021?泉州模擬）設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形，用平面去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面A．不存在 B．只有1個(gè) C．恰有4個(gè) D．有無(wú)數(shù)多個(gè)練．過(guò)正四面體的頂點(diǎn)作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面所成的角為，這樣的截面共可作出個(gè)．練．（2021?3月份模擬）在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，為正四面體中心（滿足，若，則長(zhǎng)度為．類型四、平面截圓柱、圓錐例4-1．（2021春?浙江期中）如圖所示，一個(gè)圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個(gè)乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計(jì)），一個(gè)平面與兩個(gè)乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．例4-2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅求幾何體的體積時(shí)，提出一個(gè)原理：冪勢(shì)即同，則積不容異.這個(gè)定理的推廣是夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的平面所截，若截得兩個(gè)截面面積比為，則兩個(gè)幾何體的體積比也為.如下圖所示，已知線段長(zhǎng)為4，直線過(guò)點(diǎn)且與垂直，以為圓心，以1為半徑的圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到環(huán)體；以，分別為上下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體；過(guò)且與垂直的平面為，平面，且距離為，若平面截圓柱體所得截面面積為，平面截環(huán)體所得截面面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱體的體積為 B．C．環(huán)體的體積為 D．環(huán)體的體積為練．在如圖所示的斜截圓柱（截面與底面不平行）中，已加圓柱底面的直徑為4cm，母線長(zhǎng)最短5cm，最長(zhǎng)8cm，則斜截圓柱的側(cè)面積為_(kāi)__________cm例4-3．（2021?上海模擬）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為，軸截面的頂角，則過(guò)此圓錐的頂點(diǎn)作該圓錐的任意截面，則面積的最大值是，此時(shí)．練．如圖，是圓臺(tái)的軸截面，，過(guò)點(diǎn)與垂直的平面交下底圓周于兩點(diǎn)，則四面體的體積為_(kāi)_________．類型五、球截面例5-1．球O的內(nèi)接正四面體中，P、Q分別為被AC、AD上的點(diǎn)，過(guò)PQ作平面，使得AB、CD與平行，且AB、CD到的距離分別為1，2，則球О被平面所截得的圓的面積是_______．練．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，若為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值是___________.練．已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE．過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）A． B． C． D．練、（廣東省清遠(yuǎn)市第一中學(xué)2021屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試T16）．四棱錐各頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD為矩形，，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，BC中點(diǎn)，則平面AEF被球O所截得的截面面積為_(kāi)__________．例5-2．體積為的四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面的中心為，四棱錐的外接球球心到底面的距離為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)______________________．練．已知在圓柱內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上?下底面及母線均相切.過(guò)直線的平面截圓柱得到四邊形，其面積為8.若P為圓柱底面圓弧的中點(diǎn)，則平面與球O的交線長(zhǎng)為_(kāi)__________.練．（2021?安徽二模）已知正四面體的中心與球心重合，正四面體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，則正四面體表面與球面的交線的總長(zhǎng)度為A． B． C． D．例5-3.（2020高考山東海南卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)________．練．（2021春?紹興期末）已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為4，點(diǎn)滿足，則以為球心，為半徑的球與四面體表面所得交線總長(zhǎng)度為．練．（2021春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）以棱長(zhǎng)為的正四面體中心點(diǎn)為球心，以為半徑的球面與正四面體的表面相交得到若干個(gè)圓（或圓?。┑目傞L(zhǎng)度的取值范圍是，．練．如圖，已知半徑為的球O的直徑AB垂直于平面，垂足為B，是平面內(nèi)的等腰直角三角形，其中，線段AC、AD分別與球面交于點(diǎn)M、N，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．練．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積類型六、軌跡例6-1．（2021?麗水期末）斜線段與平面所成的角為，為斜足，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支練．（2021秋?翠屏區(qū)校級(jí)期末）如圖，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面的定長(zhǎng)斜線段，為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．兩條平行線 C．一條直線 D．橢圓練．（2021春?江西期中）已知是平面的斜線段，為斜足，若與平面成角，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與斜線成角，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線練．（2021?濱州一模）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為A．圓B．橢圓 C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分練．（多選）（2021?新羅區(qū)校級(jí)月考）如圖，是平面的斜線段，為斜足，點(diǎn)滿足，且在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則有以下幾個(gè)命題，其中正確的命題是A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段 B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一條直線 C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是圓 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓例6-2．（2021?河南二模）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)在面上的射影在直線上，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則所形成軌跡的長(zhǎng)度為A． B． C． D．練．（2021?浙江月考）設(shè)點(diǎn)是長(zhǎng)方體的棱的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在面上，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)的軌跡為A．橢圓的一部分 B．拋物線的一部分 C．一條線段 D．一段圓弧例6-3．（2021?余姚市校級(jí)模擬）在正四面體