人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-6.1第2課時(shí)-計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用-導(dǎo)學(xué)案【含答案】

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三6.1第2課時(shí)-計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用-導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)．一、組數(shù)問(wèn)題例1用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字．(1)可以排出多少個(gè)不同的三位數(shù)字的密碼？(2)可以排成多少個(gè)不同的三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？反思感悟常見(jiàn)的組數(shù)問(wèn)題及解題原則(1)常見(jiàn)的組數(shù)問(wèn)題：奇數(shù)、偶數(shù)、整除數(shù)、各數(shù)位上的和或數(shù)字間滿足某種特殊關(guān)系等．(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對(duì)數(shù)字的要求，針對(duì)這一要求通過(guò)分類、分步進(jìn)行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對(duì)各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)、兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0、被3整除的數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數(shù)字或特殊位置進(jìn)行組數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24B．18C．12D．6(2)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243B．252C．261D．279二、抽取與分配問(wèn)題例2(1)高三年級(jí)的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．360種B．420種C．369種D．396種(2)甲、乙、丙三人各寫(xiě)一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)為_(kāi)_______．反思感悟抽取與分配問(wèn)題的常見(jiàn)類型及其解法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹(shù)狀圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．跟蹤訓(xùn)練2(1)有4位老師在同一年級(jí)的4個(gè)班級(jí)中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()A．11B．10C．9D．8(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A．280種B．240種C．180種D．96種三、涂色與種植問(wèn)題例3(1)如圖，用4種不同的顏色對(duì)A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有()A．24種B．48種C．72種D．96種(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在三塊不同土質(zhì)的土地上，其中黃瓜必須種植，則有________種不同的種植方法．反思感悟涂色與種植問(wèn)題的四個(gè)解答策略(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，并用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算．(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算．(3)將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題．(4)對(duì)于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn)．跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為_(kāi)_______．(2)如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(以數(shù)字作答)．1．知識(shí)清單：(1)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系．(2)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用：組數(shù)問(wèn)題、抽取與分配問(wèn)題、涂色與種植問(wèn)題．2．方法歸納：分類討論、正難則反．3．常見(jiàn)誤區(qū)：分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問(wèn)題．1．某乒乓球隊(duì)里有6名男隊(duì)員，5名女隊(duì)員，從中選取男、女隊(duì)員各1名組成混合雙打隊(duì)，則不同的組隊(duì)方法的種數(shù)為()A．11B．30C．56D．652．由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．15B．12C．10D．53．甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．5種C．6種D．12種4.如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．參考答案與詳細(xì)解析例1解(1)三位數(shù)字的密碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，故共可排成5×5×5＝125(個(gè))不同的三位數(shù)字的密碼．(2)三位數(shù)的百位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮百位的排法，除0外共有4種排法，十位、個(gè)位都可以排0，有5種排法，因此，共可排成4×5×5＝100(個(gè))不同的三位數(shù)．(3)能被2整除的數(shù)即偶數(shù)，個(gè)位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是個(gè)位數(shù)字為0，則有4×3＝12(種)排法；一類是個(gè)位數(shù)字不為0，則個(gè)位有2種排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3種排法，十位有3種排法，則有2×3×3＝18(種)排法．故共有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)B[由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種“奇偶奇”的情況，個(gè)位有3種情況，十位有2種情況，百位有2種情況，共12種；如果是第二種“偶奇奇”的情況，個(gè)位有3種情況，十位有2種情況，百位不能是0，只有一種情況，共6種，因此總共有12＋6＝18(個(gè))奇數(shù)．](2)B[0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè))．]例2(1)C[方法一(直接法)以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為四類：第一類，四個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類，有三個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的一個(gè)班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他四個(gè)工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，其他三個(gè)班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．方法二(間接法)先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．](2)2解析不妨由甲先來(lái)取，共2種取法，而甲取到誰(shuí)的將由誰(shuí)在甲取后第二個(gè)來(lái)取，余下來(lái)的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有2×1×1＝2(種)．跟蹤訓(xùn)練2(1)C[方法一設(shè)四個(gè)班級(jí)分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)，共有3種不同的方法；同理當(dāng)a監(jiān)考C，D時(shí)，剩下的三個(gè)老師分別監(jiān)考剩下的三個(gè)班級(jí)也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．方法二讓a先選，可從B，C，D中選一個(gè)，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個(gè)班級(jí)中任選一個(gè)，也有3種選法，剩下的兩個(gè)老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同的安排方法．](2)B[由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．]例3(1)B[按A→B→C→D的涂色順序分四步：涂A部分時(shí)，有4種涂法；涂B部分時(shí)，有3種涂法；涂C部分時(shí)，有2種涂法；涂D部分時(shí)，有2種涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有4×3×2×2＝48(種)．](2)18解析方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有24－6＝18(種)不同的種植方法．跟蹤訓(xùn)練3(1)420解析按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法．第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法．(2)72解析①當(dāng)使用4種顏色時(shí)，先著色區(qū)域1，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個(gè)區(qū)域，即有1種顏色涂相對(duì)的2塊區(qū)域，有3×2×2＝12(種)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有4×12＝48(種)．②當(dāng)使用3種顏色時(shí)，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色區(qū)域1，有3種方法，剩下2種顏色涂4個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2,4區(qū)域，另一種顏色涂第3,5區(qū)域，有2種著色方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得有4×3×2＝24(種)．綜上，共有48＋24＝72(種)．隨堂演練1．B[先選1名男隊(duì)員，有6種方法，再選1名女隊(duì)員，有5種方法，故共有6×5＝30(種)不同的組隊(duì)方法．]2．D[分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成三位整數(shù)，