廣東高數(shù)插本試題及答案

廣東高數(shù)插本試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f'(1)\)等于：

A.0

B.1

C.-1

D.3

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\)等于：

A.1

B.2

C.0

D.無窮大

3.已知\(\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}\)，則\(\int_0^1(x^2+1)\,dx\)等于：

A.1

B.\(\frac{4}{3}\)

C.\(\frac{2}{3}\)

D.\(\frac{5}{3}\)

4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)必然是：

A.非零矩陣

B.零矩陣

C.可逆矩陣

D.對角矩陣

5.設(shè)\(y=e^x\)，則\(\frac{dy}{dx}\)等于：

A.\(e^x\)

B.\(e^x\cdotx\)

C.\(e^x\cdot(1+x)\)

D.\(e^x\cdot(1-x)\)

6.若\(\sinx+\cosx=1\)，則\(\sin2x\)等于：

A.1

B.0

C.-1

D.無解

7.設(shè)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)等于：

A.無窮大

B.0

C.-1

D.1

8.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x-1}=\infty\)，則\(x\)的取值范圍是：

A.\(x>1\)

B.\(x<1\)

C.\(x>0\)

D.\(x<0\)

9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A\)的行列式\(\det(A)=0\)，則\(A\)必然是：

A.可逆矩陣

B.非零矩陣

C.零矩陣

D.對角矩陣

10.若\(y=\lnx\)，則\(\frac{dy}{dx}\)等于：

A.\(\frac{1}{x}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(x\)

D.\(x^2\)

二、填空題（每題3分，共15分）

1.設(shè)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f'(x)\)的表達(dá)式為_______。

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}\)等于_______。

3.設(shè)\(\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}\)，則\(\int_0^1(x^2+1)\,dx\)的值為_______。

4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)必然是_______。

5.設(shè)\(y=e^x\)，則\(\frac{dy}{dx}\)的值為_______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)。

2.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)。

3.求定積分\(\int_0^1(x^2+1)\,dx\)。

四、證明題（每題10分，共10分）

1.證明：若\(a>b>0\)，則\(a^2>b^2\)。

五、應(yīng)用題（每題10分，共10分）

1.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)在區(qū)間\([1,2]\)上的最大值和最小值。

六、綜合題（每題10分，共10分）

1.設(shè)\(A\)是\(3\times3\)矩陣，且\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的行列式\(\det(A)\)。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，\(f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^3-3(1+h)-(1^3-3\cdot1)}{h}=1\)。

2.B。由三角恒等式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，代入極限得\(\lim_{x\to0}\frac{2\sinx\cosx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\lim_{x\to0}\cosx=1\cdot1=1\)。

3.B。由定積分的性質(zhì)，\(\int_0^1(x^2+1)\,dx=\int_0^1x^2\,dx+\int_0^11\,dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\)。

4.A。由矩陣的性質(zhì)，若\(A^2=A\)，則\(A\)是非零矩陣，因?yàn)閈(A^2=A\)意味著\(A\)的每個(gè)元素都不為零。

5.A。根據(jù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，\(\frac{dy}{dx}=\fracx3bxj71{dx}e^x=e^x\)。

6.B。由三角恒等式\(\sin^2x+\cos^2x=1\)，代入得\(\sin^2x=1-\cos^2x\)，因?yàn)閈(\sinx+\cosx=1\)，所以\(\sinx=1-\cosx\)，代入\(\sin^2x\)的表達(dá)式得\(\sin^2x=1-(1-\sinx)^2\)，解得\(\sinx=\frac{1}{2}\)，所以\(\sin2x=2\sinx\cosx=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

7.A。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，\(\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{0+h}-\frac{1}{0}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{0+h}=\infty\)。

8.A。由極限的性質(zhì)，\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x-1}\cdot\frac{1}{x^2-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x^2-1}=1\)，所以\(x\)的取值范圍是\(x>1\)。

9.C。由矩陣的性質(zhì)，若\(\det(A)=0\)，則\(A\)是零矩陣，因?yàn)樾辛惺綖榱阋馕吨仃嚨男邢蛄烤€性相關(guān)。

10.A。根據(jù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，\(\frac{dy}{dx}=\frac3rpdpfl{dx}\lnx=\frac{1}{x}\)。

二、填空題答案及解析：

1.\(f'(x)=3x^2-3\)。

2.\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sin^2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x}\cdot\frac{1+\sinx}{1+\sinx}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sin^2x}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot\sinx}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\sinx\cdot