從知識(shí)建構(gòu)到素養(yǎng)培育：人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材三角函數(shù)編排的比較與啟示

一、引言1.1研究背景與緣起在教育改革不斷深化的大背景下，高中數(shù)學(xué)課程改革持續(xù)推進(jìn)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求與方向，強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容的現(xiàn)代化、結(jié)構(gòu)化以及數(shù)學(xué)文化的融入。教材作為課程標(biāo)準(zhǔn)的具體體現(xiàn)，是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要依據(jù)，其質(zhì)量和編排方式直接影響著教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。因此，對(duì)高中數(shù)學(xué)教材的深入研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。其知識(shí)點(diǎn)豐富而龐雜，與高中數(shù)學(xué)的眾多其他知識(shí)板塊緊密相連，如平面向量、解析幾何、數(shù)列等，是考查學(xué)生邏輯推理能力、反映思維品質(zhì)的良好載體，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。同時(shí)，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展起著關(guān)鍵作用。例如，在物理學(xué)科中，三角函數(shù)用于描述振動(dòng)、波動(dòng)等現(xiàn)象；在工程領(lǐng)域，三角函數(shù)用于計(jì)算長(zhǎng)度、角度等。教材編排是一門(mén)學(xué)問(wèn)，合理的編排能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)，構(gòu)建完整的知識(shí)體系。不同的教材編排方式會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生不同的影響，如內(nèi)容的先后順序、知識(shí)的呈現(xiàn)方式、例題與習(xí)題的配置等。通過(guò)對(duì)教材編排的研究，可以發(fā)現(xiàn)其中的優(yōu)點(diǎn)與不足，為教材的修訂和完善提供參考，同時(shí)也能為教師的教學(xué)提供指導(dǎo)，幫助教師根據(jù)教材的特點(diǎn)選擇合適的教學(xué)方法和策略，提高教學(xué)質(zhì)量。然而，目前關(guān)于高中數(shù)學(xué)人教A版新舊教材三角函數(shù)編排的系統(tǒng)研究相對(duì)較少，無(wú)法滿(mǎn)足教學(xué)實(shí)踐和教材改革的需求。因此，深入研究高中數(shù)學(xué)人教A版新舊教材三角函數(shù)的編排，具有重要的理論和實(shí)踐價(jià)值。1.2研究目的與意義本研究旨在深入剖析高中數(shù)學(xué)人教A版新舊教材中三角函數(shù)編排的差異，揭示教材編寫(xiě)理念的演變和發(fā)展趨勢(shì)，為教師的教學(xué)實(shí)踐提供有針對(duì)性的參考，同時(shí)也為教材的進(jìn)一步優(yōu)化和完善提供理論支持和實(shí)踐依據(jù)。從理論層面來(lái)看，對(duì)教材編排的研究有助于豐富數(shù)學(xué)教育理論體系。通過(guò)對(duì)新舊教材三角函數(shù)編排的對(duì)比分析，可以深入探討教材編寫(xiě)的原則、方法和策略，以及這些因素對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的影響。這不僅能夠?yàn)閿?shù)學(xué)教材編寫(xiě)理論的發(fā)展提供實(shí)證研究基礎(chǔ)，還能促進(jìn)數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐的緊密結(jié)合，推動(dòng)數(shù)學(xué)教育研究的深入發(fā)展。在實(shí)踐意義方面，本研究對(duì)教學(xué)實(shí)踐和教材編寫(xiě)具有重要的指導(dǎo)作用。對(duì)于教師而言，深入了解新舊教材的差異，能夠幫助他們更好地把握教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，選擇合適的教學(xué)方法和教學(xué)策略，提高教學(xué)質(zhì)量。例如，教師可以根據(jù)新教材更加注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性的特點(diǎn)，調(diào)整教學(xué)順序，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系；同時(shí)，針對(duì)新教材中數(shù)學(xué)文化融入和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)增加的情況，教師可以設(shè)計(jì)更加豐富多樣的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。對(duì)教材編寫(xiě)者來(lái)說(shuō)，本研究可以為教材的修訂和完善提供參考依據(jù)。通過(guò)對(duì)新舊教材的比較分析，發(fā)現(xiàn)教材中存在的問(wèn)題和不足之處，如知識(shí)點(diǎn)的銜接不夠緊密、例習(xí)題的難度設(shè)置不合理等，從而在后續(xù)的教材編寫(xiě)中進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，使教材更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)需求，更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究主要采用了文獻(xiàn)研究法、比較分析法和案例分析法。通過(guò)文獻(xiàn)研究法，廣泛查閱國(guó)內(nèi)外關(guān)于高中數(shù)學(xué)教材、三角函數(shù)教學(xué)等方面的文獻(xiàn)資料，梳理相關(guān)理論基礎(chǔ)和研究現(xiàn)狀，為研究提供理論支撐。同時(shí)，對(duì)高中數(shù)學(xué)人教A版新舊教材中三角函數(shù)部分的內(nèi)容編排、知識(shí)呈現(xiàn)方式、例習(xí)題設(shè)置等方面進(jìn)行系統(tǒng)的比較分析，深入剖析兩者的差異，揭示教材編寫(xiě)理念的演變和發(fā)展趨勢(shì)。此外，運(yùn)用案例分析法，選取典型的教學(xué)案例，結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)踐，分析新舊教材在教學(xué)中的應(yīng)用效果，探討教材差異對(duì)教學(xué)方法和學(xué)生學(xué)習(xí)效果的影響。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)在于，不僅對(duì)新舊教材三角函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行了全面細(xì)致的比較，還深入分析了教材編寫(xiě)理念的變化以及這些變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的影響。通過(guò)結(jié)合具體的教學(xué)案例，為教師在教學(xué)中如何更好地利用新教材提供了切實(shí)可行的建議，具有較強(qiáng)的實(shí)踐指導(dǎo)意義。同時(shí)，研究視角較為新穎，從教材編排的角度出發(fā)，綜合考慮了知識(shí)體系、教學(xué)方法、數(shù)學(xué)文化等多個(gè)因素，為高中數(shù)學(xué)教材研究提供了新的思路和方法。二、理論基礎(chǔ)與研究綜述2.1相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1.1數(shù)學(xué)教育理論數(shù)學(xué)教育理論為教材的編寫(xiě)和教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展提供了重要的指導(dǎo)。其中，建構(gòu)主義理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)和知識(shí)的情境性。在建構(gòu)主義視角下，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)，不是被動(dòng)的、簡(jiǎn)單的知識(shí)累積，此建構(gòu)活動(dòng)中包含新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的沖突，以及由此而引發(fā)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同化和順應(yīng)。就高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)而言，學(xué)生不是被動(dòng)地接受三角函數(shù)的概念、公式和性質(zhì)，而是在已有函數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)等基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探究、對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建等活動(dòng)，主動(dòng)地理解和掌握三角函數(shù)知識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)觀(guān)察單位圓中三角函數(shù)線(xiàn)的變化，結(jié)合函數(shù)圖像的繪制，自己去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，從而構(gòu)建起對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的深刻理解。認(rèn)知發(fā)展理論則關(guān)注學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段和規(guī)律。以皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論為例，高中生處于形式運(yùn)算階段，具備較強(qiáng)的抽象思維能力，但同時(shí)也存在認(rèn)知局限。在三角函數(shù)教材編排中，需要充分考慮學(xué)生的這一認(rèn)知特點(diǎn)。