高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章　6.4　6.4.3　第3課時(shí)　正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章6.46.4.3第3課時(shí)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用含答案第3課時(shí)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用三角形的面積公式解決相關(guān)問(wèn)題.2.體會(huì)正弦、余弦定理在邊角互化中的應(yīng)用.3.能夠利用正弦、余弦定理解決三角形中的綜合問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算類(lèi)型一三角形面積公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,求該四邊形的面積.【解析】連接BD如圖,在△BCD中,由已知條件,∠DBC=180°-所以∠ABD=90°.在△BCD中,由余弦定理知,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以BD=23,所以S四邊形ABCD=S=12×4×23+12×2×2×sin120°=5【補(bǔ)償訓(xùn)練】記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=4,c=6,B=π3,則AC邊上的高為(A.217 B.2217 C.321【解析】選D.由b2=a2+c2-2accosB=16+36-2×4×6×12=28,得b=27設(shè)AC邊上的高為h,因?yàn)镾△ABC=12acsinB=12所以h=acsinBb=4×6×即AC邊上的高為621【總結(jié)升華】三角形面積公式的應(yīng)用(1)根據(jù)面積公式,由已知條件構(gòu)造所需的要素,主要是兩邊與夾角;(2)對(duì)于四邊形等非三角形圖形,一般需要先添加輔助線轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)三角形的面積和.【即學(xué)即練】(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面積為3+3,求c.【解析】(1)由余弦定理可得:cosC=a2+b因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π4,所以2cosB=sinC=22,即cosB=因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π3(2)由(1)可得A=π-B-C=512π,設(shè)△ABC外接圓的半徑為R由正弦定理可得:asinA=bsinB=csinC=2R,所以b=3R所以S△ABC=12bcsinA=12·3R·2R·6+24=3+3,解得R類(lèi)型二正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】已知△ABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足ac(sinA-sinC)=(a2+c2-b2)sinC.(1)若C=π12,求sin2B(2)若a=5,b=6,求邊c的值.【解析】(1)由ac(sinA-sinC)=(a2+c2-b2)sinC,得2ac(sinA-sinC)=2(a2+c2-b2)sinC,即(sinA-sinC)=2·a2+c由余弦定理得sinA-sinC=2sinCcosB,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=sinC+2cosBsinC,故sinBcosC-cosBsinC=sinC,即sin(B-C)=sinC,又B∈(0,π),C∈(0,π),B-C∈(-π,π),故B-C=C或B-C+C=π,即B=2C或B=π(舍),而C=π12,故B=2C=π得2B=π3,得sin2B=3(2)由ac(sinA-sinC)=(a2+c2-b2)sinC,結(jié)合正弦定理得ac(a-c)=(a2+c2-b2)c,得a2-ac=a2+c2-b2,即b2=c2+ac,由a=5,b=6,得c2+5c-36=0,即c=4或c=-9(舍去),故c=4.【總結(jié)升華】關(guān)于正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用(1)此類(lèi)題目往往同時(shí)用到兩個(gè)定理,因此要綜合分析已知條件,確定應(yīng)用正弦定理、余弦定理的順序,先求出中間條件,再得出最后結(jié)論;(2)在平面幾何中求邊、求角,通常需要先找到所求邊、角所在的三角形,然后在三角形中借助正弦、余弦定理進(jìn)行求解.【即學(xué)即練】如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=2,BC=3,AB⊥AD,AC⊥CD.(1)若sin∠BAC=14,求sin∠BCA(2)若AD=3AC,求AC.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠BCA=BCsin∠BAC,即解得sin∠BCA=612(2)設(shè)AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,CD=AD2-Asin∠CAD=CDAD=2在△ABC中,由余弦定理的推論得,cos∠BAC=AB2+又∠BAC+∠CAD=π2所以cos∠BAC=sin∠CAD,即x2-1整理得3x2-8x-3=0,解得x=3或x=-13即AC=3.