高等代數(shù)課件：正交化

第二節(jié)正交化12標(biāo)準(zhǔn)正交基施密特正交化方法設(shè)Ｖ為歐氏空間，非零向量1、正交向量組如果它們兩兩正交，則稱之為正交向量組（orthononalvectors）.一、標(biāo)準(zhǔn)正交基證：設(shè)非零向量?jī)蓛烧?令則由知故線性無(wú)關(guān).1）

正交向量組必是線性無(wú)關(guān)向量組.注意1、正交向量組一、標(biāo)準(zhǔn)正交基3.

維歐氏空間中正交向量組所含向量個(gè)數(shù)2.

歐氏空間中線性無(wú)關(guān)向量組未必是正交向量組．例如：中線性無(wú)關(guān)．但不是正交向量組.1、正交向量組一、標(biāo)準(zhǔn)正交基維歐氏空間中，由個(gè)向量構(gòu)成的正交向量組稱為正交基（orthogonalbasis）；2、標(biāo)準(zhǔn)正交基由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基（normalorthogonalbasis）.

注意1.由正交基的每個(gè)向量單位化，可得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.一、標(biāo)準(zhǔn)正交基2.維歐氏空間V中的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基3.維歐氏空間V中的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)其度量矩陣

①

2、標(biāo)準(zhǔn)正交基一、標(biāo)準(zhǔn)正交基4.維歐氏空間V中標(biāo)準(zhǔn)正交基的作用:設(shè)為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則1)設(shè)由①，有②2、標(biāo)準(zhǔn)正交基一、標(biāo)準(zhǔn)正交基2)

③這里

3)2、標(biāo)準(zhǔn)正交基一、標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)與是維歐氏空間V中的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們之間過(guò)渡矩陣是

即

3、標(biāo)準(zhǔn)正交基間的基變換或由于是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以一、標(biāo)準(zhǔn)正交基

由公式③，有把A按列分塊為所以3、標(biāo)準(zhǔn)正交基間的基變換一、標(biāo)準(zhǔn)正交基（1）由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是正交矩陣.注意：（2）設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)正交基，A為正交矩陣，若

則也是標(biāo)準(zhǔn)正交基.

（3）為正交矩陣A的列向量組是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基.（4）為正交矩陣A的行向量組是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基.3、標(biāo)準(zhǔn)正交基間的基變換一、標(biāo)準(zhǔn)正交基（定理1）

維歐氏空間中任一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基.二、施密特(Schmidt)正交變換法證：設(shè)歐氏空間Ｖ中的正交向量組，對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)時(shí),

就是一組正交基了.

假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即此時(shí)可找到向量

使成為一組正交基.現(xiàn)在來(lái)看的情形.所以必有向量不能被線性表示，因?yàn)樽飨蛄看ǎ畯恼幌蛄拷M的性質(zhì)知二、施密特(Schmidt)正交變換法于是取即為正交向量組．由歸納法假設(shè)知，對(duì)這個(gè)向量構(gòu)成的正交組可得可擴(kuò)充得正交基.定理得證．二、施密特(Schmidt)正交變換法都可找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基使（定理2）對(duì)于維歐氏空間中任一組基證：基本方法─逐個(gè)構(gòu)成出滿足要求的首先，可取

一般地，假定已求出是單位正交的，且

④

當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛卸?、施密?Schmidt)正交變換法由④知不能被線性表出．按定理1證明中的方法，作向量⑤

即則且

二、施密特(Schmidt)正交變換法再設(shè)

可知是單位正交向量組．從④和⑤知與

是等價(jià)向量組，因此，有由歸納原理，定理2得證.二、施密特(Schmidt)正交變換法則過(guò)渡矩陣是上三角形（即） 注意且

1）

由知，若二、施密特(Schmidt)正交變換法

2）

Schmidt正交化過(guò)程:化成正交向量組先把線性無(wú)關(guān)的向量組再單位化得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組二、施密特(Schmidt)正交變換法例1