對(duì)于一些抽象的三角函數(shù)概念，如弧度制的引入，可以通過(guò)具體的實(shí)例，如車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)、鐘表指針的運(yùn)動(dòng)等，讓學(xué)生先從直觀(guān)的角度感受弧度的概念，再逐步引導(dǎo)他們進(jìn)行抽象的思考和理解，這樣有助于學(xué)生更好地掌握知識(shí)，避免因概念過(guò)于抽象而產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難。2.1.2課程設(shè)計(jì)理論泰勒原理是課程設(shè)計(jì)領(lǐng)域的重要理論，它指出開(kāi)發(fā)任何課程和教學(xué)計(jì)劃都必須回答四個(gè)基本問(wèn)題：學(xué)校應(yīng)該試圖達(dá)到什么教育目標(biāo)；提供什么教育經(jīng)驗(yàn)最有可能達(dá)到這些目標(biāo)；怎樣有效組織這些教育經(jīng)驗(yàn)；我們?nèi)绾未_定這些目標(biāo)正在得以實(shí)現(xiàn)。從泰勒原理的角度分析高中數(shù)學(xué)人教A版新舊教材三角函數(shù)的編排，可以評(píng)估其科學(xué)性和合理性。在教育目標(biāo)方面，新教材應(yīng)明確三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的具體目標(biāo)。例如，通過(guò)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，提高學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，解決實(shí)際問(wèn)題，如在物理學(xué)中求解振動(dòng)、波動(dòng)問(wèn)題，在工程測(cè)量中計(jì)算角度和距離等。在選擇教育經(jīng)驗(yàn)上，教材要提供豐富多樣的學(xué)習(xí)素材和活動(dòng)，幫助學(xué)生達(dá)到教育目標(biāo)。新教材增加了更多的實(shí)際生活案例，如利用三角函數(shù)描述潮汐現(xiàn)象、音樂(lè)中的聲波等，使學(xué)生能夠更好地理解三角函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。關(guān)于組織教育經(jīng)驗(yàn)，需要遵循連續(xù)性、順序性和整合性的原則。在新舊教材中，三角函數(shù)知識(shí)的呈現(xiàn)都應(yīng)遵循由淺入深、由易到難的順序，先介紹三角函數(shù)的基本概念，如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，再深入探討其性質(zhì)和圖像，最后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用和恒等變換。同時(shí)，要注重與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的整合，如與平面向量、解析幾何等知識(shí)的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。在教育評(píng)價(jià)上，教材應(yīng)提供相應(yīng)的評(píng)價(jià)方式和標(biāo)準(zhǔn)，以確定教育目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)程度。通過(guò)設(shè)置多樣化的練習(xí)題和測(cè)試題，不僅考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的記憶和簡(jiǎn)單應(yīng)用，還注重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和綜合運(yùn)用能力，以及在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用三角函數(shù)解決問(wèn)題的能力，從而全面評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。2.2研究綜述2.2.1國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教材比較研究近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教材比較研究成果豐碩。在內(nèi)容編排上，不同國(guó)家的教材展現(xiàn)出各自的特色。例如，美國(guó)教材注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，通過(guò)大量豐富的生活實(shí)例來(lái)引入和解釋數(shù)學(xué)概念，像在講解函數(shù)時(shí)，會(huì)運(yùn)用經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、人口變化模型等實(shí)際案例，幫助學(xué)生理解函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，這種方式使得學(xué)生能夠更好地感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，提高學(xué)習(xí)興趣，但也可能導(dǎo)致知識(shí)系統(tǒng)性稍顯不足。日本教材則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理和證明為主線(xiàn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，如在幾何部分，從基本的幾何定義和公理出發(fā)，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)得出各種定理和結(jié)論，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，但在知識(shí)的趣味性和生活應(yīng)用方面可能相對(duì)欠缺。英國(guó)教材在數(shù)學(xué)教材內(nèi)容編排上重視數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的融入，在教材中會(huì)介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史背景、數(shù)學(xué)家的故事以及數(shù)學(xué)在不同文化中的表現(xiàn)形式，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的文化認(rèn)同感，然而這可能在一定程度上分散學(xué)生對(duì)核心數(shù)學(xué)知識(shí)的注意力。隨著教育國(guó)際化的推進(jìn)，數(shù)學(xué)教材比較研究呈現(xiàn)出多元化和綜合化的趨勢(shì)。不再僅僅局限于對(duì)教材內(nèi)容的簡(jiǎn)單對(duì)比，而是更加注重從教育理念、教學(xué)方法、評(píng)價(jià)方式等多個(gè)維度進(jìn)行深入分析。例如，研究不同國(guó)家教材中如何體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教育理念，如何通過(guò)教材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)；分析教材中配套的評(píng)價(jià)方式，如練習(xí)題、測(cè)試題的設(shè)計(jì)，如何與教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容相匹配，以全面評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果和能力發(fā)展。同時(shí)，跨學(xué)科融合的研究也逐漸成為熱點(diǎn)，探討數(shù)學(xué)教材與其他學(xué)科教材之間的聯(lián)系與整合，以及如何通過(guò)教材培養(yǎng)學(xué)生的跨學(xué)科思維和綜合應(yīng)用能力。2.2.2三角函數(shù)內(nèi)容研究現(xiàn)狀在三角函數(shù)內(nèi)容研究方面，眾多學(xué)者從不同角度展開(kāi)了深入探討。在概念理解上，部分研究指出，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解存在困難，尤其是弧度制、任意角的三角函數(shù)等概念，由于其抽象性較強(qiáng)，學(xué)生難以把握其本質(zhì)。例如，學(xué)生在理解弧度制時(shí)，容易將其與角度制混淆，無(wú)法深刻理解弧度制的定義和優(yōu)勢(shì)。這是因?yàn)榛《戎频囊胂鄬?duì)較為抽象，缺乏直觀(guān)的生活實(shí)例作為支撐，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中難以建立起清晰的概念模型。教學(xué)方法上，已有研究提出多種有效的教學(xué)策略。如利用多媒體教學(xué)工具，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示三角函數(shù)的圖像變化、單位圓中三角函數(shù)線(xiàn)的動(dòng)態(tài)變化等，使抽象的知識(shí)變得更加直觀(guān)形象，幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律。案例教學(xué)法也被廣泛應(yīng)用，通過(guò)實(shí)際生活中的案例，如摩天輪的運(yùn)動(dòng)、交流電的變化等，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和學(xué)習(xí)興趣。此外，關(guān)于三角函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系，研究表明，三角函數(shù)與平面向量、解析幾何等知識(shí)板塊聯(lián)系緊密。在平面向量中，向量的夾角、模長(zhǎng)等計(jì)算常常需要運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)；在解析幾何中，圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程也與三角函數(shù)密切相關(guān)。加強(qiáng)這些知識(shí)之間的聯(lián)系教學(xué)，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。三、人教A版新舊教材三角函數(shù)編排總體比較3.1教材版本與結(jié)構(gòu)概述高中數(shù)學(xué)人教A版舊教材指的是依據(jù)2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》編寫(xiě)的教材，在2004-2019年期間廣泛使用。其三角函數(shù)內(nèi)容主要分布在必修4中，三角函數(shù)知識(shí)體系較為傳統(tǒng)，注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性，按照任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用這樣的順序編排，同時(shí)在必修5中也有部分三角函數(shù)相關(guān)的解三角形內(nèi)容。