2023-2024學年蘇科版八年級數(shù)學上冊復習專練：利用軸對稱的特性解決問題壓軸題四種模型（解析版）

專題05利用軸對稱的特性解決問題壓軸題四種模型全攻略

『匚【考點導航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【類型一幾何圖形中的最小值問題】.........................................................1

【類型二實際問題中的最短路徑問題】......................................................10

【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】....................................................16

【類型三一次函數(shù)中線段差最大值問題】....................................................25

【典型例題】

【類型一幾何圖形中的最小值問題】

例題：（2023秋?重慶南川?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AABC是等腰三角形，底邊3C的長為6,面積是30,腰

AC的垂直平分線E尸分別交AC、AB于點E、F.若點。為8C邊的中點，點M為線段所上一動點，則

VCDM周長的最小值是（）

A.11B.13C.18D.24

【答案】B

【分析】連接AD,AM,由"LBC是等腰三角形，點。是BC邊的中點，可得AD13C,再根據(jù)三角形的

面積公式求出AD的長，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD的長為CN+DM的最小值，由此即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：連接AD,AM,

D

回AABC是等腰三角形，點。是BC邊的中點，

0AD7BC,

回

S△/AuRjCc=2-BC-AD^2-x6xAD=30,

解得AD=10,

回EF是線段AC的垂直平分線，

0CM=AM

^CD+CM+DM=CD+AM+DM,

^AM+DM>AD,

EAD的長為CM+DM的最小值，

回VCDM周長的最小值為：AD+CD=AD+-BC=10+3=13,

2

故選：B.

【點睛】本題考查的是軸對稱一最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022春?七年級單元測試）如圖，AABC中，ZACB=90\AC=BC,AB=4,點E在3C上，且3E=2,

點尸在/ABC的平分線8。上運動，則PE+PC的長度最小值為（）

【答案】B

【分析】利用最短路徑直接將點對稱，然后連線求兩線段和的最小值即可.

【詳解】將E關于對稱至點E',連接CE',

回EP=PE',

^iPE+PC=PE'+PC,

回（PE+尸0mhi=CE',

0ZACB=90°,AC=BC,AB=4,且3E=2,

回廳是AB中點，

^\CE'=-AB=2.

2

0（PE+PC）.=2

\/min

【點睛】此題考查最短路徑，解題關鍵是將一個定點對稱，當三點共線時線段之和最短.

2.（2023秋?甘肅,八年級統(tǒng)考期末）如圖，408=15。，M是邊。4上的一個定點，且OM=12cm,N,P分

別是邊。4、上的動點，則PM+PN的最小值是

【答案】6cro/6厘米

【分析】作M關于。8的對稱點。，過。作QNLOA于N,交0B于P,則此時PM+PN的值最小，連接

OQ,得出NQOB=ZAO8=15。，OQ=QW=12cm,PM=PQ,ZQNO=90°,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求

出QN即可.

【詳解】作M關于。8的對稱點。，過。作QNLQ4于N,交0B于P,則此時PM+PN的值最小，連接

OQ,

貝l]NQOB=ZAO5=15°,OQ=OM=12cm,PM=PQ,NQNO=90°,

ZQON=30°,

SQN=^OQ=6,

PM+PN=PQ+PN=QN=6cm,

故答案為：6cm.

【點睛】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱一最短路徑問題，垂線段最短的應用，確定點

P、N的位置的解題的關鍵.

3.（2023春?福建漳州?七年級福建省漳州第一中學校考期末）如圖，在等邊三角形ABC中，AD1BC,垂

足是D且4）=5,點E,尸分別是線段AD,AC上的動點，則EC+E尸的最小值是.

【分析】根據(jù)等邊三角形的對稱性可得EC=￡B,根據(jù)垂線段最短即可求EC+￡F的最小值.

【詳解】解：由等邊三角形的對稱性可得EC=￡B

故EC+EF=EB+EF

過點8作3GLAC,如圖所示：

則（匹+EFL=BG

S4ABe=g*BCxAD=gxACxBG,AC=BC

,-.BG=AD=5

故答案為：5

【點睛】本題考查了等邊三角形的對稱性、"垂線段最短”等知識點.熟記相關結(jié)論是解題關鍵.

