高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià)二十五　冪函數(shù)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià)二十五冪函數(shù)含答案二十五冪函數(shù)(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,14),則f(2)等于 (A.12 B.2 C.22 D【解析】選A.設(shè)冪函數(shù)為y=xα,因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,14所以14=4α,所以α=-1,所以y=x-1所以f(2)=2-1=122.(5分)(2024·泉州高一檢測(cè))如圖的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的圖象.已知n分別取±2,±12四個(gè)值,與曲線C1,C2,C3,C4相應(yīng)的n依次為 (A.2,12,-12,-2 B.2,1C.-12,-2,2,12 D.-2,-12【解析】選A.根據(jù)冪函數(shù)y=xn的性質(zhì)及在第一象限內(nèi)的圖象,當(dāng)n>0時(shí),n越大,遞增速度越快,故曲線C1的n=2,曲線C2的n=12當(dāng)n<0時(shí),|n|越大,曲線越陡峭,所以曲線C3的n=-12,曲線C4的n故相應(yīng)n依次為2,12,-12【補(bǔ)償訓(xùn)練】若四個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖,則a,b,c,d的大小關(guān)系是 ()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c【解析】選B.在第一象限內(nèi),x=1的右側(cè)部分的圖象,圖象由下至上,冪指數(shù)由小到大,所以a>b>c>d.3.(5分)已知a=243,b=323,c=251A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】選A.a=243=423,b=323,因?yàn)閥=x23在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增,5>4>3,所以c>a【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列兩個(gè)數(shù)的大小正確的是 ()A.(18)

78<(19)

78 B.(2C.0.20.6>0.30.6 D.9-78>(【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)y=x78在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且18>19,所以(18)

因?yàn)楹瘮?shù)y=x-且23>π6,所以(23)

-2由冪函數(shù)單調(diào)性知0.20.6<0.30.6,C錯(cuò)誤;9-78=(19)

78<(19)

67<(894.(5分)下列結(jié)論正確的是 ()A.冪函數(shù)的圖象不能在第二象限內(nèi)B.當(dāng)n=0時(shí),冪函數(shù)y=xn的圖象是一條直線C.當(dāng)n>0時(shí),冪函數(shù)y=xn是增函數(shù)D.當(dāng)n<0時(shí),冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨x的增大而減小【解析】選D.冪函數(shù)的圖象可以在第二象限,如y=x2,故A錯(cuò)誤;當(dāng)n=0時(shí),y=xn中x≠0,故其圖象是去掉點(diǎn)(0,1)的一條直線,故B錯(cuò)誤;y=x2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;冪函數(shù)y=xn,當(dāng)n<0時(shí),在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x的增大而減小,故D正確.5.(5分)(多選)下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是 ()A.y=(12)x B.y=xC.y=4x2 D.y=x【解析】選BD.A中自變量是指數(shù),不符合冪函數(shù)的定義,C中系數(shù)不是1,B,D是冪函數(shù).6.(5分)(多選)已知冪函數(shù)f(x)=x4-m(m∈N*)為奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則m可以為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選AC.因?yàn)閒(x)=x4-m在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以4-m>0,所以m<4,又因?yàn)閙∈N*,所以m=1,2,3.又因?yàn)閒(x)=x4-m是奇函數(shù),所以4-m是奇數(shù),所以m=1或3.7.(5分)已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是冪函數(shù),則a=,b=.

【解析】由題意得2a+答案:258.(5分)2.334和2.434【解析】設(shè)冪函數(shù)f(x)=x34,則f(因?yàn)?.4>2.3,所以2.434>2.答案:2.434>2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知2.4α>2.5α,則α的取值范圍是.