這種編排方式符合當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)教育注重知識(shí)傳授和邏輯訓(xùn)練的理念，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基本概念、公式和性質(zhì)的掌握，為后續(xù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。新教材則是根據(jù)2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》編寫(xiě)，于2019年開(kāi)始投入使用。三角函數(shù)內(nèi)容集中在必修第一冊(cè)的第五章，從任意角和弧度制開(kāi)始，逐步深入到三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、圖象與性質(zhì)、三角恒等變換、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)以及三角函數(shù)的應(yīng)用。與舊教材相比，新教材在結(jié)構(gòu)上更加緊湊，將三角恒等變換整合到三角函數(shù)這一章節(jié)中，使知識(shí)體系的連貫性和整體性更強(qiáng)。此外，新教材在內(nèi)容編排上更加注重與實(shí)際生活的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等。3.2三角函數(shù)章節(jié)位置與知識(shí)體系架構(gòu)在舊教材中，三角函數(shù)內(nèi)容分布在必修4的第一章，緊隨必修1的函數(shù)知識(shí)之后。這種編排方式，將三角函數(shù)作為函數(shù)知識(shí)體系中的一個(gè)重要分支，在學(xué)生初步掌握函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象等基礎(chǔ)知識(shí)后，引入三角函數(shù)，有利于學(xué)生運(yùn)用已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解和探究三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)時(shí)，可以類(lèi)比之前在必修1中學(xué)習(xí)的一般函數(shù)性質(zhì)的研究方法，通過(guò)分析函數(shù)的表達(dá)式、繪制函數(shù)圖象等方式來(lái)探究。同時(shí)，必修4中三角函數(shù)之后安排的是平面向量?jī)?nèi)容，平面向量與三角函數(shù)之間存在一定的聯(lián)系，如向量的坐標(biāo)表示中常常涉及到三角函數(shù)的知識(shí)，這種編排順序?yàn)楹罄m(xù)學(xué)習(xí)向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。然而，舊教材將三角恒等變換單獨(dú)放在第三章，與第一章三角函數(shù)之間被平面向量隔開(kāi)，這在一定程度上割裂了三角函數(shù)知識(shí)體系的連貫性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能難以將三角函數(shù)的基本概念、性質(zhì)與三角恒等變換進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，不利于學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的整體把握。新教材則將三角函數(shù)內(nèi)容集中在必修第一冊(cè)的第五章，直接銜接在第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)、第三章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之后。這樣的編排位置，強(qiáng)化了三角函數(shù)作為一類(lèi)特殊函數(shù)的屬性，使學(xué)生在深入學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)類(lèi)型后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)，能夠更好地從函數(shù)的整體視角出發(fā)，理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象。例如，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義域、值域時(shí)，學(xué)生可以聯(lián)系之前學(xué)習(xí)的函數(shù)定義域、值域的求解方法，通過(guò)分析三角函數(shù)的定義和圖象來(lái)確定。同時(shí)，新教材將三角恒等變換納入第五章三角函數(shù)中，作為一個(gè)小節(jié)內(nèi)容，增強(qiáng)了知識(shí)體系的連貫性和整體性。學(xué)生在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)后，緊接著學(xué)習(xí)三角恒等變換，能夠更好地理解三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明等方面的作用，將三角函數(shù)的知識(shí)融會(huì)貫通，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。此外，新教材在后續(xù)內(nèi)容中，注重將三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)，如平面向量、解析幾何等進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，進(jìn)一步拓展了三角函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域，提高了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。3.3內(nèi)容增減與順序調(diào)整在內(nèi)容增減方面，舊教材中存在半角公式、三角函數(shù)的積化和差與和差化積等內(nèi)容，這些公式在舊教材中占據(jù)一定篇幅，用于解決一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)化簡(jiǎn)和求值問(wèn)題。然而，新教材刪除了這些內(nèi)容，減輕了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，使教學(xué)重點(diǎn)更加突出。例如，在舊教材中，對(duì)于形如\sinA\cosB的式子，可能會(huì)運(yùn)用積化和差公式將其轉(zhuǎn)化為\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算，但在新教材中，這類(lèi)復(fù)雜的公式運(yùn)用不再是教學(xué)重點(diǎn)。同時(shí)，新教材在一些內(nèi)容的深度和廣度上進(jìn)行了拓展。新教材更加注重對(duì)三角函數(shù)概念的深入理解，通過(guò)增加更多的實(shí)際例子和直觀(guān)圖形，幫助學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的本質(zhì)。在引入三角函數(shù)概念時(shí)，新教材不僅從單位圓的角度進(jìn)行定義，還結(jié)合摩天輪、水車(chē)等實(shí)際生活中的圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例，讓學(xué)生更加直觀(guān)地感受三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，從而更好地理解三角函數(shù)的概念。從順序調(diào)整來(lái)看，舊教材中，三角恒等變換位于平面向量之后，與三角函數(shù)的主體內(nèi)容相隔較遠(yuǎn)，這種編排使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，難以將三角函數(shù)的基本概念、性質(zhì)與三角恒等變換進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，學(xué)生需要跨越平面向量這一章節(jié)，再去學(xué)習(xí)三角恒等變換，容易造成知識(shí)的脫節(jié)，不利于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。新教材將三角恒等變換納入三角函數(shù)章節(jié)之中，緊跟三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、圖象與性質(zhì)之后。這樣的順序調(diào)整，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)的基本內(nèi)容后，能夠及時(shí)學(xué)習(xí)三角恒等變換，理解其在三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明等方面的重要作用，從而將三角函數(shù)的知識(shí)融會(huì)貫通。在學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)后，緊接著學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦公式，學(xué)生可以運(yùn)用這些公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，如利用兩角和的正弦公式\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta，將\sin(x+\frac{\pi}{3})展開(kāi)化簡(jiǎn)，分析其函數(shù)性質(zhì)，使知識(shí)的學(xué)習(xí)更具連貫性和邏輯性。四、新舊教材三角函數(shù)具體內(nèi)容編排差異4.1概念引入與定義方式4.1.1銳角三角函數(shù)概念引入在舊教材中，對(duì)銳角三角函數(shù)概念的引入，先回顧初中階段在直角三角形中對(duì)銳角三角函數(shù)的定義，即通過(guò)直角三角形中銳角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值來(lái)定義正弦、余弦和正切函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，構(gòu)建銳角的終邊，進(jìn)一步闡述在這種情境下銳角三角函數(shù)的表示方式，實(shí)現(xiàn)從初中直角三角形情境到高中平面直角坐標(biāo)系情境的過(guò)渡。在直角三角形中，對(duì)于銳角\alpha，\sin\alpha=\frac{?ˉ1è?1}{???è?1}，\cos\alpha=\frac{é??è?1}{???è?1}，\tan\alpha=\frac{?ˉ1è?1}{é??è?1}。