2023-2024學(xué)年蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊第12章 二次根式單元測試

班級姓名學(xué)號分數(shù)

第12章二次根式

（時間：120分，滿分：120分）

選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.計算“等于（）

A.±2B.2C.4D.V2

【答案】B

【解析】解:J（—2）2=。=2.

故選:B.

2.函數(shù)y=*中自變量x的取值范圍是（）

vx—2

A.x>2B.%>2C.D.%<2

【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意可得，x-2>0,且五1

故選：A.

3.下列根式中，是最簡二次根式的是（）

A.6B.V4C.Va2D.y/a+b

【答案】D

【解析】4J被開方數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

B、盤=2是有理數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C、y[^=\a\,不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

。、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項正確.

故選：D.

4.下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.倔與8B.魚與mC.店與回D.鳳與歷

【答案】D

【解析】A、我=2魚，2魚與VI不是同類二次根式，故此選項錯誤；

B、712=2731也與2K不是同類二次根式，故此選項錯誤；

C、遙與g不是同類二次根式，故此選項錯誤；

D、V75=5V3-V27=3V3.5行與3g是同類二次根式，故此選項正確.

故選：D.

5.下列運算正確的是（）

A.V3+V3=3B.4V5—V5=4C.V3xV2=V6D.V32-V8=4

【答案】C

【解析】V3+V3=2V3.故/錯;

4V5-V5=3V5>故3錯;

V3xV2=V6-C正確；

V32+V8=2,故。錯.

故選：C.

6.能使等式區(qū)=盧成立的條件是（）

7x-3V%-3

A.x>0B.%>3C.%>0D.%>3

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，得

[%>0①

1%-3>0@

由①，得

x>0.

解不等式②，得

%>3.

所以，不等式組的解集為％>3.

所以，等式叵=浮成立的條件是%>3.

\X-3y/x-3

故選：D.

7.估計遙義（逐—g的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【答案】A

【解析】解：V5x—京)=V30—1,

25<30<36,

???V25<V30<V36-即5<7^<6，

??-4<V30-l<5,

故選：A.

8.若"?<0,">0,把代數(shù)式機返中的加移進根號內(nèi)的結(jié)果是（）.

A.Vm2nB.J-m2nC.—Vm2nD.|Vm2n|

【答案】C

【解析】解：mVn=—（—m）Vn=—^Jm2n<

故選C.

9.設(shè)6—的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,則（2a+的值是（）

A.6B.2V10C.12D.9V10

【答案】A

【解析】V3<V10<4,

.".2<6-V10<3,

/.6-V1U的整數(shù)部分a=2,

二小數(shù)部分6=6-710-2=4-V1U，

二(2a+V10)Z)=(2x2+710)(4-V10)=(4+710)(4-V10)=16-10=6.

故選:A.

?！胺帜赣欣砘笔俏覀兂Ｓ玫囊环N化簡的方法，如：岑=棄甯然=7+4g，除此之外，我們也可

2—V3（2—V3）（2+V3）

以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于歷二百一百二^后，設(shè)“=歷第一

飛3-底易知:3+遍>—遮，故久>0,由/=（八+而—,3—V§）2=3+7^+3-7^-2

J（3+遙）（3—遙）=2,解得久=魚，即百工灰一百二=根據(jù)以上方法，化簡譽宗+屈與看

—，6+后的結(jié)果為（）

A.5+3-\/6B.5+-\/6C.5—V6D.5—3^6

【答案】D

【解析】設(shè)X=，6—3VJ—丁6+3后且破6—38<丁6+3存

..%<0,

??x2=6—3V3-2(6—3A/3)(6+3V3)+6+3^3，

Ax2=12-2x3=6,

??x=-V6>

2連，

V3+V2

原式—5-2-\/6—V6=5-3-\/6，

故選D.

二.填空題(共8小題，每小題3分，共24分)

11.計算鬧一71的結(jié)果是.

【答案】2V7

【解析】解：V63—=3vy—7X孝=2vy,

故答案為：2yH.

12.請寫出一個正整數(shù)加的值使得我正是整數(shù)；m=.

【答案】8

【解析】解：???我正是整數(shù)，

8團要是完全平方數(shù)，

正整數(shù)加的值可以為8,即8nl=64,即187n==8,

故答案為：8(答案不唯一).

13.若等式VTT^VI。=VI三區(qū)成立，貝卜的取值范圍是

【答案】—1WXW1

【解析】根據(jù)題意，得

1+>o

X-

1o

V-X>

-1--

_>O

X2

解得一1WxWL

14.已知x,y是實數(shù)，且滿已產(chǎn)匠-2+，2-％+《，則代-77的值是

O

【答案】I

【解析】解：.??由二次根式的定義得行二:L，解得：x=2,

Jy=0+0+1,即：y=1,

oo

二代打=迎義/==J|=3

故答案為：

15.如果兩個最簡二次根式后』與ViTF能夠合并，那么a的值為

【答案】5

【解析】???兩個最簡二次根式只有同類二次根式才能合并，

."?V3a-8與417-2a是同類二次根式,

??3a—8=17—2a,a=5.

