第七章隨機變量及其分布（知識歸納題型突破）（11題型清單）（原卷版）

第七章隨機變量及其分布（11題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記1：條件概率（1）一般地，設，為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．2：乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．3：事件的相互獨立性（1）事件與事件相互獨立：對任意的兩個事件與,如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立.（2）性質：若事件與事件相互獨立，則與,與,與也都相互獨立，,.4：全概率公式（1）一般地,設,,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.5：兩點分布對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用表示“成功”,

表示“失敗”,定義如果，則，那么的分布列如下所示：01我們稱服從兩點分布或者分布.6：離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量的概率分布為：…………則稱為隨機變量的均值(mean)或數學期望(mathematicalexpectation),數學期望簡稱期望.稱為隨機變量的方差，有時也記為.稱為隨機變量的標準差.7：二項分布一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數，則的分布列為，.如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．8：超幾何分布一般地，假設一批產品共有件，其中有件次品，從件產品中隨機抽取件(不放回)，用表示抽取的件產品中的次品數，則的分布列為，.其中，，，，．如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布．9：正態(tài)分布若隨機變量的概率密度函數為，(,其中，為參數)，稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為.0303題型歸納題型一計算條件概率例題1：（2025·河南鄭州·一模）將一枚質地均勻的正八面體骰子連續(xù)拋擲2次，其八個面上分別標有八個數字，記錄骰子與地面接觸的面上的點數，用X，Y表示第一次和第二次拋擲的點數，則（

）A． B． C． D．例題2：（2425高三上·天津·期末）中華茶文化源遠流長，博大精深，不但包含豐富的物質文化，還包含深厚的精神文化.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現在某綠茶廠將采摘后的茶葉進行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為每道工序的加工都相互獨立，則茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為；在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，殺青加工合格的概率為.例題3：（2425高三上·上海楊浦·期末）某校高二有人報名足球俱樂部，人報名乒乓球俱樂部，人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為．鞏固訓練1．（2425高三上·江蘇·期末）第屆中國國際航空航天博覽會于年月日至日在珠海舉行．本屆航展規(guī)模空前，首次打造“空、海、陸”一體的動態(tài)演示新格局，盡顯逐夢長空的中國力量．航展共開辟了三處觀展區(qū)，分別是珠海國際航展中心、金鳳臺觀演區(qū)、無人系統(tǒng)演示區(qū)．甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個觀展區(qū)至少有人，每人只參觀一個觀展區(qū)．在甲參觀珠海國際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．2．（2324高三下·河北·階段練習）甲、乙、丙、丁位同學報名參加學校舉辦的數學建模、物理探究、英語演講、勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學報的活動其他同學不報的情況下，位同學所報活動各不相同的概率為（

）A． B． C． D．3．（2425高三上·湖北·期末）對于隨機事件A，B，若，，，則.題型二乘法公式應用例題1：（2024高三·全國·專題練習）一個不透明的箱子裝有若干個除顏色外完全相同的紅球和黃球．若第一次摸出紅球的概率為，在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為，則第一次摸出紅球且第二次摸出黃球的概率為（）A． B． C． D．例題2：（2324高二下·江蘇常州·期中）已知隨機事件，則..例題3：（2425高三·上?！ふn堂例題）已知，，則．鞏固訓練1．（2021高二下·山東青島·期中）某機場某時降雨的概率為，在降雨的情況下飛機準點的概率為，則某時降雨且飛機準點的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江·模擬預測）已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.3．（2324高二下·黑龍江哈爾濱·期中）某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為，已知下雨的條件下，刮風的概率為，則既刮風又下雨的概率為．題型三全概率公式例題1：（2425高三上·山東濰坊·期末）盒中有5個紅球，3個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并放入同色球2個，再從盒中任取一球，則第二次取出的是黑球的概率是（

）A． B． C． D．例題2：（2425高三上·安徽宿州·期末）兩批同種規(guī)格的產品，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為，將兩批產品混合，從混合產品中任取一件，則這件產品為次品的概率為.例題3：（2425高三上·天津靜海·階段練習）有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺為舊車床加工的次品率為，第二，三臺為新車床加工的次品率均為，三臺車床加工出來的零件混放在一起.已知一，二，三臺車床加工的零件數分別占總數的，，.任取一個零件，計算它是次品的概率為.鞏固訓練1．（2425高二上·黑龍江哈爾濱·期末）某地市場上供應一種玩具電動車，其中甲廠產品占，乙廠產品占，丙廠產品占，甲廠產品的合格率是95%，乙廠產品的合格率是90%，丙廠產品的合格率是80%，若從該地市場上買到一個電動車，此電動車是次品的概率是（