在高中階段，將銳角\alpha放入平面直角坐標(biāo)系，設(shè)其終邊上一點(diǎn)P(x,y)，r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}，則\sin\alpha=\frac{y}{r}，\cos\alpha=\frac{x}{r}，\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)，這種過(guò)渡方式注重知識(shí)的邏輯性和連貫性，從學(xué)生已有的初中知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生建立新的認(rèn)知。新教材在銳角三角函數(shù)概念引入方面，同樣先回顧初中直角三角形中的銳角三角函數(shù)定義，喚起學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。隨后，通過(guò)生活中的實(shí)際例子，如摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)、水車(chē)的旋轉(zhuǎn)等，讓學(xué)生觀(guān)察在這些圓周運(yùn)動(dòng)中角度與位置的變化關(guān)系，引出將銳角放在單位圓中進(jìn)行研究的必要性。在單位圓中，以圓心為原點(diǎn)，x軸正半軸為始邊，當(dāng)銳角的終邊與單位圓相交時(shí)，利用交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)重新定義銳角三角函數(shù)，從而自然地過(guò)渡到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)。例如，在摩天輪的例子中，隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，座艙與水平方向的夾角不斷變化，通過(guò)分析座艙位置的坐標(biāo)與夾角的關(guān)系，讓學(xué)生直觀(guān)地感受到三角函數(shù)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，同時(shí)也為從銳角三角函數(shù)向任意角三角函數(shù)的拓展提供了直觀(guān)的模型，使學(xué)生更容易理解三角函數(shù)的本質(zhì)。這種引入方式更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，注重從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。4.1.2任意角三角函數(shù)定義舊教材采用終邊坐標(biāo)定義法來(lái)定義任意角三角函數(shù)。設(shè)\alpha是一個(gè)任意角，P(x,y)是\alpha終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}(r>0)，則\sin\alpha=\frac{y}{r}，\cos\alpha=\frac{x}{r}，\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)。這種定義方式從初中銳角三角函數(shù)的邊的比值定義自然延伸而來(lái)，學(xué)生在理解上相對(duì)容易，因?yàn)樗c初中所學(xué)知識(shí)有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，便于學(xué)生將新知識(shí)納入已有的知識(shí)體系。在初中直角三角形中，學(xué)生已經(jīng)熟悉了通過(guò)邊的比值來(lái)定義三角函數(shù)，終邊坐標(biāo)定義法可以看作是將這種定義方式從直角三角形的特殊情境推廣到任意角的一般情境。新教材采用單位圓定義法，設(shè)\alpha是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)O，半徑為1的圓）交于點(diǎn)P(x,y)，那么y叫做\alpha的正弦，記作\sin\alpha，即\sin\alpha=y；x叫做\alpha的余弦，記作\cos\alpha，即\cos\alpha=x；\frac{y}{x}(x\neq0)叫做\alpha的正切，記作\tan\alpha，即\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)。單位圓定義法突出了三角函數(shù)的周期性和幾何直觀(guān)性，利用單位圓的性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)性、圓的方程等，可以更方便地研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像。通過(guò)單位圓，學(xué)生可以直觀(guān)地看到隨著角的變化，三角函數(shù)值的變化規(guī)律，如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值在[-1,1]之間周期性變化，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)想象和邏輯推理能力。同時(shí)，單位圓定義法在后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式等內(nèi)容時(shí)，能夠提供更簡(jiǎn)潔、直觀(guān)的推導(dǎo)方法，使學(xué)生更好地理解三角函數(shù)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。4.2公式推導(dǎo)與定理證明4.2.1誘導(dǎo)公式推導(dǎo)舊教材在誘導(dǎo)公式推導(dǎo)時(shí)，主要借助三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)進(jìn)行。以推導(dǎo)\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha，\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha為例，在單位圓中作出角\alpha和\pi+\alpha的終邊，通過(guò)觀(guān)察三角函數(shù)線(xiàn)的方向和長(zhǎng)度變化，利用三角函數(shù)線(xiàn)與三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得出誘導(dǎo)公式。這種推導(dǎo)方法直觀(guān)形象，學(xué)生能夠通過(guò)圖形清晰地看到角的變化與三角函數(shù)值變化之間的聯(lián)系，符合學(xué)生從直觀(guān)到抽象的認(rèn)知規(guī)律。但三角函數(shù)線(xiàn)的概念相對(duì)較為抽象，對(duì)于一些學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解三角函數(shù)線(xiàn)與三角函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可能存在一定困難，而且這種方法在推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)圖形的依賴(lài)程度較高，不利于學(xué)生從代數(shù)角度深入理解誘導(dǎo)公式的本質(zhì)。新教材則主要利用單位圓的對(duì)稱(chēng)性來(lái)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式。同樣以\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha，\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha為例，根據(jù)單位圓的對(duì)稱(chēng)性，角\alpha與\pi+\alpha的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)角\alpha終邊與單位圓交點(diǎn)為P(x,y)，則角\pi+\alpha終邊與單位圓交點(diǎn)為P'(-x,-y)。根據(jù)三角函數(shù)的單位圓定義，\sin\alpha=y，\cos\alpha=x，\sin(\pi+\alpha)=-y，\cos(\pi+\alpha)=-x，從而得出誘導(dǎo)公式。這種推導(dǎo)方法突出了單位圓的幾何性質(zhì)，將誘導(dǎo)公式與單位圓的對(duì)稱(chēng)性緊密聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生能夠從幾何直觀(guān)的角度更好地理解誘導(dǎo)公式的來(lái)源和本質(zhì)。同時(shí)，利用單位圓的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行推導(dǎo)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)想象和邏輯推理能力，使學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建更加完整的知識(shí)體系。此外，新教材在推導(dǎo)過(guò)程中增加了更多的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索單位圓的對(duì)稱(chēng)性與誘導(dǎo)公式之間的關(guān)系，提高了學(xué)生的自主探究能力和學(xué)習(xí)積極性。4.2.2兩角和與差公式推導(dǎo)舊教材在推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式時(shí)，采用了三角函數(shù)線(xiàn)法。通過(guò)在單位圓中構(gòu)造角\alpha，\beta以及\alpha\pm\beta，利用三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)度關(guān)系和幾何性質(zhì)，經(jīng)過(guò)復(fù)雜的幾何推導(dǎo)得出公式。在推導(dǎo)兩角差的余弦公式\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta時(shí)，在單位圓中作出角\alpha，\beta，通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)線(xiàn)表示出各個(gè)角的正弦、余弦值，再根據(jù)三角形全等、線(xiàn)段長(zhǎng)度關(guān)系等幾何知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀(guān)性強(qiáng)，能夠讓學(xué)生從幾何圖形中直接觀(guān)察到兩角和與差的三角函數(shù)值與角的關(guān)系，有助于學(xué)生理解公式的幾何意義。然而，三角函數(shù)線(xiàn)法的推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣，涉及到較多的幾何圖形和線(xiàn)段關(guān)系的分析，對(duì)學(xué)生的幾何直觀(guān)能力和邏輯推理能力要求較高，學(xué)生在理解和掌握推導(dǎo)過(guò)程時(shí)可能會(huì)遇到較大困難。