6類圓錐曲線離心率問題解題技巧（定義法、焦點三角形、斜率乘積、定比分點、余弦定理、齊次方程求離心率）-高考數(shù)學必考模型歸納

題型236類圓錐曲線離心率問題解題技巧

（定義法、焦點三角形、斜率乘積、定比分點、余弦定理、齊次方程

求離心率）

技法01橢圓、雙曲線中的定義法求離心率

技法02焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率

技法03斜率乘積求橢圓、雙曲線的離心率

技法04定比分點求橢圓、雙曲線的離心率

技法05余弦定理求橢圓、雙曲線的離心率

技法06構造齊次方程求橢圓、雙曲線的離心率

技法01橢圓、雙曲線中的定義法求離心率

喟?常見題型解讀

定義法求離心率是最本質和常規(guī)的方法，也是新高考卷的?？純热荩话阋詸E圓或雙曲線為載體在小題

中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習

知識遷移橢圓公式1：e=',公式2：變形e=Jl—￡，雙曲線公式l：e=',公式2:e=Jl+理

aVa-a\a2

02

跟我學?解題思維司晰

22

例1-1.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓E:3+當=l（a>6>0）的長軸長是短軸長的2倍，則E的

ab

離心率為（）

技巧點撥o

b1J3

2a=4b,所以一=7=

a2~2

22

例12（2023?江蘇模擬）已知雙曲線C蘇r-v%=l（a>08>0）的一條漸近線方程為2x-y=0,則雙曲線C的

離心率為（）

A.2B.&C.6D.y/5

解題

技巧點撥

唁磊而?知識遷移強化

22

1.（2023?新疆喀什??？寄M預測）已知橢圓C：a+方=1（。>6>0）的右焦點為尸（2,0）,尸為橢圓的左

頂點，且上刊=5,則C的離心率為（）

21-21

A.-B.-C.—D.-

3253

2.（2023?內蒙古呼和浩特?統(tǒng)考二模）一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率為.

22

3.（2023?河南?馬店第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：j一七=l（b>0）,其右焦點到漸近線

16b

的距離為2,則該雙曲線的離心率為.

4.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考二模）已知橢圓C:J+，=l（a>6>0）經過點（2,0）和，,則橢圓C的離心率

為.

技法02焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率

叫?常見題型解讀

焦點三角形中求離心率方法較多，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，難度較小，需強化練習

知識遷移

已知棚圓方程為j+與=1（?！?。〉0）,兩焦點分別為

ab

設焦點三角形尸石鳥中,g=a,NP囂耳=夕,則橢圓的離心率0=sin（°+￡）

sinor+sin/?

公式3：已知雙曲線方程為2r=1（。〉0/〉0）兩焦點分別為耳,工，設焦點三角形尸片耳中,/產￡8=

ab

a,NP馬耳=,，則e=sin(a+0

\sma-smp\

02

跟我學?解題思維吾l析

22

例2.（全國?高考真題）設橢圓C：=+27=1（°”>0）的左、右焦點分別為不F,P是C上的點，PF

a~b~22

SF1F2,

13Pl&=30,則C的離心率為

1

B.一D.顯

33

技巧點撥o

V3m_6

【法一】離心率e=—=

2aPF'+PF?2m+m3

【法二］e=*當

計算即可

sina+smp

唁4人知識遷移強化

1.已知￡、B是橢圓C的兩個焦點,P是。上的一點，若，「月，且NP月月=60°,則c的離心率為（）

A.1-—B.2—百C,^—1D.V3-1

22

2.（全國?高考真題）設ABC是等腰三角形，ZABC=120°,則以A,5為焦點，且過點C的雙曲線的離

心率為（）

A.1+—B.C.1+72D.1+73

22

22

3.（2023?北京?首都師范大學附屬中學?？寄M預測）已知耳（-的0）,8（。,0）分別是雙曲線C：1=1

ab

jr

（a>0,b>0）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，尸耳，尸工且/P乙片=g,那么雙曲線C的離心率為

（）

A.圣B.GC.2D.73+1

22

4.（天津紅橋?高二統(tǒng)考期末）已知B,尸2是雙曲線二-2=1（a>0,b>0）的兩個焦點，以線段為

ab

邊作正三角形MSB,若線段MB的中點在此雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

A.Q+1B.4+2石

cD.百一1

*2

技法03斜率乘積求橢圓、雙曲線的離心率

?常見題型解讀

已知斜率乘積求離心率是新高考卷的?？純热?，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在

大題中命題，需重點強化練習

02

跟我學?解題思維剖析

（2023?吉林?高三階段練習）己知雙曲線J-2=l（a>0,b>0）的兩個頂點分別為A,3,點尸為雙曲線

例3.

上除A,6外任意一點，且點尸與點A,B連線的斜率分別為4、k2,若k屁=5,則雙曲線的離心率

為

A.726B.76C.2A/3D.2.v/2

技巧點撥

kPQkPF=^=5,求解即可

吃篇E?知識遷移強化

丫2v2

1.（2022秋?吉林長春?高二長春外國語學校?？计谀┮阎p曲線1r-/=1（。>0,%>0）的兩個頂點分別為A、

8,點P為雙曲線上除A、8外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為若匕出=3,則雙曲線的

離心率為（）

A.-y/2B.s/3C.2D.3

22

2.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學?？寄M預測）橢圓C：T+2=l（a>6>0）的左頂點為A,點尸，Q

ab

均在C上，且關于y軸對稱.若直線AP,4Q的斜率之積為:，則C的離心率為（）

/\_____I'—]

22

3.（2022?全國?高三專題練習）過點作斜率為2的直線與橢圓C：ab~[a>b>0）相交于A

識高考?常見題型解讀

已知定比分點求離心率是新高考卷的常考內容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在

大題中命題，需重點強化練習

知識遷移

點尸是橢圓的焦點，過產的弦A5與橢圓焦點所在軸的夾角為，,8e0,一7T次為直線A3的斜率，且.

