高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習方略》2025版必修第一冊課時過程性評價三十一　對數(shù)的概念含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習方略》2025版必修第一冊課時過程性評價三十一對數(shù)的概念含答案三十一對數(shù)的概念(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知對數(shù)式log(a+1)24-a有意義,則a的取值范圍為 A.(-1,4) B.(-1,0)∪(0,4)C.(-4,0)∪(0,1) D.(-4,1)【分析】由對數(shù)式的意義列不等式組求解可得.【解析】選B.由題可知a+1>0a+1≠124所以a的取值范圍為(-1,0)∪(0,4).2.(5分)(2023·南京高一檢測)設(shè)5log5(2x-1A.10 B.13 C.100 D.±100【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)得2x-1=25,即可求x的值.【解析】選B.由對數(shù)的性質(zhì),得5log5(2x-3.(5分)若log2[log0.5(log2x)]=0,則x的值是 ()A.2 B.2 C.12 D.【解析】選A.因為log2[log0.5(log2x)]=0,所以log0.5(log2x)=1,所以log2x=0.5,所以x=2.4.(5分)(2023·蘇州高一檢測)若函數(shù)f(x)滿足f(3x)=x,則f(7)= ()A.37 B.73 C.log37 D.log73【分析】由3x=7求出x后代入可得結(jié)論.【解析】選C.令3x=7,所以x=log37,所以f(7)=log37.【補償訓(xùn)練】設(shè)f(log2x)=2x(x>0),則f(2)的值是 ()A.128 B.16 C.8 D.256【解析】選B.由log2x=2可知x=4,所以f(2)=24=16.5.(5分)(多選)(2023·?？诟咭粰z測)已知x=log43,則下列計算正確的有 ()A.4x=3 B.2x=3C.2-x=33 D.2x+2-x【解析】選ABC.因為x=log43,所以4x=3,故A正確;則22x=(2x)2=3,且2x>0,所以22-x=12x=132x+2-x=3+33=436.(5分)(多選)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的是 ()A.100=1與lg1=0B.9-12=13C.(3)2=3與log3D.lnN=12與N=【分析】根據(jù)ax=N?x=logaN逐項判斷即可.【解析】選AC.依題意,由ax=N?x=logaN可得:對于A,100=1?lg1=0,故A正確;對于B,9-12=13?log9對于C,(3)2=3?log3對于D,lnN=12?e12=7.(5分)(2023·周口高一檢測)41+log4【解析】41+log42=41答案:88.(5分)若對數(shù)方程lg2x+lgx-2=0的兩根為x1,x2,則x1x2=.