）A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.92．（2425高三上·云南昆明·期中）若，，，則.3．（2324高二下·湖南邵陽·期末）有甲、乙兩個工廠生產同一型號的產品，其中甲廠生產的占，甲廠生產的次品率為，乙廠生產的占，乙廠生產的次品率為，從中任取一件產品是次品的概率是．題型四貝葉斯公式例題1：（2324高二下·廣東廣州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學，其中參加數學興趣社團的學生分別有10人和8人，現從這兩個班中隨機抽取一名同學，若抽到的是參加數學興趣社團的學生，則他來自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．例題2：（2324高二下·福建泉州·期末）某學校有兩家餐廳，王同學第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．例題3：（2025高三·全國·專題練習）一個大型電子設備制造廠有和兩條生產線負責生產電子元件.已知生產線的產品合格率為，生產線的產品合格率為，且該工廠生產的電子元件中來自生產線，來自生產線.現從該工廠生產的電子元件中隨機抽取一個進行檢測，則該電子元件在檢測不合格的條件下來自生產線的概率是.鞏固訓練1．（2324高二下·江蘇揚州·階段練習）假設甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球．現從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球．已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·廣東佛山·階段練習）若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（）A． B． C． D．3．（2526高三上·上?！卧獪y試）某倉庫有同樣規(guī)格的產品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三個廠生產的，且三個廠的次品率分別為、、．現從這12箱中任取一箱，再從取得的一箱中任意取出一個產品．若已知取得一個產品是次品，則這個次品是乙廠生產的概率是．題型五利用離散型隨機變量的性質求參數或概率例題1：（2324高二下·江蘇·單元測試）已知隨機變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．例題2：（2024高三·全國·專題練習）隨機變量Y的概率分布如下：Y123456P0.1x0.350.10.150.2則＝.例題3：（2024高三·全國·專題練習）已知離散型隨機變量的分布列為：123m則．鞏固訓練1．（2324高二下·河北滄州·期中）已知離散型隨機變量X的分布列為（，2，3），則（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·寧夏石嘴山·期中）設隨機變量X的概率分布為（，），則.3．（2324高二下·江蘇無錫·期中）若隨機變量的分布列為01230.10.20.20.30.10.1則當時，實數的取值范圍是.題型六離散型隨機變量的的分布列，均值例題1：（2425高三上·天津北辰·期末）某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.一旦某次考試通過，便可領取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.5，0.6，0.7，且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一年內領到資格證書的概率為；他在一年內參加考試次數的數學期望為.例題2：（2425高三上·廣西河池·期末）新春佳節(jié)即將到來，某超市為了刺激消費、提高銷售額，舉辦了回饋大酬賓抽獎活動，設置了一個抽獎箱，箱中放有7折、7.5折、8折的獎券各2張，每張獎券的形狀都相同，每位消費者可以從中任意抽取2張獎券，最終超市將在結賬時按照2張獎券中最優(yōu)惠的折扣進行結算．(1)求一位消費者抽到的2張獎券的折扣相同的概率；(2)若某位消費者購買了300元（折扣前）的商品，記這位消費者最終結算時的消費金額為，求的分布列及數學期望．例題3：（2425高三上·貴州黔南·期末）某同學參加射擊俱樂部射擊比賽，每人最多有三次射擊機會，射擊靶由內環(huán)和外環(huán)組成，若擊中內環(huán)得10分，擊中外環(huán)得5分，脫靶得0分．該同學每次射擊，脫靶的概率為，擊中內環(huán)的概率為，擊中外環(huán)的概率為，每次射擊結果相互獨立，只有前一發(fā)中靶，才能繼續(xù)射擊，否則結束比賽．(1)在該同學最終得分為10分的情況下，求該同學射擊了2次的概率；(2)設該同學最終得分為X，求X的分布列和數學期望．鞏固訓練1．（2425高三下·安徽·開學考試）甲、乙兩人進行電子競技比賽，已知每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且.規(guī)定：比賽中先贏三局者獲勝，比賽結束.若每局比賽結果相互獨立，記比賽共進行了局，則的數學期望的最大值為.2．（2425高三上·河北唐山·階段練習）某大學社團共有8名大學生，其中男生4人，女生4人，從這8名大學生中任選4人參加比賽．(1)設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件，求；(2)設所選的4人中男生和女生的人數分別為，記，求隨機變量的分布列和數學期望．3．（2425高三上·湖南長沙·期末）甲同學計劃去參觀某景點，但門票需在網上預約.該同學從第一天開始，每天在規(guī)定的預約時間段開始預約，若預約成功，便停止預約；若連續(xù)預約三天都沒成功，則放棄預約.假設該同學每天預約門票成功的概率均為0.7，(1)求甲同學到第三天才預約成功的概率；(2)記為甲同學預約門票的天數，求的分布列和期望.題型七均值的性質例題1：（2324高二下·山東棗莊·期末）某品牌飲料正在進行有獎促銷活動，一盒5瓶裝的飲料中有2瓶有獎，消費者從中隨機取出2瓶，記X為其中有獎的瓶數，則為（

