2023-2024學(xué)年蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊 第9章 中心對稱圖形-平行四邊形單元測試

班級姓名學(xué)號分數(shù)

第9章中心對稱圖形一平行四邊形

（時間：120分，滿分：120分）

選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.搭載神舟十六號載人飛船的長征二號廠遙十六運載火箭于2023年5月30日成功發(fā)射升空，景海鵬、朱

楊柱、桂海潮3名航天員開啟“太空出差”之旅，展現(xiàn)了中國航天科技的新高度.下列圖標中，其文字

上方的圖案是中心對稱圖形的是（）

A,航天神州B.中國行星探測

9

C.中國火箭D.中國探月

【答案】B

【解析】解：選項/、B、。都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以不

是中心對稱圖形.

選項C能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.

故選：C.

2.如圖，將△4BC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)70。，得到△?!￡?&若點。在線段BC的延長線上，貝U/B的大小是

)

A.45°B.55°C.60°D.100°

【答案】B

【解析】解：,??將△ABC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)70。，得到△4DE,點。在線段BC的延長線上,

：.AB=AD,/.BAD=70°,

:.乙B=Z.ADB=（180°-70°）+2=55°,

故選B.

3.用反證法證明"三角形中最多有一個內(nèi)角是直角”應(yīng)先假設(shè)這個三角形中（）

A.至少有兩個內(nèi)角是直角B.沒有一個內(nèi)角是直角

C.至少有一個內(nèi)角是直角D.每一個內(nèi)角都不是直角

【答案】A

【解析】解:用反證法證明"三角形中最多有一個內(nèi)角是直角”應(yīng)先假設(shè)這個三角形中至少有兩個內(nèi)角是直角,

故選：A.

4.如圖，口［8。的對角線/C,BD交于點、O,下列結(jié)論一定成立的是（）

AQ

;

BC

A.OA=OBB.OALOBC.OA=OCD.NOBA=NOBC

【解析】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

故選：C.

5.如圖，為測量位于一水塘旁的兩點45間的距離,在地面上確定點O,分別取05的中點C,D,

量得CZ）=10機，貝IJ4,5之間的距離是（）

A

小

B

A.5mB.10mC.20mD.40m

【答案】c

【解析】解：???點C,。分別是CM,08的中點，

-，-AB=2CD=20（m）,

故選：C.

6.下列命題不正確的的是（）

A.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)

C.有一個角的是直角的四邊形是矩形

D.對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

【答案】C

【解析】解：A選項，對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，A正確，故A不符合題意;

B選項，對角線互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)，B正確，故B不符合題意;

C選項，因為有三個角是直角的四邊形是矩形，故C錯誤，C符合題意；

D選項，對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，D正確，故D不符合題意；

故選：C

7.菱形的兩條對角線的長分別是6和8,則這個菱形的周長是（）

A.24B.20C.10D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理可直接進行求解.

【詳解】解：如圖所示：

,??四邊形ABCD是菱形，BD=8,AC=6,

???AC1BD,OA=OC=3,OD=OB=4,

在RtAAOD中，AD=VOA2+OD2=5,

菱形ABCD的周長為：4/5=20,

故選B.

8.如圖，已知點E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點,

要使四邊形EGFH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）

AED

【答案】A

【解析】解：???點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BC、BD、AC的中點，.?.EG=FH=|AB,

1

EH=FG咪D,

???當EG=FH=EH=FG時，四邊形EGFH是菱形，

???當AB=CD時,四邊形EFGH是菱形.

故選：A.

9.折疊矩形紙片48CZ）,使點5落在點。處，折痕為已知45=8,40=4,則的長是（）

A.|V5B.2V5C.1V5D.4V5

【答案】B

【解析】解：如圖，連接

由折疊可知，垂直平分80,

0D=0B,

又48IICD,

Z.MD0=乙NB0,乙DM0=乙BN0,

：.4BONz叢D0M,

：.ON=OM,

???四邊形為菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）,

???DN=BN=BM=DM,

設(shè)DN=NB=x,貝lj4N=8-x,

在Rta/BD中，由勾股定理得：BD=qAD2+AB2=4近,

在中，由勾股定理得：AD^AN^DN2,

即42+(8-x)

解得x=5,

根據(jù)菱形計算面積的公式，得

1

BNxADyMNxBD,

即5><4=|XACVX4V5>

解得〃乂=2棟.

故選：B.

