高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊第一章 集合與常用邏輯用語含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語含答案第一章集合與常用邏輯用語大銜接·進(jìn)階之梯本章內(nèi)容屬于“預(yù)備知識”,定位是幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡.在初中,學(xué)生接觸的集合與常用邏輯用語知識較為零散,在本章,學(xué)生首次系統(tǒng)學(xué)習(xí)表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的語言和工具.比較內(nèi)容學(xué)習(xí)要求集合初中數(shù)集、不等式的解集、點(diǎn)集等初步接觸集合高中集合的含義、關(guān)系與運(yùn)算了解集合的含義,理解集合之間的關(guān)系,掌握集合的運(yùn)算常用邏輯用語初中命題了解命題的概念高中充分條件、必要條件與量詞理解定理、定義與充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系,理解量詞的意義大概念·串珠成鏈大策略·好學(xué)深思1.“兩種”關(guān)系:元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系;2.“兩種”表示:集合的表示方法:列舉法、描述法;3.“三種”運(yùn)算:集合的運(yùn)算:交集、并集、補(bǔ)集;4.“四種”條件:充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件;5.“五種”方法:(1)“實(shí)例引領(lǐng)”:研究集合的概念時(shí),要結(jié)合貼近生活的實(shí)例,以加深理解;(2)“數(shù)形結(jié)合”:研究集合的關(guān)系與運(yùn)算時(shí),要緊密結(jié)合Venn圖與數(shù)軸,加強(qiáng)直觀理解;(3)“類比聯(lián)想”:研究集合主要類比“數(shù)”,遵循數(shù)的研究途徑;(4)“選取典例”:研究充分條件、必要條件與量詞時(shí),要結(jié)合初中數(shù)學(xué)上的典型命題,在熟悉問題中學(xué)習(xí)新知識;(5)“重視實(shí)踐”:學(xué)習(xí)中,要創(chuàng)設(shè)使用數(shù)學(xué)語言的情境與機(jī)會,在實(shí)踐中得到有效的鍛煉.階段提升課題型一集合間的基本關(guān)系1.集合間的基本關(guān)系包括包含、真包含、相等.能從實(shí)例中抽象并識別出子集、真子集、空集的概念,能根據(jù)集合間的關(guān)系,會利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想求參數(shù)的值或范圍.2.掌握集合間的基本關(guān)系,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【典例1】(1)已知集合A={x∈R|x2-2x=0},B={x∈N|-1<x<4},則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.由x2-2x=0得x=0或x=2,所以A={0,2}.由題意知B={0,1,2,3},所以滿足條件的C為{0,2},{0,1,2},{0,2,3},{0,1,2,3}.(2)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m},且B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】若m≤1,則B=?,滿足B?A.若m>1,則1<m≤4.綜上可知,m≤4.答案:m【總結(jié)升華】處理集合間關(guān)系問題的關(guān)鍵點(diǎn)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.同時(shí)還要注意“空集”這一“陷阱”,尤其是集合中含有字母參數(shù)時(shí),要分類討論,討論時(shí)要不重不漏.題型二集合的運(yùn)算1.集合的運(yùn)算主要包括交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算.這也是高考對集合部分的主要考查點(diǎn).對于較抽象的集合問題,解題時(shí)需借助Venn圖或數(shù)軸等進(jìn)行數(shù)形分析,使問題直觀化、形象化,進(jìn)而能使問題簡捷、準(zhǔn)確地獲解.2.掌握集合的概念與運(yùn)算,重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【典例2】(1)已知集合U,A,B之間的關(guān)系如圖所示,則(?UB)∩A=()A.3 B.{0,1,2,4,7,8}C.1,2 D【解析】選C.由題圖所示,U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6},所以?UB={0,1,2,4,7,8},(?UB)∩A={1,2}.(2)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.①求A∪B,(?RA)∩B;②若A∩C≠?,求a的取值范圍.【解析】①因?yàn)锳={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因?yàn)锳={x|2≤x<7},所以?RA={x|x<2或x≥7},則(?RA)∩B={x|7≤x<10}.②因?yàn)锳={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠?,所以a>2,所以a的取值范圍是{a|a>2}.【總結(jié)升華】集合運(yùn)算問題的關(guān)注點(diǎn)(1)運(yùn)算口訣:交集元素仔細(xì)找,屬于A且屬于B;并集元素勿遺漏,切記重復(fù)僅取一;全集U是大范圍,去掉U中A元素,剩余元素成補(bǔ)集.(2)數(shù)形結(jié)合法:利用Venn圖或數(shù)軸解決集合的運(yùn)算問題,能將復(fù)雜問題直觀化.注意:要注意端點(diǎn)值是否符合題意,以免增解或漏解.題型三充分條件與必要條件1.若p?q,且qp,則p是q的充分不必要條件,同時(shí)q是p的必要不充分條件;若p?q,則p是q的充要條件,同時(shí)q是p的充要條件.2.掌握充要條件的判斷和證明,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【典例3】(1)設(shè)a是實(shí)數(shù),則a<5成立的一個(gè)必要不充分條件是()A.a<6 B.a<4 C.a2<25 D.1a>【解析】選A.因?yàn)閍<5?a<6,a<6a<5,所以a<6是a<5成立的一個(gè)必要不充分條件.(2)設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足a<x<3a,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足2<x≤3.