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2cosA-cos(1)證明:C=2A;(2)記邊AB和BC上的高分別為hc和ha,若hc∶ha=1∶3,判斷△ABC的形狀.【解析】(1)因?yàn)?cosA-cosBcosC+1=bc,由正弦定理得,sinC(2cosA-cos整理可得,2sinCcosA=sinBcosC+sinCcosB+sinB=sinA+sinB,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,于是sinCcosA-cosCsinA=sinA,即sin(C-A)=sinA,因?yàn)锳,C∈(0,π),所以0<C-A<π,所以C-A=A或C-A=π-A(舍去),所以C=2A;(2)根據(jù)等面積法可知S△ABC=12AB·hc=12CB·ha,即c·hc=a·h由hc∶ha=1∶3,可得c=3a,又由C=2A及正弦定理可得,asinA=csinC=解得cosA=32由于A∈(0,π),所以A=π6所以B=π-A-C=π2,所以△ABC是直角三角形類(lèi)型三三角形中的中線與角平分線問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1角平分線問(wèn)題【典例3】已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a2=3b2+c2,且sinC=2sinB.(1)求角A的大小;(2)若b+c=6,點(diǎn)D在邊BC上,且AD平分∠BAC,求AD的長(zhǎng)度.【解析】(1)因?yàn)閟inC=2sinB,由正弦定理可得:c=2b,因?yàn)閍2=3b2+c2,所以a2=3b2+(2b)2=7b2,即a=7b,由余弦定理可得,cosA=b2+c2-在△ABC中,A∈(0,π),所以A=2π3(2)由(1)可知,A=2π3,c=2b所以c=2bb設(shè)AD=x,由AD平分∠BAC,所以S△ABD+S△ADC=S△ABC,即12cxsinπ3+12bxsinπ3=1解得x=bcb+c故AD的長(zhǎng)度為43【總結(jié)升華】三角形角平分線問(wèn)題的解題策略等面積法:根據(jù)S△ABD+S△ACD=S△ABC列方程求解,即12c·ADsinA2+12b·ADsinA2=12bcsinA,其中AD【即學(xué)即練】(2024·哈爾濱高一檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且csinB+3bcosC=3a,b=3.(1)求角B;(2)若a+c=2,求邊AC上的角平分線BD的長(zhǎng).【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理及csinB+3bcosC=3a,得sinBsinC+3sinBcosC=3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+3cosBsinC,即sinBsinC=3cosBsinC,而sinC≠0,解得tanB=3,又B∈(0,π),所以B=π3(2)由B=π3及余弦定理得3=c2+a2-ac=(c+a)2-3ac,又a+c=2,解得ac=13,由S△ABC=S△ABD+S△BDC得12acsinB=12c·BD·sinB2+12a·BD·sinB2,即acsinπ3=BD·(c+a)sinπ6,則13×角度2中線問(wèn)題【典例4】(一題多解)在△ABC中,a=7,S△ABC=63,cosB=-17(1)求b;(2)求AC邊上的中線.【解析】(1)因?yàn)锽∈(0,π),cosB=-17故sinB=43所以S△ABC=12acsinB=7c2×4解得c=3,故b2=a2+c2-2accosB=49+9-2×3×7×(-17)=64,故b=8(2)方法一:如圖所示,D是AC中點(diǎn),連接BD,cos∠ADB=42+BD2-322×4×BD,cos∠故42+BD2-322×4×BD=-方法二:=12(+),=14(+2·+),=1432+2×3×7×-17+72=13,||=13.【總結(jié)升華】三角形中線問(wèn)題的解題策略(1)余弦定理法:根據(jù)cos∠ADB=-cos∠ADC,利用余弦定理列方程求解(AD為中線);(2)向量法:=14=14+14+12||||cosA.【即學(xué)即練】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿(mǎn)足asinB=3bcosA.(1)求角A的大小;(2)若BC邊上的中線AD=7,且c=4,求b的值.【解析】(1)由asinB=3bcosA及正弦定理可得sinAsinB=3sinBcosA,因?yàn)锳,B∈(0,π),則sinB>0,可得sinA=3cosA>0,則tanA=3,因此A=π3(2)因?yàn)?+=+12=+12(-)=12(+),所以2=+,所以4==++2·,即28=4=c2+b2+2bccos∠BAC=c2+b2+bc,即b2+4b-12=0,解得b=2(負(fù)值舍去).【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,三邊a,b,c的對(duì)角分別為A,B,C,已知a=3,cosB+cosA(1)若c=23,求sinA;(2)若AB邊上的中線長(zhǎng)為372,求△ABC的面積【解析】(1)因?yàn)閏osB+cosA由正弦定理,得cosB+cosA所以-cos(A所以sinAsinC=3sinAcosC.