上海市延安中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月練習(xí)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

延安中學(xué)高三數(shù)學(xué)練習(xí)試卷2025.02一．填空題1.已知向量，則的單位向量的坐標為___________．2.方程的解集為___________．3.已知球體積為，則球的表面積為___________．4.若數(shù)列滿足：，則的通項公式為___________．5.從二項式的展開式中隨機抽取一項，則該項的系數(shù)是奇數(shù)的概率為___________．6.平面直角坐標系中，點是直線上的動點，則的最小值為___________．7.已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直，則實數(shù)___________．8.已知甲罐中有個紅球、個黑球，乙罐中有個紅球、個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則__________．9.若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.10.已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為________.11.若不等式對任意恒成立，則實數(shù)m的值為___________12.在中,角所對的邊分別為且邊上的高為,則的最大值是_____________二．選擇題13.復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的一個充分條件為（）A. B. C. D.14.已知全集，集合，，則集合可表示為（）A B. C. D.15.已知隨機變量服從正態(tài)分布，下列四個命題中假命題是（）A.B.C.D16.數(shù)列中，若，，給出下列兩個命題：①若數(shù)列常數(shù)數(shù)列，則；②若不是整數(shù)，任取中的項、、、構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是嚴格增數(shù)列，或者是嚴格減數(shù)列．則（）A.①②都是真命題 B.①②都是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是真命題，②是假命題三．解答題17.已知圓柱的底面圓半徑為，上底面圓心為，正六邊形內(nèi)接于下底面圓．與母線所成角為．（1）已知，求圓柱的側(cè)面積；（2）若圓柱體積為，求點到平面距離．18.第二十二屆卡塔爾世界杯足球決賽中，阿根廷隊通過扣人心弦的點球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊，某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團，足球社團為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男、女同學(xué)各名進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如下表所示．喜歡足球不喜歡足球合計男生女生合計（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出、、、的值，并判斷是否有95%的把握認為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（附）（2）社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了名男生和名女生示范點球射門．已知男生進球的概率為，女生進球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨立，求人進球總次數(shù)的分布和數(shù)學(xué)期望．19.設(shè)x是實數(shù)，z是整數(shù)，若，則稱z是“在數(shù)軸上與x距離最近的整數(shù)”．（1）若數(shù)列的通項公式是，求證：數(shù)軸上與距離最近的整數(shù)是n；（2）若數(shù)列滿足：，當時，，若是在數(shù)軸上與距離最近的整數(shù)，求數(shù)列的前n項和．20.平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為．（1）求的方程；（2）若直線與有兩個公共點、，動點滿足，求點的軌跡方程；（3）若直線與只有一個公共點，且直線與的兩條漸近線分別交于、兩點，則的面積是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．21.已知，函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使得與有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；（3）已知，直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為，證明：．

延安中學(xué)高三數(shù)學(xué)練習(xí)試卷2025.02一．填空題1.已知向量，則的單位向量的坐標為___________．【答案】【解析】【分析】求出，可得出的單位向量為，求其坐標即可.【詳解】因為，則，所以，的單位向量的坐標為.故答案為：.2.方程的解集為___________．【答案】【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)解方程即可.【詳解】由可得，解得，因此，方程的解集為.故答案為：.3.已知球的體積為，則球的表面積為___________．【答案】【解析】【分析】求出球的半徑長，利用球體的表面積公式可求得球的表面積.【詳解】設(shè)球的半徑長為，則該球的體積為，解得，所以，球的表面積為.故答案為：.4.若數(shù)列滿足：，則的通項公式為___________．【答案】【解析】【分析】通過遞推關(guān)系式可變形為，可得是一個常數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系（），且和，遞推式可變形為，則是一個常數(shù)列，即.所以數(shù)列是一個等差數(shù)列，，因此通項公式為.故答案為：.5.從二項式的展開式中隨機抽取一項，則該項的系數(shù)是奇數(shù)的概率為___________．【答案】【解析】【分析】寫出二項展開式，確定系數(shù)為奇數(shù)的項數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】，展開式共項，其中有項的系數(shù)為奇數(shù)，故所求概率為.故答案為：.6.平面直角坐標系中，點是直線上的動點，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】當與直線垂直時，點與動點P之間距離|AP|有最小值，通過計算點A到直線的距離即可求解.【詳解】已知直線方程為，點，根據(jù)點到直線的距離公式，代入得到：因此，點到直線的最短距離即|AP|的最小值為.故答案為：.7.已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直，則實數(shù)___________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求出的值．【詳解】由，得，因為函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則．故答案為：18.已知甲罐中有個紅球、個黑球，乙罐中有個紅球、個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則__________．【答案】##【解析】【分析】由題意可求，，再根據(jù)條件概率計算公式求解即可．【詳解】因為甲罐中有個紅球、個黑球，所以，因為，所以．故答案為：．9.若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對值三角不等式得到，即可得到，解得即可.【詳解】因為，當且僅當時取等號，因為不等式恒成立，所以，即或，解得或，即.