故答案為：5.

16.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則，(a—4尸+J(a—位尸化簡后為.

_______I_________________III

05a10

【解析】解：根據(jù)數(shù)軸得：5<a<10,

*'?原式—CL—4+11—CL=7.

故答案為：7.

17.已知m=3+正幾=3—遮，則A/THZ+足一葉幾的值為.

【答案】2V6

【解析】解：m=3+V5,n=3-V5，

Am+n=6,mn=(3+75)(3—V5)=4,

???Jm2+T12—mn

=yj(m+n)2—3mn

=V62—3x4

=276.

故答案為：2V6.

18.閱讀下列解題過程，回答問題：

1V2-1廠

------=—尸----------尸-------=V2—1

V2+1(V2+1)(V2-1)

1V3-V2廠r-

-------=--j=------云產(chǎn)l=V3—V2

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

1V4-V3

=V4—V3=2—V3

V4+V3(V4+V3)(V4-V3)

利用上面的規(guī)律，比較(瓜一位)(g—g)(填“〉”或“〈”或“=.

【答案】＞

【解析】解：舊+房=(舊+同煙-疵)=月一娘，

1_VH-VH_r—_r—

V14+V13=(V14+V13)(V14-V13)-V14-V13'

VV14+V13>V13+V12>0,

-1<1

?'VT4+VT3713+712'

(V13-V12)>(V14-V13)，

故答案為：>.

三.詳解題(共8小題，總分66分)

19.(2x4=8分)計算:

(1)(14754-8724-+2逐X』

V6

(2)(遮—1)2—(V5+V6)(V5—V6)-

11

【解析】(1)解：Mx'i=(42V6—16V6—6V6)X—=x—

zV6V6

=20x—

=5V6.

3，

(2)原式=5-+1—(5—6)=6—2^5^—(—1)=7-2-\/5^-

20.(6分)若最簡二次根式8二2%+y—5和—3y+11是同類二次根式.

(1)求久，y的值；

(2)求J%2+y2的值.

【解析】解：⑴根據(jù)題意知竺2“_3y+ll,

(2)由(1)知，+y2=^42+32=V25=5.

21.(6分)若。=遮+2,b=V5—2,求:

(l)a2—b2；

(2)求a3b+ab3.

【解析】⑴解：???。=e+2,b=V5-2,

.，?a+b=+2+Vs,-2—a—b=-\/s+2—^/5+2=4,

a2—b2

=(a+6)(a—b)

=2V5x4

=8V5;

(2)解：Va=V5+2,h=V5-2,

a+b=V5+2+Vs,-2=2^5，ab=(V^+2)(V^—2)=5-4=1

a36+ab3

=a&(a2+Z?2)

=ab[(a+h)2—2ab]

=1x[(2V5)2-2x1]

=1x(20-2)

=18.

22.（8分）如圖，正方形4BCD和正方形EFGH分別是邊長為（回+而）皿和（代_而）加的正方形相框.

（1）求大相框的面積是小相框面積的多少倍?

（2）現(xiàn)在小華想用長為25cm的彩帶給這兩個相框鑲邊，請你幫忙計算現(xiàn)有的彩帶夠嗎？如果不夠用，大約還

需要買多長的彩帶？（參考數(shù)據(jù)：5=3.9）

【解析】（1）解：???大相框的面積為（房+西）2cm2,小相框的面積為（后_否）2cm2,

.(V15+V5)2

=(2+V3)2=7+4V3.

(V15-V5)2

答：大相框的面積是小相框面積的（7+4g）倍;

（2）解：不夠用.

鑲邊所需要的彩帶長為4x(V15++4x(V15—V5)=8,15=31.2cm>25cm，

則現(xiàn)有的彩帶不夠用，還需買31.2—25=6.2(cm)，

答：現(xiàn)有的彩帶不夠用，還需要購買約6.2cm長的彩帶.

23.(8分)挖掘問題中的隱含條件，解答下列問題：

(1)已知JQ—3尸一(&二三,=2乂,求x的值；

(2)已知a,b是實數(shù)，且6>-2V2-a+1,化簡”—26+62-必.

【解析】(1)解：由題意，得2—x“，

?,?%<2,

AX—3<0,

J(%—3)2―(,2—行，=|x_31_(2_%)=3_x_2+久=2.x

:.1=2%,

解得X，

(2)解：由題意，得a—220,且2—Q之0,

???。22且。工2,

Q—2,

b>7a—2—2V2—a+1，yja—2—2V2—a+1=-2—2—2,2—2+1=1,

??.b>l,h-1>0,

V1—2b+b2-yTcfi=7(1-b)2-Va2=\1-b\-2=b-l-2=b-3.

