專題01導數(shù)十大基礎(chǔ)題型解析-高考數(shù)學二輪復習壓軸題突破拿高分（導數(shù)篇）

2025年高考數(shù)學二輪復習壓軸題突破拿高分（導數(shù)篇）專題01導數(shù)十大基礎(chǔ)題型題型1：導數(shù)的切線問題【例1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【解析】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.【例2】（2023閔行中學練習）已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）的定義域是，，當時，恒成立，在單調(diào)遞增；當時，令，則，顯然成立，解得：，，當時，；當時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2），則，設切點坐標為．由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．顯然直線過原點，則，所以．整理得，即：，得：．設，．當時，，遞減，當時，，遞增．又，．所以存在，使得．存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【例3】（2023寶山區(qū)七校三模）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)．【解析】（1）因為，所以，所以曲線在處的切線方程為．由已知得，，不妨設，又曲線在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，兩式相減得，將，，代入得，化簡得，顯然，所以，所以，又，所以．（2）當直線與曲線相切時，設切點為，則切線方程為，將點代入，解得，此時，，根據(jù)題意得，，，即恒成立．令，則，，令，則，易知在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以．若，則，即在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，符合題意；若，則．又，所以存在，使得，當時，，單調(diào)遞減，即，所以此時存在，使得，不符合題意．綜上可得，a的取值范圍為．【例4】（2023徐匯中學練習）已知，函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)證明：當，且時，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）的定義域為令，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故的取值范圍是.（2）設曲線的切點為，則曲線在點處的切線方程為.聯(lián)立，得，必有，記函數(shù)，由題，故當時，.記，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當，且時，，當時，，故存在，使得，當，或時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由，得，代入并整理得：同理，記，由（1）知為增函數(shù)，，，又，當時，，有三個零點，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.題型2：用研究導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例5】（2023華二期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域為，則．當時，在上恒成立，故此時在上單調(diào)遞減；當時，由，得,由，得，故此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以；當時，(i)若，即時，在上單調(diào)遞增，此時，；(ii)若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，；(iii)若，即時，在上單調(diào)遞減，此時，．綜上所述，．【例6】已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）由已知，則，當時，，，則曲線在處的切線方程為，即（2）由（1）知，，①當時，，當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；②當時，由，得，（ⅰ）當時，，當時，，在，單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當時，，，在單調(diào)遞增；（ⅲ）當時，，當時，，在，單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；綜上可得：①當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當時，在單調(diào)遞增；④當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【例7】已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；極小值答案見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域為．則，令，可得，當變化時，和的變化情況如下：單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．當時，函數(shù)有極小值.（2）因為，所以，所以函數(shù)的定義域為，求導可得令，可得，當時，，因為(當且僅當時，)所以函數(shù)在單調(diào)遞增．當時，，當變化時，和的變化情況如下：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為當時，，當變化時，和的變化情況如下：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為，綜上，當時，函數(shù)在單調(diào)遞增；當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為，題型3：用導數(shù)研究函數(shù)的極值【例8】（2024春?寶山區(qū)校級月考）已知的圖象在，（1）處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）求得的導數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得，求出的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得到所求極值；（2）設，可得，設在為增函數(shù)，設在為增函數(shù)，求得的導數(shù)，再由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出最值，即可得到所求的范圍．【解答】解：（1）的導數(shù)為，可得的圖象在，（1）處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減，可得在處取得極大值，且為，無極小值；（2）可設，若，，，可得，即有，設在為增函數(shù)，即有對恒成立，可得在恒成立，由的導數(shù)為得：當，可得，在遞減，在，遞增，即有在處取得極小值，且為最小值，可得，解得，則實數(shù)的取值范圍是，．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，考查不等式恒成立問題解法，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．【例9】已知函數(shù).(1)證明：恰有一個零點；(2)設函數(shù).若至少存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：令，得.又，所以.令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，所以存在唯一的，使得，即在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，故函數(shù)恰有一個零點.（2）由題意知，所以.因為函數(shù)至少存在兩個極值點，所以方程至少有兩個不等實根.令，則.令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以當時，，即0，此時單調(diào)遞增；當時，，即，此時單調(diào)遞減，且當時，；當時，；當時，.要使在區(qū)間內(nèi)至少有兩個不等實根，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上至少有兩個交點.作出函數(shù)的圖象，如圖所示，則，解得.此時，在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)各有一個零點，分別設為，則當或時，；當時，，故為的極小值點，為的極大值點，符合題意.