又因?yàn)閟inA≠0,所以tanC=3.因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3又因?yàn)閍sinA=csinC,所以所以sinA=34(2)設(shè)AB邊上的中線為CD,則2=+,所以4==b2+a2+2abcosC,即37=b2+9+3b,b2+3b-28=0.解得b=4或b=-7(舍去).所以S△ABC=12absinC=12×3×4×32教材深一度海倫公式已知△ABC的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,△ABC的面積:S△ABC=p(其中p為△ABC周長(zhǎng)的一半,即p=12(a+b+c)【典例5】若a=5,b=6,c=7,則△ABC的內(nèi)切圓半徑r的值是______.

答案:2【解析】△ABC的周長(zhǎng)2p=18,所以p=9,所以S△ABC=p=9×4×3×2=66,則12×18×r=66解得r=26第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解測(cè)量中的基線、視角、方向角、方位角、俯角、仰角等專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ).2.能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的解三角形問(wèn)題.3.能夠利用正、余弦定理解決與距離、高度、角度等有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算測(cè)量中的相關(guān)名稱(chēng)、術(shù)語(yǔ)1.基線:在測(cè)量過(guò)程中,根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段.一般來(lái)說(shuō),基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.2.視角:指觀察物體的兩端視線張開(kāi)的角度.如圖所示,視角60°指的是觀察該物體上下兩端點(diǎn)時(shí),視線的張角.3.方向角:指以觀測(cè)者為中心,指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角.如圖,左圖中表示北偏東30°,右圖中表示南偏西60°.4.仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角.目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角,如圖所示.5.方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.如點(diǎn)B的方位角為α(如圖所示).方位角的取值范圍:0°~360°.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)測(cè)量的精確度與基線的長(zhǎng)度有關(guān).(√)提示:基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.(2)方位角和方向角是一樣的.(×)提示:方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角);方位角指的是從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起,順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)直線的水平角,范圍為0°~360°.所以方位角和方向角是不一樣的.(3)如圖所示,甲看物體AB的視角為30°.(√)提示:設(shè)甲所在位置為點(diǎn)C,則∠ACB=180°-75°×2=30°,即甲看物體AB的視角為30°,故正確.(4)在仰角或俯角中,視線與水平線的關(guān)系實(shí)質(zhì)是斜線與斜線在水平面內(nèi)的射影.(√)提示:在仰角或俯角中,視線與水平線的關(guān)系實(shí)質(zhì)是斜線與斜線在水平面內(nèi)的射影,仰角或俯角,也即斜線和斜線在水平面內(nèi)的射影的夾角,故正確.類(lèi)型一測(cè)量距離問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(2024·北京高一檢測(cè))如圖,為了測(cè)量湖兩側(cè)的A,B兩點(diǎn)之間的距離,某觀測(cè)小組的三位同學(xué)分別在B點(diǎn),距離A點(diǎn)30km處的C點(diǎn),以及距離C點(diǎn)10km處的D點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè).甲同學(xué)在B點(diǎn)測(cè)得∠DBC=30°,乙同學(xué)在C點(diǎn)測(cè)得∠ACB=45°,丙同學(xué)在D點(diǎn)測(cè)得∠BDC=45°,試求A,B兩點(diǎn)間的距離.【解析】∠DBC=30°,∠ACB=45°,∠BDC=45°,AC=30,CD=10,在△BCD中,由正弦定理,有CDsin∠DBC=則BC=CDsin∠BDCsin∠DBC=在△ABC中,由余弦定理可知,有AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB=(102)2+302-2×10所以AB=105,即A,B兩點(diǎn)間的距離為105km.