【解析】lg2x+lgx-2=0?(lgx+2)(lgx-1)=0?lgx=-2,或lgx=1,lgx=-2?x=1100,lgx=1?x所以x1x2=1100×10=1答案:19.(5分)已知x=log23,則4x-4【分析】化簡分式可得4x-4-x2x【解析】因為4x-4-x2x-2-x=(2x+2-答案:10【補償訓(xùn)練】若a=log123,則4a+2-a=【解析】由a=log1可得12a=3?2a=所以4a+2-a=(2a)2+(2a)答案:2810.(10分)求下列各式中x的值:(1)log27x=-23;(2)logx16=-4;(3)lg11000=x【分析】根據(jù)對數(shù)的定義,進行指、對數(shù)式的互化即可求得答案.【解析】(1)由題意得,x=27-23=(33(2)由題意得,x-4=16?1x4=24,而x>0且x≠1,所以1x=2?x(3)由題意得,10x=11000=10-3?(4)由題意得,lne-3=-x?e-3=e-x?x=3.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根為 ()A.-3 B.3C.-1或3 D.1或-3【解析】選B.由lg(x2-1)=lg(2x+2),得x2-1=2所以方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根為3.12.(5分)(多選)有以下四個結(jié)論:①lg(lg10)=0;②lg(lne)=0;③若e=lnx,則x=e2;④ln(lg1)=0.其中正確的是()A.① B.② C.③ D.④【解析】選AB.因為lg10=lne=1,lg(lg10)=lg1=0,lg(lne)=lg1=0,所以①②均正確;③中若e=lnx,則x=ee,故③錯誤;④中l(wèi)g1=0,而ln0沒有意義,故④錯誤.【點睛】本題考查對數(shù)式正誤的判斷,解題時要熟悉對數(shù)恒等式的應(yīng)用,同時也要掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.13.(5分)求下列式子值.(1)2log23+2log31-3log7(2)912log【分析】直接利用指、對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算求解即可.【解析】(1)原式=3+2×0-3×1+3×0=0;(2)912log34=答案:(1)0(2)414.(10分)(2023·鹽城高一檢測)若log12x=m,log14y=m【解析】因為log12x=m,所以12m=x,x因為log14y=m+2,所以14m+2=y所以x2y=122【點睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,屬于基礎(chǔ)題.15.(10分)若log2[log12(log2x)]=log3[log=log5[log15(log5z)]=0,試比較x,y,【解析】由log3[log13(log得log13(log3y)=1,log3y=13,y=31由log2[log12(log得log12(log2x)=1,log2x=12,x=21由log5[log15(log得log15(log5z)=1,log5z=15,z=51因為310>215>56,所以y>x>z.【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)已知a,b,c是△ABC的三邊,且關(guān)于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有兩個相等的實根,則△ABC的形狀是 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.鈍角三角形【解析】選B.由題意知Δ=0,即(-2)2-4lg(化簡得2lga-lg(c2-b2)=0,所以lga2c2所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.17.(5分)若r,s,t∈(0,1),且log4r=log5s=lgt,則 ()A.r14<s15<t110 BC.t110<s15<r14 D【分析】令log4r=log5s=lgt=a,由r,s,t∈(0,1)則a<0,將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,統(tǒng)一其指數(shù)為常數(shù)a20,比較其底數(shù)的大小關(guān)系,結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)解答【解析】選A.設(shè)log4r=log5s=lgt=a(a<0),則r=4a,s=5a,t=10a,r14=4a4=(45)a20,s15因為45>54>102>0,且函數(shù)y=xa20(a<0)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以r14<十不等關(guān)系與比較大小(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)大橋橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌,是指示司機要安全通過該橋,應(yīng)使車和貨的總重量T滿足的關(guān)系為 ()A.T<40 B.T>40 C.T≤40 D.T≥40【解析】選C.“限重40噸”用不等式表示為T≤40.【補償訓(xùn)練】某校對高一美術(shù)生劃定錄取分數(shù)線,專業(yè)成績x不低于95分,文化課總分y高于380分,體育成績z超過45分,用不等式組表示為 ()A.x≥95,y≥380C.x>95,y>380【解析】選D.“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超過”即“>”,所以x2.(5分)設(shè)M=x2,N=-x-1,則M與N的大小關(guān)系是 ()A.M>N B.M=NC.M<N D.與x有關(guān)【解析】選A.因為M-N=x2+x+1=(x+12)2+34>0,所以M3.(5分)若x∈R,y∈R,則 ()A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1【解析】選A.因為x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1.4.(5分)在開山工程爆破時,已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒12厘米,人跑開的速度是每秒4米,為了使點燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時跑到100米以外的安全區(qū),導(dǎo)火索的長度x(厘米)應(yīng)該滿足的不等式為 (A.4×2x≥100 B.4×2x≤100C.4×2x>100 D.4×2x<100【解析】選C.當導(dǎo)火索的長度為x厘米時,燃燒的時間為2x秒,人跑開的距離為(4×2x)米,為了保證安全,有4×2x>100.5.(5分)(多選)下面列出的幾種不等關(guān)系中,正確的為 ()A.x與2的和是非負數(shù),可表示為“x+2>0”B.小明的身高為x,小華的身高為y,則小明比小華矮,可表示為“x>y”C.△ABC的兩邊之和大于第三邊,記三邊分別為a,b,c,則可表示為“a+b>c且b+c>a”D.若某天的溫度為t,最低溫度為7℃,最高溫度為13℃,則這天的溫度范圍可表示為“7℃≤t≤13℃”【解析】選CD.對于A,x與2的和是非負數(shù),應(yīng)表示為“x+2≥0”,故A錯誤;對于B,小明比小華矮,應(yīng)表示為“x<y”,故B錯誤;對于C,根據(jù)三角形的性質(zhì),兩邊之和大于第三邊,所以C正確;對于D,最低溫度為7℃,最高溫度為13℃,則這天的溫度范圍可表示為“7℃≤t≤13℃”,所以D正確.6.(5分)(多選)下列不等式成立的是 ()A.a2+2>2a B.a2+b2≥2(a-b-1)C.a2+b2≥ab D.1a2【解析】選ABC.因為a2+2-2a=(a-1)2+1>0,所以a2+2>2a,選項A正確;因為a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2(a-b-1),選項B正確;因為a2+b2-ab=a2-ab+b24+3b24=(a-b2)2+3b24因為1a2+1-1a=(1a-12)2+347.(5分)不等式a2+4≥4a中,等號成立的條件為a=2.