2

AF=2FB(2>0)，則e=J1+F上1

2+1

當曲線焦點在y軸上時,e=Jl+g￡j

、、cAFfcBF壬丁1AF.BF

注：丸二---或者A=------而不7E-----或---

BFAFABAB

jr

點尸是雙曲線焦點，過產弦A3與雙曲線焦點所在軸夾角為&8e0,—,左為直線A3斜率，AF

2

2-1，當曲線焦點在y軸上時,e=Jl+g霹

=2FB(2>0)，則e=,1+/

1+1

注:2=竺或者2=變而不是”或更

BFAFABAB

02

跟我學?解題思維剖析

例4.(全國,高考真題)已知雙曲線C:r￡=l(a>0,b>0)的右焦點為F且斜率為目的直線交C于A、

a2b2

B兩點，若赤=4礪，則C的離心率為

678

A.-B.一C.一D

555-1

技巧點撥o

圖計算即可

r你來練?知識遷移強化

1.（2022?全國?高三專題練習）已知F為橢圓C的一個焦點，8是短軸的一個端點，線段的延長線交橢

圓C于點。，且BF=2ED，則橢圓的離心率為（）

A.-B.—C.6D.—

3372

2.（全國?高考真題）己知橢圓。:=+4=1（°>6>0）的離心率為且，過右焦點p且斜率為左伏>0）的直線

a-b2

與C相交于AB兩點.若AP=3P8，貝!U=

A.1B.72C.6D.2

22

3.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）已知耳工分別是橢圓C：T+2=l（a>6>0）的左、右焦點，M是C上一

ab

點且必與X軸垂直，直線加耳與C的另一個交點為N,若MF[=3F[N,則C的離心率為（）

技法05余弦定理求橢圓、雙曲線的離心率

喟3?常見題型解讀

用余弦定理求離心率是新高考卷的?？純热荩话阋詸E圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大

題中命題，需重點強化練習

02

跟我學?解題思維剖析

22

例5.（2023?福建寧德??？级＃┮阎p曲線C:，年=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳、F2,過F2的

直線/交雙曲線的右支于A、8兩點.點〃滿足AB+A￡=2AM,且尸i=0，者cosZA￡2=；,則

雙曲線的離心率是（）

A.或B.bC.—D.—

233

技巧點撥o

【詳解】如下圖所示，取線段的中點E,連接AE,

因為2AM.2巴=（+AB）.（A￡—砌=,耳『一網,=0,則M|=網，

因為E為8月的中點，則且NABG=/A43,

由雙曲線的定義可得2a=|M|TM|=|AB|-|”|=|即

所以，怛耳|=|明|+2a=4a,貝“明=|3|=2。，

由余弦定理可得由巴「=忸冗「+忸工「-2忸浦.忸K|cos/AB￡=16（z2+4a2-2x4ax2<zx!=^^,

所以，2c=、住7=2叵a,因此，該雙曲線的離心率為e=￡=叵.

V33a3

吃篇卜知識遷移強化

22

1.（2023?山東煙臺?校聯(lián)考三模）雙曲線C:方力=l（a>0,"0）的左、右焦點分別為耳（-。,0）,乙（。,0）,以C

22

1.（2023?全國?模擬預測）過坐標原點。的直線與橢圓點+%=1（。>6>0）交于A3兩點，設橢圓的右焦

點為八已知NAFB=60。，且2|/回=忸刊，則橢圓的離心率為（）

A.也B.也C.@D.五

3333

22

2.（2024?江西南昌?南昌二中校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓C*+方=l（a>b>0）的左右焦點分別為小匕

過F?的直線交橢圓C于A,8兩點，若|A￡|=3|A區(qū)|,點M滿足用0=3%,且則橢圓C的

離心率為（）

A.1B.BC.2D.邁

3333

22

3.（2023?四川成都?統(tǒng)考一模）已知圓。:/+>2_4括丫-4=0經過橢圓。:f+2=1（穌6>0）的兩個焦點

ab

F4圓C和橢圓O在第二象限的交點為、g?入百=166-24,則橢圓。的離心率為（）

技法06構造齊次方程求橢圓、雙曲線的離心率

喟1?常見題型解讀

構造其次方程求離心率是新高考卷的?？純热?，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在

大題中命題，需重點強化練習

02

跟我學?解題思維剖析

22

例6.（2023?山東?煙臺二中校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓C*+我=1（“>6>0）的左、右焦點分別為FltF2,

直線4過點耳且與橢圓C的長軸垂直，直線4過橢圓C的上頂點與右頂點且與乙交于點A,若04=208（。

為坐標原點），且忸￡|+忸8|=2距則橢圓C的離心率為（）.

?布-1n出+1ry/5—1n^5+1

2424

解題

【詳解】設橢圓的焦距為2c（c>0）,

則直線4：X=-C,直線4：二+；=1,

ab

x=—c

聯(lián)立3=1

解得＜(a+c]b，即A-c?——」

y=------Ia)

x--cla

因為04=205，故8.

I22一

因為忸制+忸閭=2a,所以點3在橢圓。上，

將5.［安改］代入橢圓的方程得e+（。+。『=1,即:+"2。：+/=］,

I22a）4/4a24/4"

即2/+2e-3=0,解得e=-1或6="-