①若a=1,且p,q均為真命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;②若?p是?q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】①由a<x<3a,當(dāng)a=1時(shí),1<x<3,即p為真命題時(shí),實(shí)數(shù)x的取值范圍是1<x<3.又q為真命題時(shí),實(shí)數(shù)x的取值范圍是2<x≤3,所以,當(dāng)p,q均為真命題時(shí),有1<x<3,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|2<x<3}.②?p是?q的充分不必要條件,即?p??q且?q?p.設(shè)A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>3},則A?B.所以0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1<a≤2}.【總結(jié)升華】充分條件與必要條件的判斷方法(1)定義法(2)集合法:寫出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合之間的包含關(guān)系加以判斷.用集合法判斷時(shí),要盡可能用圖示、數(shù)軸等幾何方法,圖形形象、直觀,能簡化解題過程,降低思維難度.題型四全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題.對含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定時(shí),首先改變量詞,把全稱量詞改為存在量詞,把存在量詞改為全稱量詞,然后對結(jié)論進(jìn)行否定.2.通過含有量詞的命題的否定及利用命題的真假求參數(shù)范圍等,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【典例4】(1)若命題p:?x∈R,x>1,則?p:.

【解析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,又x>1中x的取值范圍是{x|x>1},其補(bǔ)集為{x|x≤1},所以?p為?x∈R,x≤1或x<0.答案:?x∈R,x≤1或x<0(2)已知命題p:?x∈R,m|x|+1≤0,若?p為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】若?p為假命題,則p為真命題.當(dāng)m≥0時(shí),m|x|+1≥1>0,p為假命題;當(dāng)m<0時(shí),取x=2m,則m|x|+1=m|2m|+1=-2+1=-1<0,p為真命題.因此若?p為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m答案:{m|m<0}【總結(jié)升華】全稱量詞與存在量詞的關(guān)注點(diǎn)1.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要把握兩點(diǎn):一是改量詞,二是否結(jié)論.2.根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍,一般把問題轉(zhuǎn)化為集合問題解決.【真題1】(2023·全國甲卷)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則N∪?UM=()A.{2,3,5} B.{1,3,4}C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5}【解析】選A.因?yàn)槿疷={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以?UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪?UM={2,3,5}.溯源(教材P13練習(xí)T1)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},求A∩(?UB),(?UA)∩(?UB).【解析】因?yàn)閁={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},所以?UA={1,3,6,7},?UB={2,4,6},所以A∩(?UB)={2,4},(?UA)∩(?UB)={6}.[點(diǎn)評]教材練習(xí)題考查集合的補(bǔ)集與交集運(yùn)算,真題考查補(bǔ)集與并集運(yùn)算,二者幾乎相同,真題是教材練習(xí)題的考場再現(xiàn).【真題2】(2023·全國乙卷)設(shè)集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},則{x|x≥2}=()A.?U(M∪N) B.N∪?UMC.?U(M∩N) D.M∪?UN【解析】選A.由題意可得M∪N={x|x<2},則?U(M∪N)={x|x≥2},A正確;?UM={x|x≥1},則N∪?UM={x|x>-1},B錯(cuò)誤;M∩N={x|-1<x<1},則?U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},C錯(cuò)誤;?UN={x|x≤-1或x≥2},則M∪?UN={x|x<1或x≥2},D錯(cuò)誤.溯源(教材P14習(xí)題1.3T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∪B),?R(A∩B),(?RA)∩B,A∪(?RB).【解析】由題意A?B,則A∪B=B={x|2<x<10},A∩B=A={x|3≤x<7},?RA={x|x<3或x≥7},?RB={x|x≤2或x≥10},所以?R(A∪B)=?RB={x|x≤2或x≥10},?R(A∩B)=?RA={x|x<3或x≥7},(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10},A∪(?RB)={x|x≤2或3≤x<7或x≥10}.[點(diǎn)評]教材習(xí)題與真題都考查無限數(shù)集的混合運(yùn)算,真題與教材習(xí)題的條件與結(jié)論互相轉(zhuǎn)化,是教材習(xí)題的完美變式.【真題3】(2023·全國Ⅱ卷)設(shè)集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A?B,則a=()A.2 B.1 C.23 【解析】選B.因?yàn)锳?B,則有:若a-2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,-2},B={1,0,2},不符合題意;若2a-2=0,解得a=1,此時(shí)A={0,-1},B={1,-1,0},符合題意;綜上所述:a=1.溯源(教材P35復(fù)習(xí)參考題1T9)已