【解析】令a2+4=4a,則a2-4a+4=0,所以a=2.8.(5分)某商品包裝上標有質(zhì)量500±1克,若用x表示商品的質(zhì)量,則該商品的質(zhì)量用不等式表示為499≤x≤501.

【解析】因為某商品包裝上標有質(zhì)量500±1克,若用x表示商品的質(zhì)量,則-1≤x-500≤1,所以499≤x≤501.9.(5分)已知a,b∈R,且ab≠0,則ab-a2<b2(填“<”“>”或“=”).

【解析】兩式作差得,ab-a2-b2=-(a-b2)2-34b2<0,所以ab-a2<b10.(10分)一個盒子中紅、白、黑三種球分別為x個、y個、z個,黑球個數(shù)至少是白球個數(shù)的一半,至多是紅球個數(shù)的13,白球與黑球的個數(shù)之和至少為55,試用不等式(組)將題中的不等關(guān)系表示出來【解析】根據(jù)題意可得y2≤z≤x3,y+【綜合應(yīng)用練】11.(5分)已知0<a1<1,0<a2<1,記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是 ()A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N【解析】選B.因為0<a1<1,0<a2<1,所以-1<a1-1<0,-1<a2-1<0,所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N.【補償訓(xùn)練】已知a1>1,a2>1,設(shè)P=1a1+1a2,Q=1a1a2+1,則A.P>Q B.P<QC.P=Q D.不確定【解析】選B.P-Q=(1a1+1a2)-(1a1a2+1)=因為a1>1,a2>1,所以a1-1>0,1-a2<0,a1a2>0,所以P-Q=(a1-112.(5分)(多選)有學(xué)生若干人,住若干宿舍,如果每間住4人,那么還余19人,如果每間住6人,那么只有一間不滿但不空,則宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)可以為 ()A.10間59人 B.11間63人C.12間67人 D.13間71人【解析】選ABC.設(shè)宿舍有x間,則學(xué)生有(4x+19)人,依題意,得4x+19<6x,4x+19>6因為x∈N*,所以x=10,11或12,學(xué)生人數(shù)分別為59,63,67.故宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)分別為10間59人,11間63人或12間67人.13.(5分)已知a=5x2+y2+z2,b=2xy+4x+2z-2,則a,b的大小關(guān)系為a≥b.

【解析】因為5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,當且僅當x=y=12且z=1時取到等號14.(10分)一個大于50小于60的兩位數(shù),其個位數(shù)字比十位數(shù)字大2,試用不等式表示上述關(guān)系,并求出這個兩位數(shù)(用a和b分別表示這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字).【解析】由題意知50<10a+b<60,b-a=2,解得4811<a所以b=7,所以所求的兩位數(shù)為57.15.(10分)已知0<a<b且a+b=1,求證:(1)a2+b