24.(10分)觀察、思考、解答：

—1)2=(V^)2—2x1x-\f2,+1?=2—2y/-2.+1=3—2

反之3-2-\/2=2—2^2+1=(V2—l)2，

???3-2V2—(V2—1)2,

???，3-2魚=V2-1.

(1)仿上例，化簡：,6-2遮;

(2)若Ja+2&=后+五，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由；

(3)己知”=毒二豆，求(2+白).號的值(結(jié)果保留根號).

人4入TaJI八J-J

【解析】解：(1)V6-2V5=V5-2V5+1=J(V5-I)2=V5-1;

(2)a=m+n,b=mn,

理由：Ja+2訴=+Vn/

???a+2VK=m+2y/mn+九，

???a=zn+荏,b=mn；

(3)x=74-V12=73-2V3+1=J(V3-I)2=舊-L

,11、%2―4—+2+久一2(一一2)(1+2)__________2x(--2)(久+2)xV3-1_V3-1

?'+云)?2(無-1)=(x-2)(x+2)>2(x-l)=(x-2)(x+2)>2(x-l)==^3-1-1~V3-2

_(6-1)(g+2)

一(V3-2)(734-2).

=—1—V3

25.(10分)《數(shù)書九章》是我國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a,b,c

求面積的公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式S=Jp(p—a)(p—b)(p—c)本質(zhì)上是同一個公式,我們稱

其為海倫一秦九韶公式.請依據(jù)公式解決下面的問題.(公式中記p="芳)

①求△ABC的面積;

②設(shè)8c邊上的高為九0AC邊上的高為拉2，求后+后的值.

(2)如圖2,某校有一塊形如四邊形2BCD的空地，其中4D〃BC,zS=60°,ND=90。，AD=7m,BC=14

m.為美化校園，學(xué)校計劃在空地上種植花卉，在四邊形2ECD內(nèi)種植紅色花卉，剩余空地種植黃色花卉，

若力E=8m，CE=10m,紅色花卉的單價為40元/m2,黃色花卉的單價為60元/m2,請直接寫出購買花卉

的總費用.

【解析】(1)①解：由己知，a=5,b=6,c=7,

a+b+c5+6+7=9,

p=-2

s=Jp(p—a)(p—b)(p-c)

=79x(9-5)x(9-6)x(9-7)

=V9x4x3x2

=6V6;

②?：S==^bh2=6V6,

1i

X5X/I1=-X6X/I2=6A/6，

，解得，九i='2疊,八2=入后，

???/11+/12=華+2前=爭；

(2)連/C,過點4作于點廠,

9：AD//BC,ZD=90°,

：.^DCB=AAFC=90°f

???四邊形AFCO為矩形，

：.AF=DC,FC=AD=7,

VBC=14m

:?BF=7,

VzB=60°,^AFB=90°,

：.AB=2BF=14,

:.AF=、AB2一BF2=V142-72=7存

?MC=Vi4F2+FC2=J(7V3)2+72=14,

**,,DC=—x7x7-\/3=，

在△NEC中，由海倫一秦九韶公式，得

S=Jp(p—a)(p—b)(p一c)

=J16X(16—14)X(16—10)X(16—8)

=16V6;

???植紅色花卉的面積為:

^AADC+^AAEC萼+16連,

，四邊形ABCO的面積為:

Ix(y4D+BC)xDC=|x(7+14)x7遮=得反

???種植紅色花卉的面積為：

噌一(喈+16V6)=49V3-16小

，購買花卉的總費用

+16V6)x40+(49V3-16V6)x60=3920百-320V6,

出購買花卉的總費用(3920V3-320V6)m2.

26.(10分)閱讀材料，并完成下列任務(wù)：

材料一：裂項求和

小華在學(xué)習(xí)分式運算時，通過具體運算：三=1—2,2亳=卜；，……

J.XN乙ZX3Z3oZXTTjT-

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：77A元=工一三7(”為正整數(shù))，并證明了此規(guī)律成立.

n-(n+l)nn+1

應(yīng)用規(guī)律,快速計算-H--—|---|—H-=1——+———H—+———-1——=—.

-現(xiàn)中.I穴處“殲1x2T2x3T3x4T9x102239101010

材料二：根式化簡

例1=一以一"1一D

3+V3V3(V3+1)V3(V3+1)(V3-1)2\

例2---=------——=_____在二巨_____="工一口

J5V3+3V5V15(V5+V3)V15(V5+V3)(V5-V3)2^73近)

任務(wù)一：化簡.

⑴化簡:7V5+5V7

⑵猜想：…加…)1=-------------------------(〃為正整數(shù))?

任務(wù)二：應(yīng)用

1111

(3)計算：3+75+5V3+3V5+7西+5b+…+49V47+47V49；

任務(wù)三：探究

(4)已知％=與1

V5-V3V7-V5V2025-V2023

1+V3+V5+V3X5+1+V5+V7+V5X7

y=1+V2023+V2025+V2023x2025,

比較X和歹的大小，并說明理由.