2024-2025學(xué)年北師大版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（選擇性必修第一冊）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷

（北師大版2019）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.測試范圍：北師大版2019選擇性必修第一冊。

4.難度系數(shù)：0.65o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知空間向量2=（6,2,1）,3=（2,與一3）,若8一2q_1々，貝i]x=（）

A.4B.6C.—D.二

44

【答案】C

【詳解】因?yàn)?-21（6,2,1）-2（2,x,-3）=（2,2-2x,7）,

因?yàn)橐?萬）’）,所以12+4—4x+7=0,解得x=『.

故選：C.

2.已知圓C|：X2+J?=4,圓。2：尤2+/-4x-4y+4=0,兩圓的公共弦所在直線方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y-2=0C.x+y+l=0D.x+y-1=0

【答案】B

【詳解1由圓G：%?+/=4,圓G：—+y?—4x—4y+4=0,

兩式作差得，4x+4y-4=4f即工+＞一2=0,

所以兩圓的公共弦所在直線方程是％+y-2=0.

故選：B.

3.某橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為片（-石,0）,FJ區(qū)0）,P是橢圓上一點(diǎn)，若尸片，尸與，|尸7訃|咋|=8,則該

橢圓的方程是（）

x2y21D/

AA.1=1B.1=1

7227

2222

C.——+—=1D.—+—=1

9449

【答案】c

【詳解】設(shè)|尸￡|=4，I尸瑪卜〃,

因?yàn)槭诖?，忸?2次，所以病+"2=僅⑹'即病+”2=20；

因?yàn)閼?訃|尸閶=8,所以加〃=8,

所以（抑+7?）2=m2+n2+2mn=20+2x8=36；

因?yàn)楦?gt;0,w>0,所以加+〃=6,即2a=6,（2=3,

所以。2=9,b2—a1-c1-A

22

所以橢圓的方程為二+匕=1,

94

故選：C.

4.?？谑凶鳛槭着皣H濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨(dú)特的生態(tài)環(huán)境，?？谑心持袑W(xué)一研究性學(xué)習(xí)小

組計(jì)劃利用5月1日至5月5日共5天假期實(shí)地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地

公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個(gè)濕地公園，每天考察1個(gè)，其中對美舍河濕地公園的考察安

排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（）

A.24種B.48種C.98種D.120種

【答案】B

【詳解】先安排美舍河濕地公園的考察時(shí)間，方式有A；=2種；

再安排剩下四天的行程有A：=24,所以一共有2x24=48種安排方法.

故選：B

5.若事件A,8發(fā)生的概率分別為尸（⑷,P（B）,（尸⑷>0,尸（囚>0）,則“尸（邳N）=P（8發(fā)是

"（/忸）=尸（/）”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

【答案】c

【詳解】因?yàn)槭ǎ?尸（8）,所以P（同幻=匯，=尸（8）,所以尸（48）=尸（⑷?尸（8）,

所以尸（“⑻=占胃

P⑷P網(wǎng)=尸⑷

P(B)

反之由尸（/忸”尸⑷能推出P（M，）=尸（8）,

所以“尸（目/）=尸（2）”是“尸（/⑻=尸（/）”的充分且必要條件

故選：C

6.為了檢測某種新藥的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下2x2列聯(lián)表:

未治愈治愈合計(jì)

服用藥物104050

未服用藥物203050

合計(jì)3070100

則下列說法一定正確的是（）

2flyCICi-L/CJ?.

附：/=g+b)(c+,)g+c)(Hd)(其中〃=〃+Hc+d

臨界值表:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”

B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”

【答案】A

【詳解】解：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算/J。。'G0°"OOP4.762,

30x70x50x5021

且3.841<4.762v5.024,

所以有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”.

故選：A.

22

7.已知雙曲線°：二-4=1,兩焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過右焦點(diǎn)區(qū)作直線/交右支于A,3點(diǎn)，且

ab

方=；至，若/F】AB=3,則雙曲線。的離心率為（）

35「7

A.—B.—C.—D.2

235

【答案】c

【詳解】如圖，因?yàn)榉酵?，令M周=3/,則|/8|=5f,怛周=2"

由雙曲線定義|=|AF2\+2a=3t+2a,由為\=\BF2\+2a=2t+2a,

TT

在6中，ZFlAB=^,

由余弦定理I/片/+14B「一2|/片|.148|cosZFtAB=|BF^,

得（3f+2。）2+（5疔-2（3f+2。）x5fcos]=（2f+2a了，

2

整理得15〃—6G=0,解得，或％=0（舍去），

21626

貝!JM片|=3/+2d—3x—tz+2a=a,|力耳|=3^=3x—tz=,

2

故在△，片鳥中，由余弦定理I/『+M耳/—2|皿|.Icos3AB=\FXF2I,

得（3Q）2+（—tz）2-2x-tz?—?cos—=（2c）2,

55553

196r7

整理得丁Q2=4C2=O,貝Ue=—=

25a5

故選：C.