4.（2023春?廣東揭陽?七年級惠來縣第一中學?？计谀┤鐖D，在等腰41BC中，AB=AC,BC=1,作

A。13c于點O,AD=^AB,點E為AC邊上的中點，點尸為8C上一動點，則R4+PE的最小值為.

【答案】|7

【分析】作點A關于8C的對稱點A"延長AD至A,使AD=AO,連接AE,交BC于P,此時外+PE的

值最小，就是AE的長，證明AE=CD即可.

【詳解】解：作點A關于BC的對稱點A,延長AD至A，，使AD=A'O,連接AE,交BC于P,此時必+PE

的值最小，就是AE的長，

AB=AC,BC=1,ADJ.BC,

7

;.BD=CD=~,

2

?1-AD=-AB,

2

.?.4=30。，

:.ZBAD=ZCAD=60°,

AD=AD,

是等邊三角形，

???點E為AC邊上的中點，

.-.AE1AC,

77

:.A'E=CD=-,即上4+PE的最小值為5,

7

故答案為：—.

2

【點睛】本題考查了軸對稱，最短路徑問題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對

稱點，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運用.

5.(2023春?全國?七年級專題練習)如圖，等邊41BC(三邊相等,三個內(nèi)角都是60。的三角形)的邊長為10cm,

動點。和動點E同時出發(fā)，分別以每秒1cm的速度由A向8和由C向A運動，其中一個動點到終點時，另

一個也停止運動，設運動時間為f,0<r<10,DC和BE交于點?

AA

D/\/\￡

⑴在運動過程中，8與跖始終相等嗎？請說明理由；

(2)連接DE,求f為何值時，DE//BC；

(3)若于點M,點尸為BM上的點，且使尸￡>+尸石最短.當t=7時，尸￡>+尸石的最小值為多少？請

直接寫出這個最小值，無需說明理由.

【答案】⑴8與BE始終相等

(2)5

(3)7

【分析】(1)證明AAOC0ACEB(SAS)即可；

(2)根據(jù)DE〃3C,得至1」AD=AE,即r=10T,求出『即可；

(3)作。點關于2M的對稱點0c交8C于點〃，連接。上，交8M于點P,則DP+PE=DP+PE=DE,

證明ACD'E為等邊三角形，即可求ZXE的值.

【詳解】(1)解：由己知可得AD=t,EC—t,

團AD=CE,

回AABC是等邊三角形

團NA=NACB=60。，BC=AC,

團△ADC電△CE5(SAS),

田BE=CD,

團CD與班始終相等;

解：團AABC是等邊三角形

團NABC=NACB=60。，

國DE:〃BC,

:.ZADE=ZABC=ZAED=ZACB=60°f

^\AD=AE,

團AB=AC=10,

團”10T,

酎=5；

(3)0BM1AC,

團8M平分/ABC,

作。點關于5M的對稱點。C交5C于點?；B接。石，交剛/于點尸,

團。尸二。'尸，

當點D,P,E三點共線時，PD+尸石有最小值,

⑦DP+PE=DP+PE=DE,

回/=7,

^AE=BD=BD'=3,AD=CE=1,

EICD'=7,

又NC=60°,

EIACD'E為等邊三角形，

0D,E=CD,=7,

回尸口+尸石的最小值為7.

【點睛】本題考查動點及等邊三角形的性質(zhì)，利用軸對稱性確定線段=再由等邊三角形的性

質(zhì)求解。上的長是解題的關鍵.

6.（2023春?廣東佛山?八年級校考期中）如圖，已知AABC回ACZM,將AABC沿AC所在的直線折疊至VAB'C

的位置，點8的對應點為"，連結(jié)BE.

（備用圖1）（備用圖2）

⑴直接填空：*5與AC的位置關系是；

⑵點尸、0分別是線段AC、3C上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知△班'C的面積為36,BC=8,

求依+P。的最小值；

⑶試探索：AABC的內(nèi)角滿足什么條件時，AABE是直角三角形？

【答案】（1）23，AC

（2）9

（3）當NACB=45°時，ZAEB'=90°；當NABC=90°時，ZABrE=90°

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可判斷；

（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，在上取點“，使得CQ=CM,結(jié)合對稱性質(zhì)推出尸3+尸。=尸2+尸”，確定三

點共線且垂直于9C時，取得最小值，結(jié)合面積進行計算即可；

（3）分/AB'E=90。和ZAEB'=90。兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答.

