中職高考數學一輪復習講練測8.1 直線的方程（講）（解析版）

8.1直線的方程【考點梳理】1．平面直角坐標系中的基本公式(1)數軸上A，B兩點的距離：數軸上點A的坐標為x1，點B的坐標為x2，則A，B兩點間的距離：|AB|＝_|x2－x1|_．(2)平面直角坐標系中的基本公式：①兩點間的距離公式：在平面直角坐標系中，兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)之間的距離公式為：d(A，B)＝|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))\s\up12(2))．②線段的中點坐標公式：若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點M的坐標為：(eq\f(x1＋x2,2)eq\f(y1＋y2,2))2．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.因此，直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°．(2)斜率：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．當直線平行于x軸或者與x軸重合時k＝0；當直線的傾斜角為銳角時k>0；當直線的傾斜角為鈍角時k<0；傾斜角為90°的直線沒有斜率．傾斜角不同，直線的斜率也不同．因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度．(3)經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．3．直線方程的幾種形式(1)截距：直線l與x軸交點(a，0)的橫坐標a叫做直線l在x軸上的截距，直線l與y軸交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距．注：截距不是距離(填“是”或“不是”)．(2)直線方程的四種形式：名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)k存在斜截式y(tǒng)＝kx＋bk存在截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a≠0且b≠0一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平面直角坐標系內的所有直線(3)過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程①若x1＝x2，且y1≠y2時，直線垂直于x軸，方程為x＝x1；②若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2時，直線垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1；③若x1＝x2＝0，且y1≠y2時，直線即為y軸，方程為x＝0；④若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2＝0，直線即為x軸，方程為y＝0．考點一直線的傾斜角和斜率【例題】（1）直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【解析】直線與軸垂直，傾斜角為，故選：C.（2）下列命題中正確的是（

）．A．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為B．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．平行于x軸的直線的傾斜角為D．若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為【答案】D【解析】對于A，當時，直線的斜率不存在，故A不正確；對于B，當時，斜率為，傾斜角為，故B不正確；對于C，平行于x軸的直線的傾斜角為，故C不正確；對于D，若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為是正確的，故選：D.（3）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為直線的傾斜角正切值為1，所以傾斜角為，故選：A.（4）如圖，已知直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題圖知直線的傾斜角為鈍角，∴，又直線，的傾斜角均為銳角，且直線的傾斜角較大，∴，∴，故選：D.（5）常值函數所表示直線的斜率為．【答案】0【解析】表示的直線平行于x軸，傾斜角為0°，故斜率為tan0°=0，故答案為：0．（6）已知點A(1，5)，點B的坐標是(-1，2)，則AB的中點M坐標為（

）A． B．(-3，-1) C．(2，3) D．(0，7)【答案】A【解析】因點A(1，5)，點B(-1，2)，于是得線段AB中點坐標為，所以AB的中點M坐標為，故選：A.【變式】（1）已知線段的端點及中點，則點的坐標（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，的端點及中點，則，解得：，故點的坐標為，故選：B.（2）下列說法中正確的是(

)A．一條直線的斜率隨著傾斜角的增大而增大B．直線的傾斜角的取值范圍是銳角或鈍角C．和軸平行的直線，它的傾斜角為D．每一條直線都存在傾斜角，但并非每一條直線都存在斜率【答案】D【解析】直線傾斜角的范圍是[0，π)，當傾斜角是時直線無斜率，故A錯誤；直線傾斜角的范圍是[0，π)，0和既不是銳角也不是鈍角，故B錯誤；和軸平行的直線，它的傾斜角為0，故C錯誤；每一條直線都存在傾斜角，但傾斜角為的直線不存在斜率，故D正確，故選：D﹒（3）直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線即，斜率為，設傾斜角為，則，又因為，所以，即傾斜角為，故選：D.（4）已知直線經過第二、三、四象限，則有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】∵直線經過二、三、四象限，∴直線的斜率，，故選：D.（5）已知直線過兩點且傾斜角為，則的值為.【答案】【解析】因直線的傾斜角為，則其斜率，又由，，則的斜率，則有，故答案為：.（6）已知線段的端點及中點，則點的坐標（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，的端點及中點，則，解得：，故點的坐標為，故選：B.考點二直線方程【例題】（1）經過點，且傾斜角為45°的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為所求直線的傾斜角為45°，所以所求直線的斜率，所以直線方程為．故A，C，D錯誤，故選：B.（2）過兩點和的直線在y軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知直線方程為：，即，令x=0，則，故直線在y軸上的截距為，故選：C.（3）過點且斜率不存在的直線方程為.【答案】【解析】由于直線過點，且斜率不存在，所以直線的方程為，故答案為：.（4）已知點，，則線段的垂直平分線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由點，，則線段的中點為，因為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，整理可得，故選：B.（5）過定點且傾斜角是直線x－y＋1＝0的傾斜角的兩倍的直線一般方程為．【答案】【解析】直線x－y＋1＝0的傾斜角為45°，故過定點的所求直線的傾斜角為90°，故所求直線方程為：，故答案為：.【變式】（1）已知直線的傾斜角為，且經過點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為，故選：C.（2）傾斜角為，在軸上的截距為的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由傾斜角為可知所求直線的斜率為，由直線的斜截式方程可得，故選：B.（3）已知直線過點，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即，故選：C．（4）平行于直線且過點的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】與直線平行的直線可設為：，直線過點，所以有，故選：D.（5）直線在軸上的截距為5，斜率為2，則該直線方程為.【答案】【解析】直線方程為即，故答案為：.【方法總結】1．直線的傾斜角和斜率的關系，可借助k＝tanα的圖象(如圖)來解決．這里，α∈[0，π)，k的范圍是兩個不連續(xù)的區(qū)間．這說明，每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率，故在求直線方程時，若不能確定直線的斜率是否存在，則應對斜率存在或不存在分類進行討論．2．直線在坐標軸上的截距是直線與坐標軸的交點的坐標，它不是距離，它可正、可負、可為0，在用截距式求直線方程時，不可忽視截距為0的情況．3．在解決直線與坐標軸圍成的直角三角形的面積、周長等問題時，應用截距式方程比較簡單．4．對于直線方程來說，要注意