10.如圖，正方形4BCD的邊長為2,K為與點。不重合的動點，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)。6山,

點、F、G與點C的距離分別為么，d3,則由+辦+肩的最小值為()

A.V2B.2C.2&D.4

【答案】C

【解析】解：如圖，連接C尸、CG、AE,

■：Z.ADC=4EDG=90°

：.Z.ADE=Z-CDG

在A4OE和ACOG中，

(AD=CD

Z.ADE=MDG

IDE=DG

.??△40E會△COG(SZS)

：.AE=CG

；.DE+CF+CG=EF+CF+AE

當￡尸+。尸+4￡*=/。時，最小，

AC=4AD2+CD2=V22+22=2V2

.-.dj+^+ds的最小值為2vL

故選：c.

填空題（共8小題，每小題3分，共24分）

11.如圖，木棒48、8與斯分別在G、//處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉀住，4EGB=100。,乙EHD=80。，將木棒

AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)

【解析】解：過點G作MN,使乙EHD=￡EGN=8Q°,

■■MN//CD,

???ZEG5=1OO°,

；/BGN=UGBYEGN=100°-80°=20°,

至少要旋轉(zhuǎn)20°.

12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形。力BC是平行四邊形，其中點/在x軸正半軸上.若BC=3,

則點A的坐標是.

【解析】解：?.?四邊形OZBC是平行四邊形，

：.OA=BC=3,

???點A的坐標是（3,0）,

故答案是：（3,0）.

13.如圖，在矩形中，對角線4C,5。相交于點。，QEL4C于點（EDC：乙EDA=L2,且4C=

【解析】解：?.?四邊形45CD是矩形，

-.Z-ADC=90°,

-AEDC：乙EDA=1：2,乙EDC+乙EDA=9。。,

?"QC=30。，小DA=60。,

-DELAC,

.-.zr）￡C=90o,

.?"/C=30o,

1

.-.DC=-^C=4,

:.EC=?DC=2,

故答案為2.

14.如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知N/2C=60°,則陰影部分的面積是（）

A'D

C

【解析】解：過點Z作于E,4bJ_CZ）于尸,

??,兩條紙條寬度相同,

：.AE=AF,

?:AB//CD,AD//BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形.

???S口ABCD=BC?AE=CDMF.

又,：AE=AF.

:.BC=CD,

???四邊形是菱形，

,在RtZiZ防中，ZAEB=90°,ZABC=60°,AE=3cm,

ZE

?'?AB-—~二-o=^y/3(cm),

sinbO

:.BC=2通cm,

：.四邊形48co的面積=/『5C=6百c/.

故答案為6省.

15.如圖，已知正方形N8CD的邊長為3,點P是對角線8。上的一點，PFU。于點F,PELAB于點E,

連接尸C,當PE：PF=1：2時，則尸C=

【解析】解：連接/P,

:四邊形48co是正方形，

:.AB=AD=3,ZADB=45°,

'：PFLAD,PE±AB,NB4D=90°,

四邊形/E尸尸是矩形，

：.PE=AF,ZPFD=90°,

...△PED是等腰直角三角形，

：.PF=DF,

\'PE：PF=l：2,

J.AF-.DF=1：2,

：.AF=1,DF=2=PF,

--AP=>JAF2+PF2=V1+4=V5，

,:AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,BP=BP,

:.AABP名dCBP(&4S),

:.AP=PC=近.

故答案為心.

16.如圖，在平面直角坐標系中，點4的坐標為(9,0)，點C的坐標為(0,3)，以。4。。為邊作矩形04BC.動點

E尸分別從點。,8同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿04BC向終點4c移動.當移動時間為4秒時,AC?EF

的值為.

【解析】解：連接力c、EF

???點4的坐標為(9,0)，點c的坐標為(0,3)，以。4。。為邊作矩形。4BC.

???8(9,3)，AC=V32+92=3V10

則04=9,BC=OA=9

依題意，OE=4xl=4,BF=4x1=4

-,AE=9-4=5,貝I|E(4,0)，

：.CF=BC-BF=9-4=5

”(5,3)，

■'-EF-V(5-4)2+32=V10,

"(0,3)，

：.AC-EF—3i/10xVw=30

故答案為30.

17.如圖，矩形/BCD中，NC和2D相交于點O,AD=3,4B=4,點E是CD邊上一點,過點E作成7,

BD干點、H,￡G_L/C于點G,則E/7+EG的值是.