【總結(jié)升華】測(cè)量距離問(wèn)題的解題策略(1)根據(jù)題意,作出對(duì)應(yīng)圖形,根據(jù)已知條件和圖形特點(diǎn)尋找可解的三角形;(2)將實(shí)際問(wèn)題中的長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角,結(jié)合正、余弦定理求解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn),在山頂P處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為α,β,γ.計(jì)劃沿直線AC開(kāi)通穿山隧道,請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),計(jì)算隧道DE的長(zhǎng)度.αβcosγADEBBC45°60°45312-33【解析】由cosγ=45,γ為銳角可得,sinγ=3則sin(60°-γ)=sin60°cosγ-cos60°sinγ=43在△PBC中,∠BPC=60°-γ,∠PCB=γ,BC=12-33.由正弦定理可得,PB=BCsinγsin(60在△PAB中,∠PAB=α=45°,∠APB=75°,PB=63.由正弦定理可得,AB=PB·sin75°sin45°即DE=AB-AD-EB=9,所以隧道DE的長(zhǎng)度為9.類(lèi)型二測(cè)量高度問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】某同學(xué)為了測(cè)量學(xué)校天文臺(tái)CD的高度,選擇學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)A,A到地面的距離AB為30(2-3)m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)A,天文臺(tái)頂C的仰角分別是15°和30°,在陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為15°,假設(shè)AB,CD和點(diǎn)M在同一平面內(nèi),則學(xué)校天文臺(tái)CD的高度為_(kāi)_______m.

答案:30【解析】在Rt△ABM中,AM=ABsin在△ACM中,∠CAM=15°+15°=30°,∠AMC=180°-15°-30°=135°,∠ACM=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得AMsin∠ACM=故MC=sin∠CAMsin∠ACM·AM=sin30°sin15在Rt△CDM中,CD=MC·sin30°=AB2故學(xué)校天文臺(tái)CD的高度為30m.【總結(jié)升華】測(cè)量高度問(wèn)題的解題策略(1)底部三點(diǎn)共線:首先用正弦定理或余弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部與一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題;(2)底部三點(diǎn)不共線:將目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)的某個(gè)量,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問(wèn)題.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·青島高一檢測(cè))如圖,為了測(cè)量出到河對(duì)岸鐵塔的距離與鐵搭的高,選與塔底B同在水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C與D.在C點(diǎn)測(cè)得塔底B在北偏東45°方向,然后向正東方向前進(jìn)20米到達(dá)D點(diǎn),測(cè)得此時(shí)塔底B在北偏東15°方向.(1)求點(diǎn)D到塔底B的距離BD;(2)若在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為30°,求鐵塔高AB.【解析】(1)由題意可知,∠BCD=45°,∠BDC=105°,故∠CBD=30°,在△BCD中,由正弦定理,得BDsin∠BCD=即BDsin45所以,BD=20sin45°sin因此點(diǎn)D到塔底B的距離BD為202米.(2)在△BCD中,由正弦定理,得BCsin∠BDC=所以BC=202=40·(sin60°cos45°+cos60°sin45°)=40×6+24=10(6+在Rt△ABC中,AB=BC×tan∠ACB=10(6+2)×33=102+10所以,鐵塔高AB為(102+1063類(lèi)型三測(cè)量角度問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(教材提升·例11)如圖,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,則cosθ=____________.

答案:21【解析】在△CBA中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=402+202-2×40×20×cos120°=2800?BC=207.由正弦定理得,207sin120°=40sin∠ACB?sin∠ACB=217,cos∠所以cosθ=cos(30°+∠ACB)=32×277-12×【總結(jié)升華】測(cè)量角度問(wèn)題的解題策略(1)