【詳解】（1）解：回AABC沿AC所在的直線折疊至VAB'C的位置，點B的對應點為3',

SB'BLAC,

故答案為：B'BIAC；

（2）解：如圖所示，在"C上取點使得CQ=CM,連接尸”，

根據(jù)對稱的性質(zhì)，PQ=PM,

B'

^\PB+PQ=PB+PM,

要求PB+PQ的最小值，求PB+PM的最小值即可，

國當8、P、M三點共線，且時，PB+PM取得最小值,

此時=如圖所示，

團取得最小值時，BM±B'C,

即：36=—x8?BM,解得：BM=9,

回尸8+尸。的最小值為9；

(3)解：①當NACB=45。時，NAEB'=90。；

回由翻折變換的性質(zhì)可知，ZBCA=ZB'CA,

SZBCB'^90°,

SAABC^ACDA,

SZBCA=ZDAC,

HAD//BC,

^ZAEB'=ZBCB'=90°；

②由翻折的性質(zhì)，當NABC=90。時，ZAB'E=9Q°.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)等，熟

知折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等

是解題關鍵.

【類型二實際問題中的最短路徑問題】

例題：（2023春?廣東廣州?八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、2兩個村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B

兩村到河岸的距離分別為AC=2km,BD=5km,CD=6km,現(xiàn)在要在河岸CD上建一水廠E向A、B兩

村輸送自來水，要求水廠E到A、8兩村的距離之和最短.

B

A

clD

⑴在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值.

【答案】⑴見解析

（2）^5km

【分析】（1）延長AC,取A'C=AC,再連接A2,與8交于點E即可；

（2）作出以A3為斜邊的直角△ABb,求出直角邊，利用勾股定理求出結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖所示：點E即為水廠的位置；

(2)如圖，作出以A3為斜邊的直角

由(1)可知：AE=AE,

由題意可得：AC-2km,BD=5km,CD=6km,

ElAC=AC=2km,BF=5+2=7kni,A尸=CD=6km,

回水廠E到4、B兩村的距離之和的最小值為今八后不產(chǎn)二后小.

B

【點睛】本題考查了應用與設計作圖，勾股定理，主要利用軸對稱的性質(zhì)，找出點A關于8的對稱點是確

定建水廠位置的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春,八年級課時練習）如圖，A,8兩個村莊在河的同側(cè)，兩村莊的距離為。千米，Y=i3,它

們到河8的距離分別是1千米和3千米.為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河邊上修建

一水廠向A，B兩村輸送水.

⑴在圖上作出向A,B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置（只需作圖，不需要證明）

⑵經(jīng)預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這

項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元.

【答案】⑴見解析；

（2）50萬元.

【分析】（1）作點A關于直線CD的對稱點A,連接A3,交CD于M點,即M為所求；

（2）連接A'A交于H點，過點8作尸BLAH,根據(jù)勾股定理求出BP,AZ=5km即可得出答案.

【詳解】（1）解：如圖，作點A關于直線8的對稱點A，，連接A3,交CD于M點，即M為所求.

（2）解：如圖，連接A'A交8于8點，過點2作尸

由題意可知：AH=A'H=]km,PH=3km,AB-^km,

回上4=PH—AH=2km,F4'=PH+AH=4km

團在RSAPB中，BP=ylAB2-P^=713-22=3km>

3

團在RtZWPB中,A3=JA/?+PB?=J42+32=5km,

由對稱性質(zhì)可知：AM=AM,

水管長41/+BN=AM+=A3=5km,

完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為30+5*3+5=50(萬元)

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學生

的動手操作能力和計算能力.

2.(2021秋?江蘇蘇州?八年級校考階段練習)如圖，小區(qū)A與公路/的距離AC=200米，小區(qū)8與公路/的

距離80=400米，已知8=800米，

B

A

---------------------------------°—I

CD

⑴政府準備在公路邊建造一座公交站臺。，使。到A、8兩小區(qū)的路程相等，求C。的長；

(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P,使P到48兩小區(qū)的路程之和最短，求出+PB的最小值，并求CP的

長度.