【解析】解：：四邊形/BCD是矩形，

11

?.ZBAD=90°,OD=~BD,OC=~AC,AC=BD,

：,OD=OC,

■:AD=BC=3,AB=CD=4,

:.BD=AB2+AD2=5，

過。作CFLBD于F,

11

:-SgcB=《CF?BD=產(chǎn)?CD,

3x412

連接OE,

?'S叢COD=SADOE^S4cOE，

111

：.-OD-CF=-OD?EH+-OD-EG,

12

：.EH+EG=CF=—=2Af

故答案為2.4.

18.如圖，四邊形ABCO的兩條對角線AC,8?；ハ啻怪保珹C=4,BD=6,則4。+的最小值是,

【答案】2m

【解析】解：設(shè)的交點為。，4昆8&。。刀/的中點分別是PQ,R,S,連接PQ,QR,RS,SPQQQS,QS,

互相垂直，

??.△AOD和△80C為直角三角形，且ZD,分別為斜邊，

??.AD=2OSfBC=2OQ,

???4O+BC=2(OS+OQ),

???當。S+OQ最小時，40+8。最小，再根據(jù)“兩點之間線段最短”得。Q+OSNQS,

???當點。在線段QS上時，OQ+OS最小，最小值為線段QS的長,

???PQ分別為的中點，

???PQ是△ABC的中位線，

.-.PQ^^AC=2,PQ\\AC,

同理QR=JBD=3,QRIIBD,

RS=/C=2,RS||4C,

SP=：BD=3,SP\\BD,

PQ\\AC\\RS,QR\\BD\\SP,

四邊形PQRS是平行四邊形，

ACLBD,PQ\\AC,SP\\BD,

■■PQISP,

???四邊形PQRS是矩形，

在RtZXPQS中，PQ=2,SP=3,

QS=JPQ2+SP2=V13-

OQ+OS的最小值為g,

.1.AD+BC的最小值為2病.

故答案為：2V13.

三.詳解題（共8小題，總分66分）

19.（6分）如圖，在平行四邊形4BCD中，E,尸分別是ZB,CD的中點，求證：AF=CE.

DFC

【解析】證明：???四邊形4BC0為平行四邊形，

:.AB||CD,AB=CD

又M,F是AB,CD的中點，

:.AE^AB,CF^^CD,

：.AE=CF,

又"E||C尸,

.??四邊形4ECF是平行四邊形，

：.AF=CE.

20.（6分）如圖，在△N8C中，AB=AC,ND_L8C于點。，點￡為N8的中點，連結(jié)?！?已知8c=10,

40=12,求2D,DE的長.

【解析】^,：AB^AC,4DL8C于點D,

1

,\BD=-BC,

VBC=10,

:.BD=5,

?.ZZ)_L3C于點。，

AZADB=90°,

在RtZX/BD中，AB2^AD2+BD2,

'：AD=12,

AB=VxD2+BD2=V122+52=13,

為的中點，。點為3c的中點,

113

：.DE=-AB=—.

21.(8分)如圖，將一張長方形紙片A8CD沿E折疊，使CM兩點重合.點。落在點G處.已知48=4,

BC=8.

(1)求證：4/EF是等腰三角形；

(2)求線段FD的長.

【解析】(1),??四邊形是矩形

??.AD//BC

???Z.FEC=Z.AFE

因為折疊，則=

???Z.AEF=Z.AFE

■-2MEF是等腰三角形

(2)???四邊形4BCD是矩形

???AD=BC=8,CD=AB=4/D=90°

設(shè)FD=x,則力F=4D-x=8-x

因為折疊，貝l!FG=x,AG=CD=4,ZG=ZD=90°

在RtZ\4G尸中

FG2=AF2-AG2

BPx2=(8-X)2-42

解得：%=3

???FD=3

22.(8分)如圖，線段DE與/斤分別為A48C的中位線與中線.

A

BFC

(1)求證：//與DE互相平分；

(2)當線段/尸與8c滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形ND尸E為矩形？請說明理由.

【解析】(1)證明：???線段DE與分別為A42C的中位線與中線，

..D,E,尸分別是AC,8c的中點，

???線段DF與EF也為A4BC的中位線，

：.DFUC,EFUB,

???四邊形ADFE是平行四邊形，

■■AF與DE互相平分.

(2)解：當NF李C時，四邊形/。用為矩形，理由如下：

???線段為A4BC的中位線，

1

:.DE,BC,

由(1)知四邊形/DFE為平行四邊形，若口4DFE為矩形,貝!J4QQE,

1

二當AF^BC時，四邊形ADFE為矩形.

