高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步第48講空間幾何體的表面積與體積

第48講空間幾何體表面積與體積考試要求1.空間幾何體表面積(A級(jí)要求)，體積(A級(jí)要求)；2.高考對(duì)本講內(nèi)容考查以填空題為主.應(yīng)關(guān)注空間幾何體表面積、體積計(jì)算問(wèn)題.1/371.思索辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形幾何體是棱柱.(

)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形幾何體是棱錐.(

)(3)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是矩形.(

)(4)臺(tái)體體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體體積之差.(

)診

斷

自

測(cè)2/37解析如圖中幾何體有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，但不滿(mǎn)足“每相鄰兩個(gè)側(cè)面公共邊相互平行”，所以它不是棱柱，故(1)錯(cuò)；(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)三角形幾何體是棱錐，故(2)錯(cuò).答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√3/374/373.(·天津卷)已知一個(gè)正方體全部頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體表面積為18，則這個(gè)球體積為_(kāi)_______.5/376/375.(·全國(guó)Ⅲ卷)已知圓柱高為1，它兩個(gè)底面圓周在直徑為2同一個(gè)球球面上，則該圓柱體積為_(kāi)_______.7/376.將邊長(zhǎng)為a正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐D－ABC體積為_(kāi)_______.8/371.多面體結(jié)構(gòu)特征知

識(shí)

梳

理相互平行全等公共頂點(diǎn)平行于底面相同9/372.旋轉(zhuǎn)體形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形________所在直線圓錐直角三角形____________所在直線圓臺(tái)直角梯形______________所在直線球半圓______所在直線任一邊任一直角邊垂直于底邊腰直徑10/373.柱、錐、臺(tái)和球表面積和體積Sh4πR211/374.慣用結(jié)論12/3713/37考點(diǎn)一空間幾何體結(jié)構(gòu)特征【例1】

給出以下命題：①棱柱側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形四面體；④棱臺(tái)側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).其中正確命題序號(hào)是________.14/37解析①不正確，依據(jù)棱柱定義，棱柱各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱截面交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)概念可知.答案②③④15/37規(guī)律方法(1)處理本類(lèi)題目標(biāo)關(guān)鍵是準(zhǔn)確了解幾何體定義，真正把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，能夠依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.(2)處理本類(lèi)題目標(biāo)技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是慣用幾何模型，有些問(wèn)題能夠利用它們舉特例處理或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類(lèi)命題進(jìn)行辨析.16/37【訓(xùn)練1】(1)以下命題：①以直角三角形一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.17/37(2)給出以下四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形幾何體是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形直四棱柱是長(zhǎng)方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直棱柱是正棱柱.其中不正確命題為_(kāi)_______(填序號(hào)).18/37解析(1)命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形斜邊，則得不到圓錐；命題②錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底腰；命題③對(duì)；命題④錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面平面截圓錐才能夠，故正確命題個(gè)數(shù)為1.19/37(2)對(duì)于①，平行六面體兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明(如圖)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；④由線面垂直判定，側(cè)棱垂直于底面，故④正確.綜上，命題①②③不正確.答案(1)1

(2)①②③20/37考點(diǎn)二求空間幾何體表面積(2)(·蘇州模擬)如圖，斜三棱柱ABC－A′B′C′中，底面是邊長(zhǎng)為a正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB與AC都成45°角，求此斜三棱柱表面積.21/37(1)解析由題意知該六棱錐為正六棱錐，∴設(shè)正六棱錐高為h，側(cè)面斜高為h′.22/37(2)解如圖，過(guò)A′作A′D⊥平面ABC于D，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連接A′E，A′F，AD.則由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′，又由題意知A′E⊥AB，A′F⊥AC，得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，∴四邊形BCC′B′是矩形，23/3724/37規(guī)律方法

(1)處理組合體問(wèn)題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成以及這些簡(jiǎn)單幾何體組合情況.(2)在求多面體側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體表面積應(yīng)注意重合部分處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓面積之和.25/37(1)求三棱臺(tái)斜高；(2)求三棱臺(tái)側(cè)面積和表面積.解(1)設(shè)O1、O分別為正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1上、下底面正三角形中心，26/37在Rt△D1DE中，(2)設(shè)c、c′分別為上、下底周長(zhǎng)，h′為斜高，27/3728/37考點(diǎn)三空間幾何體體積【例3】(1)(·江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作底面半徑為5，高為4圓錐和底面半徑為2，高為8圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同新圓錐和圓柱各一個(gè)，則新底面半徑為_(kāi)_______．(2)(·鹽城模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2cm，E為C1D1中點(diǎn)，則三棱錐EA1BC體積為_(kāi)_______cm3.29/3730/37規(guī)律方法

空間幾何體體積問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)若所給定幾何體是可直接用公式求解柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定幾何體體積不能直接利用公式得出，則慣用換底法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．31/37【訓(xùn)練3】

如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體體積為_(kāi)_______.32/37解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，33/37考點(diǎn)四與球相關(guān)問(wèn)題【例4】

(·揚(yáng)州模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C16個(gè)頂點(diǎn)都在球O球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O半徑為_(kāi)_______.解析如圖所表示，由球心作平面ABC垂線，則垂足為BC中點(diǎn)M.34/37規(guī)律方法

空間幾何體與球接、切問(wèn)題求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問(wèn)題時(shí)，普通過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g關(guān)系求解.(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C組成三條線段PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，普通