故實數(shù)的取值范圍是.【例10】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，，證明：.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1）由題得，其中，令，，其中對稱軸為，．①若，則，此時，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，則，此時在上有兩個根，，且，所以當時，，則，單調(diào)遞增；當,時，，則，單調(diào)遞減；當,時，，則，單調(diào)遞增，③當時，當時，，則，單調(diào)遞增，當時，，則，單調(diào)遞減，④當時，，此時在上有兩個根，，所以當時，，則，單調(diào)遞減；當,時，，則，單調(diào)遞增，綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當時，有兩個極值點，，且，，所以．令，，則，故在上單調(diào)遞減，所以，所以，即．【例11】（2024?崇明區(qū)二模）已知．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個不同的極值點，，求證：；（3）若，，數(shù)列滿足，．求證：當時，．【分析】（1）先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可求切線方程；（2）由已知結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系先表示，然后結(jié)合二次方程根的存在條件即可證明；（3）結(jié)合導數(shù)分析的單調(diào)性，結(jié)合已知遞推關(guān)系及函數(shù)單調(diào)性即可證明．【解答】解（1）當時，所以曲線在點處的切線方程為；證明：（2）由，得，令，則，原方程可化為①，則是方程①的兩個不同的根，所以，解得，所以，因為，所以，所以，（3）由題意，，所以當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，因為，所以（1），（1），以此類推，當時，（1），又，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，（1），所以，所以，即，故．【點評】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義在切線方程求解中的應用，還考查了導數(shù)與單調(diào)性在不等式證明中的應用，屬于中檔題．題型4：用導數(shù)研究函數(shù)的最值【例12】（2024?嘉定區(qū)二模）已知常數(shù)，設．（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）是否存在，且、、依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請說明理由．（3）求證：“”是“對任意，，，都有”的充要條件．【分析】（1）求導分析的符號，的單調(diào)性，最值，即可得出答案．（2）根據(jù)題意可得，，則，分兩種情況：當時，當時，討論是否滿足條件，即可得出答案．（3）由，得，令，則原①，證明充分性和必要性，即可得出答案．【解答】解：（1），，令，得，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以（1）．（2）若、、依次成等比數(shù)列，則，若、、成等差數(shù)列，則，所以，所以，當時，成立，當時，則，聯(lián)立，得，，即，所以，與矛盾，所以時，存在，，滿足條件，當時，不存在，，滿足條件．（3）證明：，則，，所以，又，令，上式①，令，則恒成立，單調(diào)遞減，所以（1），充分性：若，則，則恒成立，必要性：要使得①式恒成立，則恒成立，即．【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題．【例13】（2024?閔行區(qū)校級二模）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）當時，證明：有且只有一個零點；（3）求函數(shù)在，上的最小值．【分析】（1）當時，求出、的值，利用導數(shù)的幾何意義可求得曲線在處的切線方程；（2）當時，求得，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理可證得結(jié)論成立；（3）對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在，上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在，上的最小值．【解答】解：（1）當時，，，，，曲線在處的切線方程為；（2）證明：當時，，令，則或，且，列表如下：000增極大值減極小值增函數(shù)的極大值為，極小值為，當時，，又因為（2），由零點存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一零點，綜上所述，當時，函數(shù)有且只有一個零點；（3），，①當時，對任意的，，，則且不恒為零，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則；②當時，由，可得，由，可得，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，則；③當時，對任意的，，且不恒為零，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則．綜上所述，．【點評】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，屬中檔題．題型5：恒成立、能成立與存在性問題【例14】已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）由題意知：定義域為，，令，則，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，恒成立，大致圖象如下圖所示，

則當時，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點；當時，與有兩個不同交點，此時有兩個變號零點，有兩個極值點；當時，與有且僅有一個交點，此時有且僅有一個變號零點，有且僅有一個極值點；綜上所述：當時，無極值點；當時，有兩個極值點；當時，有且僅有一個極值點.（2）由題意知：當時，恒成立；設，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又恒成立，，即實數(shù)的取值范圍為.【例15】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見解析【解析】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.【例16】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1），當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，綜上所述，當時，單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）若對任意恒成立，可得，即對任意恒成立，令，，，令，，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，可得.【例17】（2024春?浦東新區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（3）若，為整數(shù)，且當時，恒成立，求的最大值．【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，再討論和兩種情況，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）方程，轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)分析函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合，求參數(shù)的取值范圍；（3）首先參變分離為，再令，，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的最小值的取值范圍，即可求解的最大值．