【答案】⑴475米

(2)1000米，竿米

【分析】(1)根據(jù)勾股定理歹！I出方程2002+/=40。2+(800—尤)2,解方程即可；

(2)如圖，作點A關于直線/的對稱點A,連接AB,交直線/于點P.則AP=AP,AP+BP^A'P+BP,

以+PB的最小值為AB.

(1)

解：如圖1,

B

CQD

圖1

此時AQ=BQ.

設CQ=x,貝1」。。=800-尤，

02002+x2=4002+(800-%)2,

解得尤=475,

即CQ的長為475米；

⑵

解：如圖2,

作點A關于直線/的對稱點A,連接A8,交直線/于點P.

則AP=A'P,

AP+BP=A'P+BP,

PA+PB的最小值為18002+(400+200)2=1000米.

^AA!//BD,

CPA'C2001

PD~BD400-2'

CP1

團=—,

CD3

0CP=-CD=-x8OO=—（米），

333

即CP的長度為竿米.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，作圖-應用與設計作圖，坐標與圖形的性質(zhì)，確定出Q、尸的

位置是本題的關鍵.

3.(2023春?全國?七年級專題練習)問題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線/同旁有兩個定點A,B,

在直線/上是否存在點尸，使得R4+PB的值最??？

小明的解法如下：如圖，作點A關于直線/的對稱點A,連接A3,則與直線/的交點即為P,5.PA+PB

A'

問題提出:

⑴如圖，等腰的直角邊長為4,E是斜邊的中點，P是AC邊上的一動點，求PB+PE的最小

問題解決:

⑵如圖，為了解決A,8兩村的村民飲用水問題，A,2兩村計劃在一水渠上建造一個蓄水池從蓄水池

M處向A,B兩村引水，A,B兩村到河邊的距離分別為AC=3千米，3。=9千米，CD=9千米.若蓄水

池往兩村鋪設水管的工程費用為每千米15000元，請你在水渠CD上選擇蓄水池M的位置，使鋪設水管的

費用最少，并求出最少的鋪設水管的費用.

8村

4村

水渠

D

【答案】(1)2710

(2)最少的鋪設水管的費用是225000元

【分析】(1)作點B關于AC的對稱點玄，連接BE交AC于P,此時PB+尸"的值最小，連接A3先根據(jù)

勾股定理求出A3的長，再判斷出NW90。，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;

⑵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)確定水廠位置，作AELBD交8。的延長線于點E,根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出DE、A，E,

根據(jù)勾股定理求出43,得到9+P3,結(jié)合題意計算即可.

【詳解】（1）解：如圖，作點8關于AC的對稱點連接2Z交AC于尸，此時尸B+PE的值最小，連接AB.

因為等腰Rt^ABC的直角邊長為4,E是斜邊A3的中點，

所以AB，=AB=jAC2+3c2="2+42=4近，

AE=-AB=2y/2,

2

因為NB'AC=N54C=45。，所以N3'AB=90。，

所以PB+PE=fB，+PE=B'E=y/B'^+AE2=44何+（20=2M.

（2）如圖，延長AC到點A"使C4'=AC,連接RY交8于點點M即為所選擇的位置，過點A，作

A'E_L3D交3。的延長線于點E.

切/村

/

/

4村/

\/

\/

渠

---C---1--/-\ML_________方______7小k木

z__________J

ArE

在石中，5￡=9+3=12千米，AE=9千米，

所以43=4BE，+N笆=b+12?=15（千米），

所以最短路線A"+3M=A8=15（千米），

最少的鋪設水管的費用為15x15000=225000（元）.

答：最少的鋪設水管的費用是225000元.

【點睛】本題考查的是三角形綜合題，軸對稱最短路徑問題、勾股定理的應用，掌握軸對稱的概念和性質(zhì)、

兩點之間，線段最短的性質(zhì)是解題的關鍵.

【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】

例題：(2023春?山東德州?八年級?？茧A段練習)如圖，一次函數(shù)y=：x+2的圖象分別與無軸、y軸交于點

A、B,以線段A3為邊在第二象限內(nèi)作等腰RtA4SC,ZBAC=90°.(可能用到的公式：若

21

/(叼%),B(X2,%)，①AB中點坐標為(七三，產(chǎn))；②加

XAO\X

⑴求線段AB的長；

⑵過8、C兩點的直線對應的函數(shù)表達式.