）A．4 B．5 C．6 D．7例題2：（2425高二下·全國·課后作業(yè)）端午節(jié)是中國四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，風俗習慣形式多樣，內容豐富多彩．某居民小區(qū)為了讓業(yè)主度過愉快的端午節(jié)，業(yè)委會組織舉辦了一場現場抽獎游戲，規(guī)則如下：袋中共有張質地均勻的卡片，其中張卡片圖案是粽子，另外張卡片圖案是龍舟，業(yè)主從該袋子中不放回地隨機抽取張卡片，如果張卡片圖案相同，則獲得元的購物卡；如果張卡片中有張圖案相同，則獲得元購物卡；其他情況，則不獲得任何獎勵．設是業(yè)主在一次抽獎活動中獲得的購物卡金額，則．例題3：（2024·四川南充·一模）某一隨機變量X的分布列如下表，且，則.X0123P0.1m0.2n鞏固訓練1．（2425高三上·云南楚雄·期末）已知隨機變量的分布列為123下列結論正確的是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）袋中裝有10個大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到一個白球的概率是.現從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為，則.3．（2024高二下·全國·專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列為101a設，則Y的數學期望．題型八方差的性質例題1：（2324高二下·黑龍江牡丹江·階段練習）已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．例題2：（多選）（2324高二下·新疆·期中）已知，，則（

）A． B．C． D．例題3：（多選）（2324高二下·廣東廣州·期末）設離散型隨機變量的分布列如下表，若離散型隨機變量滿足.則下列結論正確的是（

）01230.20.10.2A． B．C． D．鞏固訓練1．（2324高二下·福建福州·期中）隨機變量的分布列如下，且，則（

）012A． B． C． D．2．（2324高二下·安徽安慶·期末）已知兩個離散型隨機變量，，滿足，其中的分布列如下：123Pab其中a，b為非負數.若，，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2324高二下·安徽合肥·期末）設離散型隨機變量X的分布列為：X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足，則（