故答案為：10.已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)焦半徑公式得到的關(guān)系，然后根據(jù)弦長公式求解出，結(jié)合兩點間斜率公式以及點在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.【詳解】設(shè)，因為，所以，所以，又因為，所以，因為都在第一象限，所以，又因為且，所以，所以，所以拋物線方程為，故答案為：.11.若不等式對任意恒成立，則實數(shù)m值為___________【答案】##【解析】【分析】通過二次函數(shù)的性質(zhì)和方程的根，列出不等式求出結(jié)果.【詳解】解：若，則當趨于時，趨于，不滿足題意；當時，是方程的一個根，不等式對任意恒成立，且方程的兩根不相等，所以是方程的根，，，得，此時原不等式等價于，顯然時恒成立，實數(shù)m的值為，故答案為：．12.在中,角所對的邊分別為且邊上的高為,則的最大值是_____________【答案】4【解析】【分析】由面積公式可得，再用余弦定理可得，即得出結(jié)果.【詳解】由題，三角形的面積：由余弦定理：可得：所以所以的最大值為4故答案為4【點睛】本題考查了正余弦定理解三角形，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.二．選擇題13.復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的一個充分條件為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題可根據(jù)純虛數(shù)的定義以及各選項所給條件逐一分析判斷.【詳解】若，設(shè)，則，由可得，即，所以，此時為實數(shù)，不是純虛數(shù)，所以選項A錯誤；若，設(shè)，則，解得，此時，當時，不是純虛數(shù)，所以選項B錯誤；若，設(shè)，則，，由可得，兩邊同時平方得，展開可得，化簡得，即，當時，不是純虛數(shù)，所以選項C錯誤；若，設(shè)，則，，，表示復(fù)平面上點到點和點的距離之和為2，而點和點之間的距離為，所以點在線段上，即且，滿足且，所以是純虛數(shù)，反之，若是純虛數(shù)，設(shè)，則，當時，，所以是復(fù)數(shù)是純虛數(shù)一個充分條件，選項D正確.故選：D.14.已知全集，集合，，則集合可表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的橫坐標的取值范圍、分式不等式和絕對值不等式可分別求出集合，再利用集合的交集運算進行驗證即可.【詳解】解：集合M表示為橢圓上點的橫坐標的取值范圍，，即且，解得：，所以集合，則或，而，則有，解得；所以集合,所以.故選：B.15.已知隨機變量服從正態(tài)分布，下列四個命題中假命題是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，因為，所以，，A對；對于B選項，由正態(tài)密度曲線的對稱性可得，B對；對于C選項，由正態(tài)密度曲線的對稱性可得，C對；對于D選項，因為正態(tài)分布密度曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的特點，，D錯.故選：D.16.數(shù)列中，若，，給出下列兩個命題：①若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則；②若不是整數(shù)，任取中的項、、、構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是嚴格增數(shù)列，或者是嚴格減數(shù)列．則（）A.①②都是真命題 B.①②都是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是真命題，②是假命題【答案】C【解析】【分析】對①，由數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解方程可得的值；對②，由，判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【詳解】數(shù)列中，若，，，①若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：解方程，結(jié)合圖形可得或，故①不正確；②若，任取中的項、、、構(gòu)成數(shù)列，由，可得，為奇函數(shù)，當時，，因為，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為f'0=所以，存在唯一的，使得，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為，故當時，，即sinπx2>x即當時，則，a2=sinπ2，且a3=sinπa以此類推可知，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，由于、、、，即數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列；由于函數(shù)為奇函數(shù)，則當時，，即，故當時，，，且，，，且，，以此類推可知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由于、、、，即數(shù)列為嚴格遞減數(shù)列；若且時，則，若，由上可知，數(shù)列從第二項開始單調(diào)遞減，由于、、、，即數(shù)列為嚴格遞減數(shù)列；若，由上可知，數(shù)列從第二項開始單調(diào)遞增，由于、、、，即數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列.綜上所述，若不是整數(shù)，任取中的項、、、構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是嚴格增數(shù)列，或者是嚴格減數(shù)列，故②正確.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于分析出、時，數(shù)列的單調(diào)性，然后對的取值進行分類討論，分析即可.三．解答題17.已知圓柱的底面圓半徑為，上底面圓心為，正六邊形內(nèi)接于下底面圓．