(3)點。是BC中點，在直線AB上是否存在一點P,使得PC+PD有最小值？若存在，則求出此最小值；若

不存在，則說明理由.

【答案】(1)A3=26

(2)y=-；x+2

⑶存在，最小值是50

【分析】(1)求出點A、8的坐標，再根據(jù)勾股定理求解即可；

(2)先證明AACF名ABAO,得出點C坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(3)作點C關于A3的對稱點連接交直線A2于點P,則此時尸C+尸已有最小值，即為V。的長,

根據(jù)中點坐標公式分別求出點。、M的坐標，再根據(jù)兩點距離公式求解.

【詳解】(1)對于y=gx+2,令尤=0,則y=2,

令y=0,則;x+2=0,解得x=4

回A(yo),B(o,2),

0AB=A/22+42=2A/5；

(2)作CF_Lx軸于點E如圖，則NCE4=NAOB=90。,

團等腰RtAABC,ZBAC=90°,

團AC=AB,ZACF=900-ZCAF=ZBAO.

團△ACF/ABAO,

^\CF=OA=4,AF=BO=2,

團C(-6,4),

設直線BC的解析式為y=mx+n,

1

-f)m+n=4m=——

則,解得3,

n=2

n=2

(3)回。是3C中點,

回點。的坐標是(—3,3),

作點C關于AB的對稱點M,連接交直線A2于點P,則此時PC+PD有最小值，且

PC+PD=PD+PM=MD,BPPC+PD的最小值是MD的長，

BZCAB=90°,

0C,A、M三點共線，且A是CM中點，

設M(p，4),則段"=一4,歲=0,

解得0=-2應=-4,

EM(-2,-4),

^\MD=J(-2+3)2+(-4-3)2=50,

故PC+PD存在最小值，是5VL

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、利用軸對稱的性質(zhì)求線

段和的最小值以及兩點間的距離公式等知識，具有一定的綜合性，熟練掌握相關知識、明確求解的方法是

解題關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?河北石家莊?八年級石家莊市第四十一中學?？计谥校┮淮魏瘮?shù)好質(zhì)+。的圖像經(jīng)過兩點A（4,0）,

5（0,8）.點。（根,4）在這個函數(shù)圖像上

⑴求這個一次函數(shù)表達式；

（2）求機的值；

⑶點C為。4的中點，點P為上一動點，求尸C+尸。的最小值.

【答案】⑴y=2+8

（2）2

（3）4出

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）將。（加,4）代入一次函數(shù)解析式求解即可；

（3）作C與。關于直徑y(tǒng)軸對稱，連接CQ交y軸于P,則PC+尸。的最小值就是線C\D的長度，再求出

最小值即可.

【詳解】(1)將4(4,0),3(0,8)代入尸丘+b得,

4左+Z?=0k=-2

。，，解得

6=bb=8

回y=-2%+8；

(2)將。(機,4)代入y=-2尤+8得，4=-2??+8

解得m=2；

(3)解：如圖,

由平面坐標系中的對稱性可知，C與C，關于直徑y(tǒng)軸對稱，連接C'D交y軸于P,則尸C+PD的最小值就是

線C'D的長度，

團A(4,0),6(0,8),

0C(2,O),0(2,4),

回C與C'關于直徑y(tǒng)軸對稱,

回。'(-2,0),

^C'D=^42+42=4A/2，

0PC+PD的最小值為472，

故答案為：4A/2.

【點睛】此題是一次函數(shù)函數(shù)綜合題，主要考查了軸對稱性，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關鍵

是找到使距離之和最小時的點尸位置.

2.(2023春?湖南長沙?八年級校聯(lián)考期中)如圖，直線4經(jīng)過點A(4,0),與直線“：交于點

⑴求。的值和直線乙的解析式；

⑵直線1與y軸交于點c,求ABOC的面積；

⑶在y軸上是否存在點P,使得PB+叢的值最小，若存在，請求出尸3+上4的最小值，若不存在，請說明

理由.