）A． B．C． D．題型九二項分布例題1：（2425高二上·河南南陽·期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每場比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、乙每次至少射中8環(huán)．根據統(tǒng)計資料可知，甲擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.7，0.2，0.1，乙擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.6，0.2，0.2，且甲、乙兩人射擊相互獨立．(1)在一場比賽中，求甲擊中的環(huán)數多于乙擊中的環(huán)數的概率；(2)若獨立進行三場比賽，用X表示這三場比賽中甲擊中的環(huán)數多于乙擊中的環(huán)數的場數，求X的分布列與數學期望．例題2：（2425高三上·山東淄博·期末）某地為弘揚我國傳統(tǒng)文化，舉辦知識競賽活動，每位參賽者從以下兩種方式中選擇一種參賽：①活動共設有3個問題，能正確回答問題者才能進入下一個問題，否則即被淘汰，3個問題都回答正確即獲得“智慧星”稱號；②活動需參賽者回答5個問題，至少正確回答4個即能獲得“智慧星”稱號；甲乙兩人參加此次競賽活動，甲選擇第一種方式，他能正確回答第一、二、三個問題的概率分別為，乙選擇第二種方式，他能正確回答每一個問題的概率均為．兩種方式下各個問題能否正確回答均互不影響，兩人彼此之間也互不影響．(1)求甲沒有獲得“智慧星”稱號的概率；(2)求乙獲得“智慧星”稱號的概率．(3)記事件“乙正確回答問題的個數比甲正確回答問題的個數多3個”，求事件發(fā)生的概率．例題3：（2425高二上·江西南昌·期末）南昌瓷板畫：融合了中國傳統(tǒng)繪畫、陶瓷彩繪和西方攝影術的精髓，從繪畫到燒制流程復雜，精品率非常低，在制作過程會出現常規(guī)品和精品兩種情況.(1)某新匠人一天能制作兩件作品，制作第一件作品精品率為，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率為，第二件作品在第一件是常規(guī)品的前提下的精品率為，求該新匠人第二件作品是精品的概率；(2)某老匠人水平穩(wěn)定且一天能制作三件作品，每一件瓷板畫作品的精品率為，若常規(guī)品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求該老匠人一天盈利的分布列和期望.鞏固訓練1．（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知，記，若是唯一的最大值，則的值為.2．（2425高三下·湖南長沙·階段練習）某單位在“全民健身日”舉行了一場趣味運動會，其中一個項目為投籃游戲.游戲的規(guī)則如下:每局游戲需投籃3次，若投中的次數多于未投中的次數，該局得3分，否則得1分.已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結果相互獨立.(1)求甲在一局游戲中投籃命中次數的分布列與期望；(2)若參與者連續(xù)玩局投籃游戲獲得的分數的平均值大于2，即可獲得一份大獎.現有和兩種選擇，要想獲獎概率最大，甲應該如何選擇?請說明理由.3．（2425高三上·陜西西安·期末）蛇年來臨之際，某商場計劃安排新春抽獎活動，方案如下：1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球，再從2號不透明的盒子取出1個小球，若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語，則這位顧客中獎，反之沒有中獎，每位顧客只能進行一輪抽獎．已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結果相互獨立．(1)求顧客中獎的概率；(2)若小明一家三口參加這個抽獎活動，求小明全家中獎次數的分布列及數學期望．題型十超幾何分布例題1：（2425高三上·江蘇·期末）某新能源汽車公司對其銷售的A，B兩款汽車向消費者進行滿意度調查，從購買這兩款汽車消費者中各隨機抽取10名進行評分調查滿分100分，評分結果如下：數據Ⅰ型車，81，73，80，81，77，86，85，90，；數據Ⅱ型車，76，81，67，72，87，86，95，93，(1)求數據Ⅰ的25百分位數；(2)該公司規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的消費者中隨機抽取3人溝通不滿意的原因及改進建議，設被抽到的3人中購買B型車的消費者人數為X，求X的概率分布及數學期望.例題2：（2425高三上·江蘇南京·期中）某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人的開發(fā)主要采用（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為80%，當出現語法錯誤時，它的回答被采納的概率為40%．(1)在某次測試中輸入了8個問題，聊天機器人的回答有5個被采納，現從這8個問題中抽取4個，以X表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求X的分布列和數學期望；(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為p，若聊天機器人的回答被采納的概率為70%，求p的值．例題3：（2425高三上·北京·階段練習）某市，兩所中學的學生組隊參加信息聯賽，中學推薦了3名男生、2名女生.中學推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊參賽.(1)求中學至少有1名學生入選代表隊的概率；(2)設表示中學參賽的男生人數，求的分布列和數學期望；(3)已知3名男生的比賽成績分別為76，80，84，3名女生的比賽成績分別為77，，81，若3名男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，寫出的取值范圍（不要求過程）.鞏固訓練1．（多選）（2024高三·全國·專題練習）某工廠進行產品質量抽測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品，已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品，員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品．設員工A抽取到的3件產品中次品數量為X，員工B抽取到的3件產品中次品數量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（

）A．隨機變量X服從二項分布 B．隨機變量Y服從超幾何分布C． D．2．（2425高三上·江蘇揚州·期末）已知給定兩個集合，從兩個集合中各隨機取出兩個元素合并成一個集合．(1)若，求集合中恰有三個元素的概率；(2)若，設集合中元素的個數為，求隨機變量的分布列與期望．3．（2425高二上·江西南昌·期末）袋中裝有12個大小相同的球，其中紅球2個，黃球3個，白球7個，從中隨機取出3個球.(1)求取出的3個球中有2個白球的概率；(2)設X表示取到的紅球個數，求X的分布列與數學期望.題型十一正態(tài)分布例題1：（2425高二上·吉林·期末）某學校高二年級數學聯考成績，如果規(guī)定大于或等于105分為數學成績“良好”，那么在參加考試的學生中隨機選擇一名，他的數學成績?yōu)椤傲己谩钡母怕适牵?/p>

）（提示：若，則，，）=0.9973）A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135例題2：（多選）（2425高三上·安徽·期末）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．例題3：（2425高二上·遼寧遼陽·期末）小法每周都去同一家大型超市購買一箱蘋果，該超市的售貨員說該大型超市所出售的每箱蘋果的平均質量是5000克，上下浮動不超過100克，