與母線所成角為．（1）已知，求圓柱的側(cè)面積；（2）若圓柱體積為，求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，與母線所成的角等于，求出的長，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式可求得；（2）取的中點，連接，分析可得，利用圓柱的體積可求得的值，再利用等體積法求解即可.【小問1詳解】連接，如圖所示：由題意可知，與母線所成的角等于，因為底面，平面，則，所以，，則，所以，該圓柱的側(cè)面積為.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，該圓柱的體積為，解得，取的中點，連接，由正六邊形的幾何性質(zhì)可得，，，所以，，故，，，則，所以，，，易知，因為為的中點，則，且，，設(shè)點到平面的距離為，則，解得.18.第二十二屆卡塔爾世界杯足球決賽中，阿根廷隊通過扣人心弦的點球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊，某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團，足球社團為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男、女同學(xué)各名進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如下表所示．喜歡足球不喜歡足球合計男生女生合計（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出、、、的值，并判斷是否有95%的把握認為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（附）（2）社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了名男生和名女生示范點球射門．已知男生進球的概率為，女生進球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨立，求人進球總次數(shù)的分布和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），，、，有關(guān)（2）分布列見解析，期望【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表可得出、、、的值，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）由題意可知，人進球總次數(shù)的所有可能取值為、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【小問1詳解】由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，，，所以，χ2故有的把握認為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).【小問2詳解】人進球總次數(shù)的所有可能取值為、、、，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：數(shù)學(xué)期望．19.設(shè)x是實數(shù)，z是整數(shù)，若，則稱z是“在數(shù)軸上與x距離最近的整數(shù)”．（1）若數(shù)列的通項公式是，求證：數(shù)軸上與距離最近的整數(shù)是n；（2）若數(shù)列滿足：，當時，，若是在數(shù)軸上與距離最近的整數(shù)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的性質(zhì)和實數(shù)與最近整數(shù)的概念即可證明；（2）通過化簡可先求出數(shù)列的通項公式，從而可得，再求出的前n項和即可.【小問1詳解】距離最近的整數(shù)是n，由，我們需要證明，觀察到，而，即，這表明確實位于和之間，，由于，分子為n，分母為一個大于2n的正數(shù)，因此，即證明了在數(shù)軸上與n的距離最近.【小問2詳解】對于，有，因為，，此時，，所以，又，所以，所以；【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于理解實數(shù)與整數(shù)之間的“最近”概念，以及如何利用代數(shù)技巧來簡化復(fù)雜的表達式。在求解數(shù)列問題時，分解因子、重寫表達式和尋找規(guī)律是常用策略。20.平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為．（1）求的方程；（2）若直線與有兩個公共點、，動點滿足，求點的軌跡方程；（3）若直線與只有一個公共點，且直線與的兩條漸近線分別交于、兩點，則的面積是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】（1）（2）（或）；（3），定值為【解析】【分析】（1）利用雙曲線的離心率公式可求出的值，由此可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點、、，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達定理，由求出的取值范圍，利用平面向量的坐標運算化簡可得出點的軌跡方程；（3）先證明出雙曲線在點處的切線方程為，設(shè)點、，將切線方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】因為，解得，因此，雙曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)點、、，聯(lián)立可得，則Δ=16b2解得或，由韋達定理可得，，則，因為，即，則，，因此點的軌跡方程為（或x>463）【小問3詳解】設(shè)直線與的切點的為，其中，先證明出雙曲線在點處切線方程為，聯(lián)立得，整理可得，則，所以，雙曲線在點處的切線方程為，設(shè)點、，雙曲線的漸近線方程可寫為，聯(lián)立可得，由韋達定理可得，易知雙曲線的漸近線為，，易知，所以，為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21