41

【答案】⑴。=§,直線乙的解析式為y=-5工+2

⑶存在，M+PA的最小值為半

【分析】(1)由直線4：y=x經(jīng)過點即可求得〃=g，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線4的解析

式;

(2)由直線4的解析式求得點。的坐標，然后利用三角形面積公式求得即可；

(3)作點8關于y軸的對稱點-連接AB,交y軸于點尸，則此時尸3+R4的值最小，P3+R4的

最小值為A8',利用兩點之間的距離公式求解即可得.

【詳解】(1)解：點代入得：a=g,

設直線乙的解析式為，=履+方，

「44、慳+6=。L_1

將點A(4,0),代入得：i4k+b=4,解得2,

'「忖左+-3,=2

則直線乙的解析式為y=-；x+2.

(2)解：對于直線4：y=-;x+2,

當％=0時，＞=2,即C（0,2）,OC=2,

144

則^BOC的面積二—x2x—=—.

(3)解：存在，求解過程如下：

如圖，作點8關于y軸的對稱點連接AB,交y軸于點P,則此時P3+P4的值最小，PB+PA

的最小值為A9,

Q4(4,0),

.?.PB+F4的最小值為丈7.

3

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點，熟練掌握

待定系數(shù)法是解題的關鍵.

3.(2023春?重慶萬州?九年級重慶市萬州第一中學校聯(lián)考期中)如圖1,直線4：y=-；x+l與無軸，y軸分

別交于A,8兩點，直線4與無軸，，軸分別交于C,。兩點，兩直線相交于點P,已知點C的坐標為(-2,0),

⑴直接寫出點A、P的坐標，并求出直線4的函數(shù)表達式;

(2)如圖2,過點A作x軸的垂線，交直線4于點〃，點。是線段A"上的一動點，連接8,QC,當AQOC

的周長最小時，求點。的坐標和周長的最小值.

(3)在第(2)間的條件下，若點N是直線A〃上的一個動點，以D,Q,N三點為頂點的三角形是等腰三角

形，請直接寫出此時點N的坐標.

【答案】⑴A(4,0),尸1一$|］；>=》+2

⑵點。的坐標為周長的最小值20+4而，

⑶園或四小手)小手)

【分析】⑴對于仆=-%+1,令"?！蟪觥豢傻命cA的坐標，再把點P的橫坐標代入1-%+1,

求出尤的值即可得到點P的坐標，再運用待定系數(shù)法求出直線乙的解析式即可；

(2)先求出點D的坐標,再運用勾股定理求出CD=2母,過點D作AM的對稱點〃，得。'(8,2),連接。C,

交AM于占由兩點之間，線段最短可知OQ+C。的最小值為DC的長，從而可得ACDQ周長的最小值，

再運用待定系數(shù)法求出直線。'。的解析式，進一步可得出點。的坐標；

(3)設N(4j),分別求出￡>N、QN、。。的長，再分DN=QN,DN=DQ,QN=三種情況討論求解即

可.

【詳解】⑴對于-%+1,當『時，-*1=。,

解得，x=4,

A(4,0),

4

團點尸的橫坐標為-M，

14

/.y=——x+1=

41

46]

:.P5,5J；

設直線4的解析式為丫=履+6,

46

把C(-2,0),P代入y=履+上得,

555

-2k+b=0

I55

k=l

解得:

6=2'

回直線4的解析式為y=x+2；

(2)對于直線y=x+2,當x=0時，y=2,

0W,2),

過點D作點D關于AM的對稱點D0,連接D'C交AM于點

根據(jù)"兩點之間，線段最短"可知，。。+。。的最小值為。，。的長,

00(0,2),

回。'(8,2)