【解題指南】2.4α>2.5α的意義是冪函數(shù)y=xα是減函數(shù).【解析】因?yàn)?<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故α<0.答案:(-∞,0)9.(5分)已知冪函數(shù)f(x)=x12,若f(10-2a)<f(a+1),則a的取值范圍是【解析】因?yàn)閒(x)=x12(x≥0),易知f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),又f(10-2a)<f(所以a解得a≥-1,答案:(3,5]10.(10分)(2024·邯鄲高一檢測(cè))已知冪函數(shù)f(x)=(3a2+2a-7)xa(a∈R)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(1)求f(x)的解析式;【解析】(1)由冪函數(shù)的概念可知3a2+2a-7=1,解得a=-2或43又因?yàn)閮绾瘮?shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故a=43,即f(x)=x(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明.【解析】(2)f(x)為偶函數(shù),證明:f(x)=x43定義域?yàn)镽,f(-x)=(-x)43=x43=f(x【綜合應(yīng)用練】11.(5分)已知f(x)=x12,若0<a<b<1,則下列各式中正確的是 (A.f(a)<f(b)<f(1a)<f(1B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(C.f(a)<f(b)<f(1b)<f(1D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x12在(0,+∞)上是增函數(shù),又0<a<b<1<1b<1a,故f(a)<f(b)<f(1b)<12.(5分)在同一坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)y=xa(a≠0)和y=ax-1a的圖象可能是 (【解析】選C.選項(xiàng)A中,冪函數(shù)的指數(shù)a<0,則函數(shù)y=ax-1a選項(xiàng)B中,冪函數(shù)的指數(shù)a>1,則函數(shù)y=ax-1a選項(xiàng)D中,冪函數(shù)的指數(shù)a<0,則-1a>0,函數(shù)y=ax-1a與y13.(5分)已知冪函數(shù)f(x)=(a-1)xn的圖象過(guò)點(diǎn)(2,8),且f(b-2)<f(1-2b),則b的取值范圍為.

【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=(a-1)xn的圖象過(guò)點(diǎn)(2,8),所以a-1=1所以f(x)=x3,由于函數(shù)f(x)=x3在R上為增函數(shù),所以f(b-2)<f(1-2b)?b-2<1-2b,解得b<1.故b的取值范圍是(-∞,1).答案:(-∞,1)14.(10分)點(diǎn)(3,3)與點(diǎn)(-2,-12)分別在冪函數(shù)f(x),g(x)的圖象上,問(wèn)當(dāng)x分別為何值時(shí),有f(x)>g(x);f(x)=g(x);f(x)<g(x【解析】設(shè)f(x)=xα,g(x)=xβ.因?yàn)?3)α=3,(-2)β=-12所以α=2,β=-1,所以f(x)=x2,g(x)=x-1.分別作出它們的圖象,如圖所示.由圖象知,當(dāng)x∈(-∞,0)∪(1,+∞)時(shí),f(x)>g(x);當(dāng)x=1時(shí),f(x)=g(x);當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<g(x).15.(10分)已知冪函數(shù)y=f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,18)(1)試求函數(shù)解析式;【解析】(1)由題意,得f(2)=2α=18即α=-3,故函數(shù)解析式為f(x)=x-3.(2)判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(2)因?yàn)閒(x)=x-3=1x3,所以要使函數(shù)有意義,則x≠0,即定義域?yàn)?-∞,0)∪因?yàn)閒(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),所以該冪函數(shù)為奇函數(shù).根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)=x-3在(0,+∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故其單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞).【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是冪函數(shù),對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,滿足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,bA.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無(wú)法判斷【解析】選A.令m2-m-1=1得m=-1或m=2.由于對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,滿足f(所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=x-3,不符合題意.當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x3,符合題意.所以f(a)+f(b)=a3+b3.因?yàn)閍+b>0,ab<0,所以f(a)+f(b)=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>0.17.(5分)如圖,正方形OABC的邊長(zhǎng)為a(a>1),函數(shù)y=3x2的圖象交AB于點(diǎn)Q,函數(shù)y=x-12的圖象交BC于點(diǎn)P,則當(dāng)|AQ|+|CP|最小時(shí),a【解析】依題意得Q(a3,a),P(a,1則|AQ|+|CP|=a3+1a=a3+1a,記a=t(t>1),f(t)=|則f(t)=t3+1t≥213,當(dāng)且僅當(dāng)t即t2=3時(shí)取等號(hào),此時(shí)a=3.答案:3二十一函數(shù)的單調(diào)性(二)(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)若y=(2k-1)x+b是R上的減函數(shù),則有 ()A.k>12 B.k>-C.k<12 D.k<-【解析】選C.由2k-1<0,得k<122.(5分)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞減,則下列關(guān)系一定正確的是 ()A.f(0)>f(3) B.f(-1)>f(1)C.f(0)<f(2) D.f(-1)<f(2)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞減,所以f(-1)>f(1).3.(5分)若函數(shù)f(x)=ax與g(x)=-x2+2ax在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù),則a的取值范圍是 (A.(0,1) B.(0,1]C.(-1,0) D.(-1,0)∪(0,1]【解析】選B.因?yàn)閒(x)=ax在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),所以a>0因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=-x2+2ax的圖象開口向下,對(duì)稱軸為直線x=a,且函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),所以a≤1.故滿足題意的a的取值范圍是(0,1].4.(5分)函數(shù)f(x)=2x-ax+1在區(qū)間(bA.a>-2,b≥-1 B.a>-2,b>-1C.a<-2,b≥-1 D.a<-2,b>-1【解析】選A.f(x)=2x-a因?yàn)閒(x)在(b,+∞)上單調(diào)遞增,所以a+2>0,所以a>-2,所以f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,所以b≥-1.5.(5分)(多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(4,+∞)上單調(diào)遞減,且函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸為x=4,則 ()A.f(3)>f(2) B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)【解析】選AD.因?yàn)閒(x)關(guān)于x=4對(duì)稱且在(4,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,4)上單調(diào)遞增,且f(5)=f(3),f(6)=f(2),所以f(3)>f(2)=f(6).6.(5分)(多選)已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在(-∞,5]上具有單調(diào)性,則實(shí)數(shù)k的值可以是()A.24 B.32 C.40 D.48【解析】選CD.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x2-kx-8的圖象的對(duì)稱軸方程為x=k8,且函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在(-∞,5]上具有單調(diào)性,所以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知k8≥5,解得k≥40,則k7.(5分)已知f(x)是定義在R上的增函數(shù),且f(x2-2)<f(-x),則x的取值范圍是(-2,1).

