立體圖形的直觀圖導學案答案

8．2立體圖形的直觀圖學案學習目標1．掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．2.會用斜二測畫法畫常見的柱體、錐體、臺體、球以及簡單組合體的直觀圖．情境導入學習空間幾何體，除了要會辨認它們，還需要作圖來表示這些幾何體，以便進一步提高對空間幾何體結構特征的認識．同時，比較準確地畫出幾何圖形，是學好立體幾何的一個前提．我們常用三視圖和直觀圖來表示空間幾何體．在初中就已知道，三視圖是觀察者從三個不同位置來觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形．而直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體而獲得的圖形．怎樣畫出現(xiàn)實生活中相應幾何體的直觀圖呢？

新知探究知識點一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法問題引導1.我們都非常喜歡打乒乓球，乒乓球臺是長方形的，為什么從旁邊看起來是一個平行四邊形呢？提示：在乒乓球臺上建立平面直角坐標系，如圖所示，當將兩坐標軸的夾角變?yōu)?5°或135°時，臺面看起來就是平行四邊形了．知識點總結用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟典例探究例1用斜二測畫法畫出如圖所示的水平放置的△OAB的直觀圖．解：(1)在三角形中建立如圖①所示的直角坐標系xOy，再建立如圖②所示的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在圖①中作BD⊥x軸于D，在坐標系x′O′y′中，沿x′軸正方向取O′A′＝OA，沿x′軸負方向取O′D′＝OD.(3)在坐標系x′O′y′中沿y′軸正方向畫D′B′平行于y′軸，且D′B′＝eq\f(1,2)DB.(4)連接O′B′，A′B′，去掉輔助線，得到△O′A′B′，即水平放置的平面圖形△OAB的直觀圖，如圖③所示．畫水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)淖鴺讼凳顷P鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．(2)畫平面圖形的直觀圖時，首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．變式訓練1．用斜二測畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．解：畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．知識點二空間幾何體的直觀圖問題引導2.我們可以把長方體看成底面ABCD沿著與底面垂直的方向平移后形成的幾何體，依據(jù)這一點，如何作出長方體的直觀圖呢？提示：先作出底面的直觀圖，然后找一個與底面垂直的方向，將底面平移，就形成了長方體的直觀圖．知識點總結空間幾何體直觀圖的畫法步驟(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個與x軸、y軸都垂直的eq\o(□,\s\up1(1))z軸，直觀圖中與之對應的是eq\o(□,\s\up1(2))z′軸．(2)畫底面：eq\o(□,\s\up1(3))x′O′y′平面表示水平平面，eq\o(□,\s\up1(4))y′O′z′平面和eq\o(□,\s\up1(5))x′O′z′平面表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖．(3)畫側棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中eq\o(□,\s\up1(6))平行性和eq\o(□,\s\up1(7))長度都不變．(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為eq\o(□,\s\up1(8))虛線．典例探究例2(鏈接教材P109例2)用斜二測畫法畫一個上底面邊長為1cm，下底面邊長為2cm，高(兩底面之間的距離，即兩底面中心連線的長度)為2cm的正四棱臺．解：(1)畫軸．如圖(1)所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫下底面．在平面xOy上畫邊長為2cm的正方形的直觀圖ABCD.(3)畫上底面．在Oz上截取OO′＝2cm，過O′分別作平行于Ox、Oy的O′x′、O′y′，在平面x′O′y′上用畫正四棱臺下底面直觀圖的方法畫出邊長為1cm的正四棱臺的上底面的直觀圖A′B′C′D′.(4)依次連接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)得到正四棱臺的直觀圖，如圖(2)所示．圖(1)圖(2)空間幾何體的直觀圖的畫法(1)對于一些常見幾何體(柱體、錐體、臺體、球)的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準確地畫出直觀圖．(2)畫空間幾何體的直觀圖，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z軸，表示豎直方向．(3)z軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致．變式訓練2．一個機器部件，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm，高為3cm，圓錐的高為3cm，畫出此機器部件的直觀圖．解：(1)如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫圓柱的兩底面．以O為中點，在x軸上取線段AB，使AB＝3cm，利用橢圓模板畫橢圓，使其經(jīng)過A，B兩點．這個橢圓就是圓柱的下底面．在z軸上截取OO′，使OO′＝3cm，過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，類似下底面的作法作出圓柱的上底面．(3)畫圓錐的頂點．在z軸上畫出點P，使PO′＝3cm.(4)成圖．連接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，得到此幾何體(機器部件)的直觀圖，如圖②.①②思維提升直觀圖的還原與計算例3(1)如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′中，B′C′＝1，OC′＝eq\r(2)，則該平面圖形的面積為()A．eq\f(\r(2),2) B．2C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：D因為直觀圖是底角為45°的等腰梯形，且B′C′＝1，OC′＝eq\r(2)，所以等腰梯形的高為h＝OC′sin45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以等腰梯形的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋1＋1＋1)×1＝2，所以原平面圖形的面積為S＝2eq\r(2)S′＝2eq\r(2)×2＝4eq\r(2).故選D.(2)如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的斜二測直觀圖，若O′A′＝3，O′B′＝4，則△OAB的面積為________．解析：把△O′A′B′還原為△OAB，如圖所示，則OA＝2O′A′＝2×3＝6，OB＝O′B′＝4，所以△OAB的面積為S＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)×6×4＝12.答案：12由直觀圖還原為平面圖形的關鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．由此可得，直觀圖面積S′與原圖形面積S的關系為S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.變式訓練3.(1)如圖，正方形A′B′C′D′是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形ABCD的直觀圖，若A′D′＝1，則四邊形ABCD周長為()A．eq\r(2) B．4C．2eq\r(2) D．8解析：D根據(jù)題意，直觀圖中，四邊形A′B′C′D′是正方形A′B′C′D′，且邊長為1，則A′B′＝1，O′D′＝eq\r(2)，作出原圖如圖，OD＝2O′D′＝2eq\r(2)，則有AD＝eq\r(8＋1)＝3，四邊形ABCD為平行四邊形，則BC＝3，CD＝1，故四邊形ABCD周長為1＋3＋3＋1＝8.故選D.(2)已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么由斜二測畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：D法一：建立如圖①所示的平面直角坐標系xOy.①②如圖②所示，建立對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，應有A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.過點C′作C′D′⊥O′B′于點D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面積是S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.法二：∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.

課堂小結1．知識網(wǎng)絡2．方法歸納本課時應用了轉化與化歸的思想方法．3．易錯提醒同一圖形選取坐標系的角度不同，得到的直觀圖可能不同．

課堂練習1．(多選)(2024·太原期中)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是()A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形解析：AB由斜二測直觀圖的畫法規(guī)則，平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，可知三角形的直觀圖還是三角形，故A正確；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，所以B正確；正方形的直觀圖是平行四邊形，故C錯誤；菱形的直觀圖是平行四邊形，故D錯誤．故選AB.2．若利用斜二測畫法把一個高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應()A．平行于z′軸且大小為10cmB．平行于z′軸且大小為5cmC．與z′軸成45°且大小為10cmD．與z′軸成45°且大小為5cm解析：A平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致．3.(多選)如圖，已知等腰三角形ABC，則如圖所示的四個圖形，可能是△ABC的直觀圖的是()解析：CD當∠x′O′y′＝135°時，其直觀圖是C；當∠x′O′y′＝45°