【解答】解：（1），若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，若，，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上可知，時，的增區(qū)間是，當時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）方程，顯然當時，方程不成立，則，，若方程有兩個不等實根，即與有2個交點，則，當，，時，，在區(qū)間和單調(diào)遞減，并且時，，當時，；當時，，單調(diào)遞增，時，當時，取得最小值，（1），畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：由與有2個交點，得，所以的取值范圍是；（3）當時，，，所以，當時，，，令，，則，由（1）可知，在單調(diào)遞增，且（1），（2），所以在上存在唯一的零點，即在上存在唯一的零點，設此零點為，則，且，當時，，單調(diào)遞減，當，時，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，所以整數(shù)的最大值為2．【點評】本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，解題的關(guān)鍵是運用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，是難題．題型6：導數(shù)的零點、方程的根與交點問題【例18】設函數(shù)，，其中，曲線在處的切線方程為(1)若的圖象恒在圖象的上方，求的取值范圍；(2)討論關(guān)于的方程根的個數(shù)．【答案】(1)；(2)答案見解析【解析】（1），則，則,又因為，解得，，所以；由題意得，對一切恒成立，分離參數(shù)得，對一切恒成立，令，則，令，則，，所以函數(shù)過點，且在上單調(diào)遞減，當時，；當時，．又易知與同號，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，故的取值范圍為；（2）由題意，原方程等價于分離參數(shù)后的方程，令，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當時，；當時，，所以的大致圖象如圖.觀察圖象可知：

當時，方程根的個數(shù)為；當時，根的個數(shù)為；當時，根的個數(shù)為．【例19】已知a≥1，函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的零點個數(shù)．【答案】見解析【解析】(1)若a＝1，則f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋2(x－1)．當0＜x＜1時，f′(x)＜0；當x＞1時，f′(x)＞0．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．(2)當a＝1時，f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，因為f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)有1個零點．當a＞1時，f′(x)＝1＋lnx－a＋2a(x－1)＝1＋lnx＋2ax－3a，令g(x)＝1＋lnx＋2ax－3a，因為a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1＋lneq\f(3,2)＞0，所以存在實數(shù)x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，使得g(x0)＝0．在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)．所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0滿足f′(x0)＝0，即1＋lnx0＋2ax0－3a＝0．所以f(x0)＝x0lnx0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，因為x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以f(x0)＜0，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(a,9)＋1－eq\f(ln3,3)＞0，f(3)＝3ln3＋a＋1＞0，所以f(x)有2個零點．綜上所述，當a＝1時，f(x)有1個零點；當a＞1時，f(x)有2個零點【例20】已知函數(shù)，其中.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有2個不同的極值點，求的取值范圍；(3)若恰有2個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.(2)(3)【解析】（1）解：若，則，可得，設，則，當時，遞增；當時，遞減，所以，即，所以在遞減，即的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.（2）解：由函數(shù)，可得，由題意可得有兩個不等的正根，設，若，則在遞增，不符合題意；若，可得，令，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，可得，因為有兩個不等的正根，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）解：由，可得，即，設，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，又時，時，，因為恰有2個不同的零點，所以，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.【例21】已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設函數(shù)，若函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【解析】（1）解：由函數(shù)，可得，因為，可得，解得，所以且，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當，函數(shù)取得極大值；當，函數(shù)取得極小值，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）解：由函數(shù)和，可得，因為函數(shù)在上有三個零點，即有三個實數(shù)根，等價于與的圖象有三個不同的交點，又由，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當，函數(shù)取得極小值；當，函數(shù)取得極小值，又由當時，，當時，，要使得與的圖象有三個不同的交點，可得，即實數(shù)的取值范圍是.【例22】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）當時，，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【例23】（2024春?虹口區(qū)校級月考）已知函數(shù)的極小值為1．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）設函數(shù)．①證明：當時，，恒成立；②若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【分析】求導之后，討論單調(diào)性，再根據(jù)題設條件列式即可求解；①法一：先判定的單調(diào)性，再結(jié)合（1）的結(jié)論放縮即可；法二：直接利用的結(jié)論放縮即可，②研究的單調(diào)性，極值的符號，再結(jié)合零點存在性定理的推論即可求解．【解答】解：（Ⅰ）的定義域為，．當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，無極小值；當時，令，；令，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的極小值為（a），即．綜上，．（Ⅱ）①法一：，．，，即在上單調(diào)遞減．．由（Ⅰ）知，的最小值為（1），即（當且僅當時，等號成立）．，即．法二：由（Ⅰ）知，的最小值為（1），即（當且僅當時，等號成立）．因為，所以所以得證．②．當時，，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點．當時，．令，；令，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的最小值為．設，．令，；令，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以的最大值為．當時，（1），只有一個零點；當時，，又（1），．所以有兩個零點；當時，，由①知，當時，對，恒成立，又（1），所以有兩個零點；綜上：或．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學生的運算能力，屬于難題．【例24】已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．(1)求實數(shù)a；(2)設直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為（），證明：．【答案】(1)(2)證明見詳解【解析】（1）由題意可得：，顯然，當時，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到最大值；當時，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到最小值，不合題意；綜上所述：，在處取到最大值.因為的定義域為，且，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到最大值；由題意可得：，解得.（2）由（1）可得：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到最大值，且當x趨近于時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，可得直線與曲線至多有兩個交點；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取到最大值，且當x趨近于時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，可得直線與曲線至多有兩個交點；若直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，則，