新教材采用向量法來(lái)推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式。在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)單位圓上的兩個(gè)向量\overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\sin\alpha)，\overrightarrow{OB}=(\cos\beta,\sin\beta)，則\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha-\beta)，又根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta，從而得到\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta。向量法推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，利用向量的數(shù)量積這一工具，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，避免了復(fù)雜的幾何圖形分析，降低了推導(dǎo)的難度。同時(shí)，向量法體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的緊密聯(lián)系，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)一性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力。在得到兩角差的余弦公式后，再通過(guò)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式以及兩角和與差的正弦、正切公式，使公式之間的推導(dǎo)邏輯更加清晰，知識(shí)體系更加完整。4.2.3正余弦定理證明舊教材中，正弦定理的證明采用了傳統(tǒng)的幾何方法，通過(guò)在三角形中作高，將三角形的邊與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系，利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行推導(dǎo)。在銳角三角形ABC中，作AD\perpBC于點(diǎn)D，則\sinB=\frac{AD}{AB}，\sinC=\frac{AD}{AC}，由此可得\frac{AC}{\sinB}=\frac{AB}{\sinC}，同理可證其他邊與角的關(guān)系，從而得出正弦定理\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}。這種證明方法基于學(xué)生已有的初中幾何知識(shí)，學(xué)生容易理解，能夠直觀(guān)地看到正弦定理在三角形中的幾何意義。但證明過(guò)程相對(duì)繁瑣，需要對(duì)不同類(lèi)型的三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）分別進(jìn)行討論，而且在證明過(guò)程中對(duì)輔助線(xiàn)的依賴(lài)程度較高，不利于學(xué)生從更一般的角度理解正弦定理的本質(zhì)。余弦定理的證明在舊教材中同樣采用幾何法，通過(guò)在三角形中利用勾股定理和三角函數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)。在三角形ABC中，以A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B(c,0)，C(x,y)，利用兩點(diǎn)間距離公式和三角函數(shù)的定義，結(jié)合勾股定理，推導(dǎo)出a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cosA，同理可證其他形式。這種證明方法利用了平面直角坐標(biāo)系和勾股定理，將三角形的邊與角的關(guān)系用代數(shù)形式表示出來(lái)，具有一定的邏輯性和系統(tǒng)性。但證明過(guò)程涉及到較多的代數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)變換，對(duì)于一些學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解和掌握起來(lái)可能有一定難度，而且?guī)缀畏ㄗC明余弦定理時(shí)，對(duì)于三角形的形狀有一定的限制，需要分別對(duì)不同形狀的三角形進(jìn)行討論，不夠簡(jiǎn)潔明了。新教材中，正弦定理的證明除了保留幾何法外，還引入了向量法。利用向量的數(shù)量積和三角形面積公式進(jìn)行證明，設(shè)\overrightarrow{AB}=\vec{c}，\overrightarrow{BC}=\vec{a}，\overrightarrow{CA}=\vec，則\vec{a}+\vec+\vec{c}=\vec{0}，兩邊同時(shí)與\vec{a}作數(shù)量積，結(jié)合三角形面積公式S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}ab\sinC，可以推導(dǎo)出正弦定理。向量法證明正弦定理簡(jiǎn)潔高效，將向量的運(yùn)算與三角形的面積公式相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生從不同角度理解正弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。余弦定理的證明在新教材中則主要采用向量法。設(shè)\overrightarrow{AB}=\vec{c}，\overrightarrow{BC}=\vec{a}，\overrightarrow{CA}=\vec，根據(jù)向量的平方等于向量模長(zhǎng)的平方，\vec{a}^{2}=(\vec-\vec{c})^{2}=\vec^{2}+\vec{c}^{2}-2\vec\cdot\vec{c}，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義\vec\cdot\vec{c}=\vert\vec\vert\vert\vec{c}\vert\cosA=bc\cosA，從而得到a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cosA，同理可證其他形式。向量法證明余弦定理思路清晰，通過(guò)向量的運(yùn)算將三角形的邊與角的關(guān)系直接表示出來(lái)，避免了復(fù)雜的幾何圖形分析和分類(lèi)討論，使證明過(guò)程更加簡(jiǎn)潔、通用，有助于學(xué)生理解余弦定理的本質(zhì)，提高學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。4.3圖象與性質(zhì)呈現(xiàn)4.3.1三角函數(shù)圖象繪制舊教材在三角函數(shù)圖象繪制時(shí)，以正弦函數(shù)圖象繪制為例，先通過(guò)在直角坐標(biāo)系中，利用三角函數(shù)線(xiàn)的方法，作出y=\sinx在[0,2\pi]上的圖象。在單位圓中，作出角x的正弦線(xiàn)，然后將正弦線(xiàn)平移到對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)位置，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，通過(guò)多個(gè)特殊點(diǎn)的正弦線(xiàn)確定點(diǎn)的位置，用平滑曲線(xiàn)連接這些點(diǎn)，從而得到y(tǒng)=\sinx在[0,2\pi]上的圖象。再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，將[0,2\pi]上的圖象向左、右平移2k\pi(k\inZ)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=\sinx在R上的圖象。這種方法較為直觀(guān)，學(xué)生能夠通過(guò)三角函數(shù)線(xiàn)直觀(guān)地看到函數(shù)值隨角度的變化情況，有助于學(xué)生理解函數(shù)圖象與三角函數(shù)線(xiàn)之間的聯(lián)系，但是操作過(guò)程相對(duì)繁瑣，需要學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線(xiàn)有清晰的理解，并且在繪制過(guò)程中對(duì)學(xué)生的幾何作圖能力要求較高。新教材在繪制正弦函數(shù)圖象時(shí)，采用“五點(diǎn)法”與信息技術(shù)相結(jié)合的方式。先通過(guò)“五點(diǎn)法”，找出y=\sinx在[0,2\pi]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即(0,0)，(\frac{\pi}{2},1)，(\pi,0)，(\frac{3\pi}{2},-1)，(2\pi,0)，通過(guò)計(jì)算這些特殊點(diǎn)的函數(shù)值，在直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，然后用平滑曲線(xiàn)連接起來(lái)，得到y(tǒng)=\sinx在[0,2\pi]上的大致圖象。接著利用信息技術(shù)，如借助圖形計(jì)算器、數(shù)學(xué)軟件等工具，展示當(dāng)x在R上變化時(shí)，函數(shù)y=\sinx圖象的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，讓學(xué)生更直觀(guān)地感受函數(shù)的周期性和圖象的連續(xù)性。“五點(diǎn)法”繪制圖象簡(jiǎn)潔明了，能夠快速確定函數(shù)圖象的大致形狀，而信息技術(shù)的運(yùn)用則彌補(bǔ)了傳統(tǒng)手繪圖象的局限性，使學(xué)生能夠更全面、深入地觀(guān)察函數(shù)圖象的變化規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)生的直觀(guān)感受，培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察能力和探索精神，同時(shí)也體現(xiàn)了現(xiàn)代教育技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。4.3.2性質(zhì)探究與總結(jié)舊教材對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的探究，主要側(cè)重于從函數(shù)的表達(dá)式和圖象出發(fā)，通過(guò)觀(guān)察圖象的特征來(lái)總結(jié)性質(zhì)。在探究正弦函數(shù)y=\sinx的單調(diào)性時(shí)，先畫(huà)出函數(shù)圖象，觀(guān)察圖象在[0,2\pi]上的上升和下降趨勢(shì)，得出在[0,\frac{\pi}{2}]和[\frac{3\pi}{2},2\pi]上函數(shù)單調(diào)遞增，在[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]上函數(shù)單調(diào)遞減。