【解析】由題意得,x2-2<-x,即x2+x-2<0,解得-2<x<1.8.(5分)若函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當(dāng)x∈[-2,+∞)時(shí)是增函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)是減函數(shù),則f(1)=13.

【解析】由題知x=-2是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸,所以m4=-2,m=-8,則f(1)=139.(5分)已知函數(shù)y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,23)【解析】由題意知-解得0<a<23,即所求a的取值范圍是(0,2310.(10分)(1)若函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a-1],由f(x)在(-∞,3]上單調(diào)遞增知3≤-a-1,解得a≤-4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-4].(2)若函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(m2+1)<f(-m+1),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(m2+1)<f(-m+1),所以m2+1<-m+1,解得-1<m<0.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-1,0).【綜合應(yīng)用練】11.(5分)已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a+b>0,則有 ()A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)【解析】選A.因?yàn)閍+b>0,所以a>-b,b>-a,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).12.(5分)已知函數(shù)f(x)=-x2+1,x<1,x2A.[6,8] B.[6,7]C.(5,8] D.(5,7]【解析】選D.函數(shù)f(x)=-x2+1,x<1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,a-5)上單調(diào)遞減,所以由圖象可知0<a-5≤2,解得5<a≤7,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(5,7].【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x2+4x,x≥0,4x-x2,x<0A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)【解析】選A.畫出f(x)的圖象(圖略)可判斷f(x)在R上單調(diào)遞增,故f(4-a)>f(a)?4-a>a,解得a<2.13.(5分)(2023·濰坊高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=(a+1)x-1,【解析】當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=(a+1)x-1,由f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,得a+1>0,即a>-1,①當(dāng)x<1時(shí),f(x)=12ax2-ax-1=12a(x-1)2-1-1由f(x)是增函數(shù),得a<0,②又由分段函數(shù)遞增知(a+1)×1-1≥12a×12-a即3a+2≥0,解得a≥-23,由①②③得,-23≤a<0.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為-214.(10分)若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且對(duì)一切x,y>0,滿足f(xy)=f(x)-f(y).若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(13)【解析】因?yàn)閒(6)=1,所以f(x+3)-f(13)<2=f(6)+f所以f(3x+9)-f(6)<f(6),即f(x+32)<f因?yàn)閒(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),所以x解得-3<x<9.即不等式的解集為(-3,9).15.(10分)已知f(x)=xx-a(x≠(1)若a=-2,試證明f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增;【解析】(1)由題意知f(x)=xx?x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1x=2(因?yàn)?x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增.(2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1x=a(因?yàn)閍>0,x2-x1>0,又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1].【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(