又C（-2,0）

回CD'=J[8—（-2）『+（2—0『=4后，C￡）=V22+22=272

EUCD。的周長最小值為：CD+CD'=2y/2+4yf26,

設。C的解析式為：y=mx+n,

把C（_2,0）,。（8,2）代入丫=〃/+”,得，

[—2m+n=0

[8m+n=2'

f1

m=—

解得，2

n=—

[5

團直線DC的解析式為y=（%+丁

、“—126

當x=4時，y=-x44+-=~,

,，I]；

（3）設N（4/）,

回2卜野，C(-2,0),

0D?/2=(0-4)2+(2-r)2=(2-r)2+16,

。。'①-心口々=空

當DN=QN時，^DN2=QN2,

回（2一。2+16=［一1）,

CQ

解得，f=］,

當。N=￡>Q時，有DN?=DQ。,

回（2-力2+16=及，

解得，%=］14，%=￡6（不符合題意，舍去）

回?4,與

當QV=DQ時，有QN=DQ。,

解得，”31=且1,

525

回中手卜中得斗

綜上，點N的坐標為：HgJ或或卜,”叵，或卜，空警

【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)和判定、最短問題等知識，解題的

關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用對稱解決最值問題.

【類型三一次函數(shù)中線段差最大值問題】

例題：(2023秋?四川成都?八年級統(tǒng)考期末)如圖所示，直線4：y=x-l與y軸交于點A,直線4：y=-2x-4

與X軸交于點6,直線4與4交于點c.

⑴求點AC的坐標；

(2)點尸在直線4上運動，求出滿足條件S&BC=SBC且異于點A的點P的坐標；

(3)點0(2,0)為x軸上一定點，當點。在直線乙上運動時，請直接寫出的最大值.

【答案】⑴點A的坐標為(0,-1),點C的坐標為(--2)

⑵(-2,-3)

(3)710

【分析】(1)根據(jù)直線與坐標軸交點的特點即可求解，聯(lián)立兩條直線的解析式，解二元一次方程組即可求

解；

(2)根據(jù)直線與坐標軸的交點，求出AABC的面積，設P(PM-1),用含〃的式子表示APBC的面積，根據(jù)

SAPBC=S"BC即可求解；

(3)如圖，作點B關于直線乙的對稱點B',連接B'D并延長交直線乙于Q,求口。-怕勺最大值轉(zhuǎn)換為求B'D,

根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：團直線4：y=xT與＞軸交于點A,

回令尤=0,貝!|y=-i,

回點A的坐標為(0,-1),

[y—x—\fx=—1

聯(lián)立直線4：y=x-i與直線4：y=-2x-4得，」解得，

[y=-2x-41y=-2

回點C的坐標為(T-2).

(2)解：如圖，直線乙與x軸交于點M,

直線4：y=%-i,令y=。，則無=1,

團點M的坐標(1,。)，

直線4：》=-2%-4,令y=0,則％=-2,

回點B的坐標(-2,0),且點C(-l,-2),

團BM=3,

?^AABC=S^MBC-^AABM=-x3x2--x3xl=-,

222

團SMBC=^AABC，

團點尸在直線乙上運動,且點尸只能在點C的左下方,

...設尸（0,pT）,

?,^APBC=^AMPB-S/\CBMx3x|p-l|--x3x2=—,

2平?22

0|p-l|=3,

Ep-1=±3,解得p=-2或p=4（舍去）,

3

當尸（-2,-3）時,SAPBC=SAABC=-；

團滿足條件S^BC=Sfc且異于點A的點P的坐標為(-2,-3).

(3)解：如圖，作點B關于直線4的對稱點？，連接B7)并延長交直線6于。,

0BQ=B'Q,BE=B'E,

設直線k交x軸于E,由(2)知EQS)),

'：OE=OA=1,

：.NOE4=45。，

0Z^￡B=9O°,

回點8的坐標(一2,0),

@BE=B'E=3,

回點B'的坐標(L-3),

回的最大值為|92—磯2|=3'。，

回點。(2,0),

回［(2-1)2+32=&5,

回的最大值為亞.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，掌握一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，幾何圖形的變換，解二元一次

方程組的方法，勾股定理等知識是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2022秋?重慶沙坪壩?八年級重慶八中?？计谥?如圖1所示，在平面直角坐標系中，點4(0,2),點B

在彳軸負半軸上，OB=2OA.

（2）點C（-百,，"）是第三象限內(nèi)一點，AABC的面積為6-6，若點尸是x軸上一動點，求-P。的最大值；

（3）如圖2,在第（2）問的條件下，過點C作直線CD〃x軸，點Q為直線CD上一動點，是否存在以A,B,

。為頂點的三角形是以A8為腰的等腰三角形，若存在，請直接寫出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=；x+2

(2)2

(3)存在；