再根據(jù)周期性推廣到整個(gè)定義域上的單調(diào)性。對(duì)于奇偶性，通過(guò)分析\sin(-x)=-\sinx，結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，得出正弦函數(shù)是奇函數(shù)。這種探究方式注重從直觀(guān)的圖象和簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算入手，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，但在探究的深度和廣度上相對(duì)有限，對(duì)學(xué)生自主探究能力的培養(yǎng)不夠充分。新教材在三角函數(shù)性質(zhì)探究方面，更加注重引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探究。在探究正弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，不僅從圖象和代數(shù)表達(dá)式入手，還通過(guò)設(shè)置探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的性質(zhì)來(lái)理解函數(shù)性質(zhì)。利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)與三角函數(shù)值的關(guān)系，分析隨著角的變化，三角函數(shù)值的變化規(guī)律，從而探究函數(shù)的單調(diào)性和周期性。在探究函數(shù)y=\sinx的單調(diào)性時(shí)，讓學(xué)生觀(guān)察單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)（即正弦函數(shù)值）隨著角的增大而變化的情況，從幾何直觀(guān)的角度深入理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。同時(shí)，新教材還增加了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的拓展探究，如探究三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、最值的取得條件等內(nèi)容，拓寬了學(xué)生的知識(shí)面和思維深度。在探究正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)對(duì)稱(chēng)的原因，通過(guò)分析單位圓上點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系以及三角函數(shù)值的變化，使學(xué)生更深入地理解函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。此外，新教材在性質(zhì)總結(jié)部分，更加注重引導(dǎo)學(xué)生自主歸納和總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力和邏輯思維能力。4.4應(yīng)用實(shí)例與案例分析4.4.1實(shí)際生活應(yīng)用案例舊教材中，三角函數(shù)在實(shí)際生活應(yīng)用案例選取相對(duì)較少，且案例類(lèi)型較為單一。在講解三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用時(shí)，主要以潮汐現(xiàn)象為例，介紹如何利用三角函數(shù)來(lái)描述潮汐的漲落規(guī)律。通過(guò)給出潮汐高度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型，如y=A\sin(\omegat+\varphi)+h，其中y表示潮汐高度，t表示時(shí)間，A、\omega、\varphi、h為常數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)給定的函數(shù)模型分析潮汐的變化周期、最大高度和最小高度等信息。在講解過(guò)程中，側(cè)重于對(duì)函數(shù)模型的數(shù)學(xué)分析，通過(guò)計(jì)算函數(shù)的周期T=\frac{2\pi}{\omega}，來(lái)確定潮汐漲落的周期，利用函數(shù)的最值來(lái)確定潮汐的最大和最小高度。新教材在實(shí)際生活應(yīng)用案例的選取上更加豐富多樣，涉及多個(gè)領(lǐng)域。除了潮汐現(xiàn)象，還引入了音樂(lè)中的聲波、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等案例。在介紹音樂(lè)中的聲波時(shí)，通過(guò)分析聲波的頻率、振幅與三角函數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生了解到音樂(lè)中的音高、音量等概念可以用三角函數(shù)來(lái)描述。以正弦型函數(shù)y=A\sin(\omegat)來(lái)表示簡(jiǎn)單的聲波，其中\(zhòng)omega決定了聲波的頻率，進(jìn)而影響音高，A決定了聲波的振幅，影響音量大小。在講解過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。在分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)案例時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，分析其位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，建立起簡(jiǎn)諧振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型x=A\sin(\omegat+\varphi)，通過(guò)對(duì)模型的分析，求解振動(dòng)的周期、頻率、振幅等物理量，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。4.4.2數(shù)學(xué)問(wèn)題解決案例舊教材中運(yùn)用三角函數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的案例，主要集中在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值和證明等方面。在化簡(jiǎn)案例中，常常出現(xiàn)較為復(fù)雜的三角函數(shù)式子，需要學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和與差的公式等進(jìn)行化簡(jiǎn)?；?jiǎn)\frac{\sin(180^{\circ}-\alpha)\cos(360^{\circ}-\alpha)\tan(-\alpha+180^{\circ})}{\cos(-\alpha-180^{\circ})\sin(-\alpha-180^{\circ})}，學(xué)生需要根據(jù)誘導(dǎo)公式\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha，\cos(360^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha，\tan(-\alpha+180^{\circ})=-\tan\alpha，\cos(-\alpha-180^{\circ})=-\cos\alpha，\sin(-\alpha-180^{\circ})=\sin\alpha，對(duì)式子進(jìn)行逐步化簡(jiǎn)，最終得到-\tan\alpha。在求值案例中，通常會(huì)給出一些三角函數(shù)值，讓學(xué)生通過(guò)已知條件和三角函數(shù)公式求出其他三角函數(shù)值。已知\sin\alpha=\frac{3}{5}，\alpha為第二象限角，求\cos\alpha和\tan\alpha的值，學(xué)生需要利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1，求出\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}，再根據(jù)\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}，求出\tan\alpha=-\frac{3}{4}。證明案例則主要是利用三角函數(shù)的基本公式和性質(zhì)，證明一些三角函數(shù)等式。證明\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\tan\alpha+\tan\beta，學(xué)生需要根據(jù)兩角和的正弦公式\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta，將等式左邊進(jìn)行變形，得到\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=\tan\alpha+\tan\beta，從而完成證明。這些案例的難度適中，注重對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查。新教材在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決案例方面，除了保留傳統(tǒng)的化簡(jiǎn)、求值和證明案例外，還增加了一些與其他知識(shí)綜合運(yùn)用的案例，以及一些開(kāi)放性、探究性的案例，難度有所提升。在與平面向量綜合的案例中，給出向量\overrightarrow{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)，\overrightarrow=(\cos\beta,\sin\beta)，讓學(xué)生求\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow，并結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)分析\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow與\cos(\alpha-\beta)的關(guān)系，學(xué)生需要運(yùn)用向量的數(shù)量積公式\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta，再結(jié)合兩角差的余弦公式\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta，得出\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\cos(\alpha-\beta)。在開(kāi)放性案例中，會(huì)給出一些實(shí)際情境或數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生自主提出問(wèn)題并解決。