此時直線與曲線、均有兩個交點，構(gòu)建，構(gòu)建，且，則，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到最大值，構(gòu)建，則，因為，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，當且僅當時，等號成立，可得：當時，，則，所以；當時，，且在上單調(diào)遞增，則，可得，所以；當時，，且在上單調(diào)遞減，則，可得，所以；綜上所述：當時，；當時，；當時，.結(jié)合題意可得：直線與曲線的兩個交點橫坐標為，與的兩個交點橫坐標為，且，當，可得，即，可得，即，因為在上單調(diào)遞增，且，則，可得所以；當，可得，即，可得，即，因為在上單調(diào)遞增，且，則，可得，所以；綜上所述：，即.題型7：不等式的證明【例25】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.【例26】已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析【解析】（1）的定義域為，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，所以的極大值為，無極小值；（2）設，則，令，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，，，所以存在，使得，即．當時，，即，單調(diào)遞減，當時，，即，單調(diào)遞增，所以當時，在處取得極小值，即為最小值，故，設，因為，由二次函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，所以當時，，即．【例27】已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若不等式恒成立，求的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)(3)證明見解析【解析】（1）當時，，則，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由，得，設，當時，，所以當時，，不符合題意．當時，，設，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為，當，即時，因為，所以當時，，即，此時單調(diào)遞增，所以，不符合題意．當，即時，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意．綜上所述，的取值范圍為．（3）由（2）可得當時，，即，令，則，所以，以上各式相加得，即，所以．【例28】已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，求證：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）由題意知：的定義域為，；①當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）要證，只需證，又，，則只需證；①當時，，，恒成立；②當時，，，，則只需證，即證，令，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，，，使得，且當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，又，當時，，即；當時，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；綜上所述：當時，恒成立，即.【例29】已知．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個極值點，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用給定的單調(diào)性列出不等式，再結(jié)合恒成立條件求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出a的取值范圍，將用a表示出，再構(gòu)造函數(shù)并借助導數(shù)推理作答.【解析】（1）函數(shù)定義域為，依題意，，成立，即，成立，而當時，，因此，而時，不是常數(shù)函數(shù)，于是得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，因有兩個極值點，則，即有兩不等正根，于是得，有，，，令，，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，使得，即，當時，，當時，，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，顯然在上單調(diào)遞增，則，因此，即有，所以.【點睛】思路點睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理，本題的關(guān)鍵點在于轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題后，需要通過隱零點代換，進而求出函數(shù)的最值，使問題得到解決.題型8：雙變量問題【例30】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且存在兩個極值點，，證明：．【解答】解：（1）的定義域為，，若，則，所以在單調(diào)遞增；若，當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；證明：（2）因為存在兩個極值點且，，所以的兩個極值點，滿足，所以，不妨設，則，則，要證，只需證，設，則，知在單調(diào)遞減，又（1），當時，，故，即，所以．【例31】已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個極值點，且，求的范圍.【解析】(1)∵，，當時，，，在定義域上單調(diào)遞增；當時，在定義域上，時，在定義域上單調(diào)遞增；當時，令得，，，時，；時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可知：當時，在定義域上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（其中，）(2)由（1知有兩個極值點，則，的二根為，則，，，設，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是【例32】已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若，是的兩個極值點，且，證明：.【解析】(1)因為恒成立，所以，即.令函數(shù)，則恒成立.令函數(shù)，則，當時，，當時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以等價于，即恒成立，令函數(shù)，則，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故的取值范圍是；(2)因為是的兩個極值點，所以是方程的兩個根，令，則，有（1）的討論可知，若存在兩個零點，，且，由，即，因為，所以，即需證恒成立，由可得，令，則，，所以等價于，即，令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故；題型9：極值點偏移問題【例33】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導的定義域為，則令,得當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【例34】已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方