23.(8分)如圖，CMBCD的對角線AC,BD相交于點0,過點。作EF12C,分別交AB,DC于點E、

F,連接AF、CE.

(1)若。E=5，求EF的長；

(2)判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

【解析】(1)?,?四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD是對角線,

-.Z.EA0=Z.FC0,0A=0C,

5L--EFX.AC,

：.Z-AOE=乙COF,

SAAOE和△COF中，

Z-EAO=乙FCO

{OA=OC,

^AOE=乙COF

：,AAOE=ACOF(ASA).

/.FO=EO,

3

又???OE=2，

3

：.EF=2OE=2xj=3.

故EF的長為3.

(2)由(1)可得，AAOEM4COF,四邊形ABCD是平行四邊形，

：.FC=AE,FCHAE,

???四邊形AECF是平行四邊形，

又EF1AC,OE=OF,OA=OC,

;平行四邊形AECF是菱形.

24.(8分)如圖，正方形/BCD中，點跖N分別在48,BC±,且BM=CN,/N與"/相交于點尸.

(1)求證：AABN沿ADAM；

(2)求N4PM的大小.

【分析】（1）利用S4s證明全等即可；

（2）根據(jù)全等的性質(zhì)，得到/跖由,從而求出//PAf

=90°.

【解答】（1）證明：?.?四邊形/BCD是正方形，

：.AB=AD=BC,ZDAM=ZABN=90°,

,:BM=CN,

：.BC-CN=AB-BM,即BN=AM,

在△4BN和中，

(AB=AD,

l^ABN=AM,

[BN=AM,

：.AABN咨/\DAM(S4S)；

(2)解：由(1)知△/BN四△￡>//,

ZMAP=ZADM,

：.ZMAP+ZAMP^ZADM+ZAMP^90°,

AZAPM=180°-(ZMAP+ZAMP)=90°

25.(10分)在四邊形4BCD中，。是邊BC上的一點.若△02B三△。⑶，則點。叫做該四邊形的“等形點”.

⑴正方形“等形點”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如圖，在四邊形力BCD中，邊BC上的點。是四邊形2BCD的“等形點”.已知8=4五，04=5,BC=12,

連接AC,求4C的長；

⑶在四邊形EFGH中，EH//FG.若邊FG上的點。是四邊形EFGH的“等形點”，求焉的值.

【解析】（1）不存在，

理由如下：

假設(shè)正方形N3CD存在“等形點”點O,即存在△0/3三△OCD,

???在正方形/BCD中，點。在邊BC上，

■.^480=90°,

???△OAB三AOCD,

：./-ABO=Z.CDO=90°,

■■CDLDO,

■■■CD1BC,

.-.D0WBC,

???O點在8c上,

■■DO與BC交于點O,

，假設(shè)不成立，

故正方形不存在“等形點”；

(2)如圖，過/點作ZMLSC于點如圖,

■0點是四邊形ABCD的“等形點”，

.?.△0/8三△OCZ),

：.AB=CD,OA=OC,OB=OD,UOBMCOD,

?:CD=4?OA=5,BC=12,

??.AB=CD=4五,OA=OC=5,

：.OB=BC-OC=n-5=l=OD,

■■■AMLBC,

.■■^AMO=90°=^AMB,

設(shè)M0=a,貝！IBM=BO-MO=1-a,

.,.在RtAABMRtAAOM^P，AM2=AB2~BM2=AO2-MO2,

2

.■.AB2-BM2^A02-M02,即(4煙-(7-tz)2=52-tz2,

解得：a=3,即M0=3,

：-MC=MO+OC=i+5=8,AM=VAO2—MO2=V52-32=4

在Rt/^AMC中，AC=JAM2+MC2=V42+82=4V5,

即AC的長為4立；

(3)如圖，

??,O點是四邊形EFGH的“等形點”，

.'.AOEF=AOGH,

：,OF=OH,OE=OG,(EOF=cGOH,

-EHWFG,

&OF=〃)EH,Z.GOH=Z-EHO,

???根據(jù)乙EO8=NGO4有乙OEH=LOHE,

：.OE=OH,

?：OF=OH,OE=OG,

；.OF=OG,

OF1

?廿1?

26.(12分)梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其

中一種方法的示意圖及部分輔助線.

在△4B