給出一個(gè)三角形的部分邊長(zhǎng)和角度信息，讓學(xué)生自主提出關(guān)于三角形面積、其他邊長(zhǎng)或角度的問(wèn)題，并運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解。在探究性案例中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的一些性質(zhì)或規(guī)律。讓學(xué)生探究函數(shù)y=A\sin(\omegax+\varphi)中參數(shù)A、\omega、\varphi對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)的影響，通過(guò)改變參數(shù)的值，觀(guān)察函數(shù)圖象的變化，總結(jié)出參數(shù)與函數(shù)圖象和性質(zhì)之間的關(guān)系。這些案例的設(shè)置，旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)能力、創(chuàng)新思維能力和探究精神。五、新舊教材三角函數(shù)編排差異對(duì)教學(xué)的影響5.1對(duì)教師教學(xué)方法的影響5.1.1教學(xué)策略調(diào)整新舊教材三角函數(shù)編排的差異，促使教師對(duì)教學(xué)策略進(jìn)行調(diào)整。在概念引入環(huán)節(jié)，新教材更注重從實(shí)際生活情境出發(fā)，教師應(yīng)順應(yīng)這一變化，采用情境教學(xué)法。在講解任意角三角函數(shù)概念時(shí)，教師可以引入摩天輪、水車(chē)等生活實(shí)例，讓學(xué)生觀(guān)察在這些圓周運(yùn)動(dòng)中角度與位置的變化關(guān)系，從而自然地引出任意角三角函數(shù)的概念。這種教學(xué)策略能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。對(duì)于公式推導(dǎo)，新教材采用了不同的方法，如利用單位圓的對(duì)稱(chēng)性推導(dǎo)誘導(dǎo)公式，運(yùn)用向量法推導(dǎo)兩角和與差的公式。教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解這些新的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。在講解誘導(dǎo)公式時(shí)，教師可以通過(guò)多媒體展示單位圓的對(duì)稱(chēng)性，讓學(xué)生直觀(guān)地看到角的變化與三角函數(shù)值變化之間的關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)誘導(dǎo)公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和自主探究能力。在性質(zhì)探究方面，新教材引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行思考，教師應(yīng)組織學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索三角函數(shù)的性質(zhì)。在探究正弦函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，教師可以讓學(xué)生分組討論，利用單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)（即正弦函數(shù)值）隨著角的增大而變化的情況，從幾何直觀(guān)的角度深入理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。同時(shí)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析函數(shù)的表達(dá)式，從代數(shù)角度進(jìn)一步探究函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和合作交流能力。5.1.2教學(xué)資源整合為適應(yīng)新教材的教學(xué)需求，教師需要整合多種教學(xué)資源。在新教材中，實(shí)際生活應(yīng)用案例更加豐富，教師可以收集更多相關(guān)的素材，如音樂(lè)中的聲波、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等案例，將其融入教學(xué)中。教師可以播放一段音樂(lè)，讓學(xué)生分析其中聲波的頻率、振幅與三角函數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生更加直觀(guān)地感受到三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，教師可以利用圖形計(jì)算器、數(shù)學(xué)軟件等工具輔助教學(xué)。在繪制三角函數(shù)圖象時(shí)，教師可以借助數(shù)學(xué)軟件，如Geogebra、Mathematica等，展示函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，讓學(xué)生更直觀(guān)地觀(guān)察函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)。同時(shí)，教師還可以利用在線(xiàn)教學(xué)平臺(tái)，如學(xué)堂在線(xiàn)、超星學(xué)習(xí)通等，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，如教學(xué)視頻、練習(xí)題、拓展閱讀材料等，滿(mǎn)足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求。此外，教師還可以結(jié)合教材中的拓展性欄目，如“觀(guān)察”“思考”“探究”等，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和探究。在講解三角函數(shù)的應(yīng)用時(shí)，教師可以讓學(xué)生通過(guò)閱讀“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中的內(nèi)容，了解三角函數(shù)在天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。5.2對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的影響5.2.1知識(shí)理解與掌握新教材在知識(shí)呈現(xiàn)上更注重從實(shí)際生活情境引入，這有助于學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念。在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)時(shí)，通過(guò)摩天輪、水車(chē)等生活實(shí)例，學(xué)生能直觀(guān)地感受到角的變化與函數(shù)值之間的聯(lián)系，從而更深刻地理解三角函數(shù)的本質(zhì)。這種從具體到抽象的引入方式，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，降低了學(xué)生理解抽象概念的難度。在公式推導(dǎo)方面，新教材采用的單位圓對(duì)稱(chēng)性推導(dǎo)誘導(dǎo)公式以及向量法推導(dǎo)兩角和與差公式，雖然方法新穎，但對(duì)于部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解起來(lái)可能存在一定困難。單位圓對(duì)稱(chēng)性的理解需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力和幾何直觀(guān)能力，而向量法推導(dǎo)公式則對(duì)學(xué)生的向量知識(shí)和代數(shù)運(yùn)算能力有較高要求。然而，一旦學(xué)生掌握了這些新的推導(dǎo)方法，他們對(duì)公式的理解將更加深入，記憶也會(huì)更加牢固。新教材中增加的實(shí)際生活應(yīng)用案例和綜合問(wèn)題解決案例，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)素材，拓寬了學(xué)生的視野。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用時(shí)，通過(guò)音樂(lè)中的聲波、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等案例，學(xué)生能夠了解到三角函數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。同時(shí)，這些案例也有助于學(xué)生將所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力和應(yīng)用能力。5.2.2思維能力培養(yǎng)新教材在編排上注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和思考，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力的培養(yǎng)具有積極作用。在探究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，通過(guò)設(shè)置多個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從單位圓、函數(shù)圖象、代數(shù)表達(dá)式等多個(gè)角度進(jìn)行思考，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力。在探究正弦函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)觀(guān)察單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化、分析函數(shù)圖象的上升和下降趨勢(shì)以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明等多種方法，深入理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，從而提高學(xué)生的邏輯推理能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，新教材增加的開(kāi)放性和探究性案例，要求學(xué)生自主提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和獨(dú)立思考能力。在面對(duì)開(kāi)放性問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)已知條件，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，提出合理的問(wèn)題，并通過(guò)分析和推理找到解決問(wèn)題的方法。在解決關(guān)于三角形的開(kāi)放性問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)給定的三角形邊長(zhǎng)和角度信息，自主提出關(guān)于三角形面積、其他邊長(zhǎng)或角度的問(wèn)題，并運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，這不僅提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。此外，新教材注重知識(shí)之間的聯(lián)系，將三角函數(shù)與平面向量、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)能力和邏輯思維能力。在學(xué)習(xí)向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用時(shí)，學(xué)生需要運(yùn)用向量的知識(shí)和三角函數(shù)的知識(shí)，解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這要求學(xué)生能夠?qū)⒉煌R(shí)板塊進(jìn)行融會(huì)貫通，提高學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)能力和邏輯思維能力。六、基于編排差異的教學(xué)建議與實(shí)踐策略6.1教學(xué)建議6.1.1基于新教材編排的教學(xué)流程設(shè)計(jì)在新教材的教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)其編排特點(diǎn)設(shè)計(jì)合理的教學(xué)流程。以“三角函數(shù)的概念”教學(xué)為例，首先，通過(guò)展示生活中摩天輪、水車(chē)等圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察在這些運(yùn)動(dòng)中角度與位置的變化關(guān)系，提出問(wèn)題：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這種變化？從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。接著，引導(dǎo)學(xué)生回顧初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)知識(shí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，引入單位圓，讓學(xué)生在單位圓中探究任意角的三角函數(shù)定義。通過(guò)讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，在單位圓上畫(huà)出不同角度的終邊，觀(guān)察終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，分析坐標(biāo)與三角函數(shù)值之間的關(guān)系，從而抽象出任意角三角函數(shù)的定義。在學(xué)生理解了三角函數(shù)的定義后，設(shè)置探究活動(dòng)，讓學(xué)生探究三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值的符號(hào)等性質(zhì)。通過(guò)小組討論、合作探究的方式，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和合作交流能力。例如，讓學(xué)生分組討論在不同象限中，正弦、余弦、正切函數(shù)值的正負(fù)情況，并總結(jié)規(guī)律。然后，通過(guò)例題和練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的三角函數(shù)定義和性質(zhì)解決問(wèn)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。在例題的選擇上，要注重層次性和代表性，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步提高學(xué)生的解題能力。在學(xué)生解題過(guò)程中，教師要及時(shí)給予指導(dǎo)和反饋，幫助學(xué)生解決遇到的問(wèn)題。最后，對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)的定義、性質(zhì)以及探究過(guò)程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)學(xué)抽象、數(shù)形結(jié)合等。布置課后作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，并鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探究三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。6.1.2利用教材差異培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)在三角函數(shù)概念教學(xué)中，新教材從實(shí)際生活情境引入，教師可以充分利用這一特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在引入任意角三角函數(shù)概念時(shí)，通過(guò)摩天輪的例子，讓學(xué)生觀(guān)察座艙的位置隨角度的變化情況，然后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這種變化，從而抽象出三角函數(shù)的概念。在公式推導(dǎo)過(guò)程中，新教材采用的單位圓對(duì)稱(chēng)性推導(dǎo)誘導(dǎo)公式以及向量法推導(dǎo)兩角和與差公式，注重知識(shí)的邏輯性和系統(tǒng)性。教師可以引導(dǎo)學(xué)生參與推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。在推導(dǎo)兩角和的余弦公式時(shí)，讓學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)，從向量的數(shù)量積公式出發(fā)，逐步推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要運(yùn)用向量的知識(shí)、三角函數(shù)的定義以及邏輯推理能力，從而提高學(xué)生的邏輯思維能力。新教材中增加了許多實(shí)際生活應(yīng)用案例和探究性問(wèn)題，教師可以組織學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)，讓學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用時(shí)，讓學(xué)生分組探究音樂(lè)中的聲波、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，分析問(wèn)題并解決問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力。此外，新教材在圖象與性質(zhì)呈現(xiàn)、例習(xí)題設(shè)置等方面也有獨(dú)特之處，教師應(yīng)充分挖掘這些資源，通過(guò)多樣化的教學(xué)活動(dòng)，如小組討論、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模等，全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識(shí)的同時(shí)，數(shù)學(xué)思維和能力得到全面提升。6.2實(shí)踐策略6.2.1教學(xué)設(shè)計(jì)案例展示以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”教學(xué)為例，在新教材的教學(xué)實(shí)踐中，可設(shè)計(jì)如下教學(xué)過(guò)程。首先，通過(guò)多媒體展示生活中的一些具有對(duì)稱(chēng)性的圖案，如雪花、蝴蝶翅膀等，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察這些圖案的對(duì)稱(chēng)性，提問(wèn)學(xué)生：在數(shù)學(xué)中，我們是否也能找到類(lèi)似的對(duì)稱(chēng)關(guān)系呢？從而引出本節(jié)課的主題——探究三角函數(shù)中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系與誘導(dǎo)公式。接著，讓學(xué)生在單位圓中畫(huà)出一些特殊角，如\frac{\pi}{6}，\frac{\pi}{3}，\frac{\pi}{2}等，以及它們關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的角，觀(guān)察這些角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)變化。在學(xué)生觀(guān)察后，組織小組討論，讓學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的單位圓定義，分析這些對(duì)稱(chēng)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。在小組討論中，教師巡視各小組，參與學(xué)生的討論，適時(shí)給予引導(dǎo)和啟發(fā)。然后，引導(dǎo)學(xué)生從特殊角推廣到一般角，探究任意角\alpha與\alpha+\pi，\alpha-\pi，-\alpha，\pi-\alpha等角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，通過(guò)對(duì)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的分析，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式。在推導(dǎo)過(guò)程中，教師通過(guò)提問(wèn)、引導(dǎo)學(xué)生思考等方式，讓學(xué)生逐步理解推導(dǎo)的思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。例如，教師可以提問(wèn)：當(dāng)角\alpha的終邊繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)\pi后，終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)發(fā)生怎樣的變化？根據(jù)三角函數(shù)的定義，此時(shí)三角函數(shù)值又會(huì)如何變化？之后，通過(guò)例題和練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)