8.如圖，在直三棱柱/BC-44G中，==為線段44的中點(diǎn)，。為線段G尸上

一點(diǎn)，則△5。。面積的取值范圍為（）

Ai

A.[2,V6]B.[2,V5]C.[V3,V5]D.[V2,V5]

【答案】B

【詳解】

由直三棱柱可得881_L平面48C,而48_L8C,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，4(0,2,0),C(2,0,0)6(2,0,2),尸(0,1,2),

設(shè)m=2于=2(-2,l,0)=(-2/U,0),其中Xe[0,l],故。(2-24尢2),

而至=(-2/U,2),CS=(-2,0,0),

故。到直線BC的距離為4=，4分+分+4_]苧]=西+4,

因?yàn)?e[0,l],故de[2,V^],^^AQBC=~xdxBC—de[^2,y/5J,

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.下列說法正確的是()

A.樣本數(shù)據(jù)20,19,17,16,22,24,26的下四分位數(shù)是17

B.在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，若第一層的樣本量為10,平均值為9,第二層的樣本量為20,平均

值為12,則所抽樣本的平均值為11

C.若隨機(jī)變量則尸（丫=2）=上

D.若隨機(jī)變量X~N（4,〃）（b>0）,若尸（x22）=0.8,則尸（x>6）=0.2

【答案】ABD

7

【詳解】對于A.從小到大排序得：16,17,19,20,22,24,26,由7x25%=7=1.75,所以下四分位數(shù)

4

是17正確；

小丁10x9+20x12一十環(huán).

對于B,---------------=U正確；

對于C,由二項(xiàng)分布可得：尸（X=2）券，錯(cuò)誤；

對于D,由正態(tài)分布的對稱性可得：尸（x>6）=l-尸（xV2）=0.2,正確

故選：ABD

10.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)

問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走

能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流加，n,其方程分別為2x-y=0,y=0,將軍的出發(fā)點(diǎn)是

點(diǎn)/（3,1）,軍營所在位置為3（6,3）,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若將軍先去河流加飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為（L2）

B.將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是6

C.將軍先去河流?飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程是庖

D.將軍先去河流〃飲馬，再去河流加飲馬，最后返回軍營的最短路程是2萬

【答案】ABD

【詳解】對于A,如圖①所示，設(shè)點(diǎn)出3,1）關(guān)于直線2x-y=0的對稱點(diǎn)為4（%,必），

2^1x2=-1,

由再一3解得4（-1,3）,

2三一4=0

I22

3

所以將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為C（；,3）,故A錯(cuò)誤；

對于B,如圖②所示，因?yàn)辄c(diǎn)4（3,1）關(guān)于直線y=0的對稱點(diǎn)為4（3,-1）,

將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是忸41=J（6-3）2+（3+1）?=5,故B錯(cuò)誤;

對于C,如圖③所示，因?yàn)辄c(diǎn)3(6,3)關(guān)于直線y=0的對稱點(diǎn)分別為，4(6,-3)；

點(diǎn)4(3,1)關(guān)于直線2x-y=0的對稱點(diǎn)為4(T3),

所以將軍先去河流加飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程|4片|=屈，故C正確;

對于D,如圖④所示，設(shè)點(diǎn)3(6,3)關(guān)于直線2x-y=0的對稱點(diǎn)分別為坊(馬,%),

^^x2=-l,

由9一6解得與當(dāng)；點(diǎn)依1)關(guān)于直線尸。的對稱點(diǎn)為4(3,7),

2x"一"=0'55

I22

最后返回軍營的最短路程是區(qū)與|=以券，故D錯(cuò)誤.

將軍先去河流"飲馬，再去河流加飲馬,

故選：ABD.

2222

11.已知橢圓C1：二+與=1與雙曲線G：與一與=1m>0,〃>0)有公共焦點(diǎn)片，F(xiàn),

abmn2

G與。2在第一象限的交點(diǎn)為尸，且尸片，根，記G，。2的離心率分別為G，e2.下列結(jié)論正確的是()

A.若|尸凰=4+1,|P閭=々-1,則e?=2

B.若q=孚，則e?=2

C.Ge?的最小值為1

D.記A4尸鳥的內(nèi)心為/,G的右頂點(diǎn)為E,則=_Lx軸

【答案】ABD

【詳解】對于選項(xiàng)A,根據(jù)橢圓定義|P片1+1尸乙|=2a,已知|「片|=近+1,|相|=近-1,

則2a=|尸片|+|尸耳|=行+1+5一1=25，所以°=J7.

根據(jù)雙曲線定義I尸片\-\PF2\=2m,則2m=\PFt\-\PF2\=yf7+1-(47-1)=2,

所以m=l.因?yàn)槔砉ぁ保鶕?jù)勾股定理|尸片『+|相『=(2C)2,將?尸用=5+1,

|%|=)-1代入得(V7+1)2+(V7-1)2=(2C)2,即7+2療+1+7-2療+1=4°2,16=m，解得c=2.

雙曲線G的離心率e2=￡,因?yàn)閏=2,m=\,所以e?=2,故選項(xiàng)A正確.

m

對于選項(xiàng)B,設(shè)|尸片|=s,|PF2|=t,由橢圓定義s+￡=2a,由雙曲線定義S—=2加，

解得S=Q+"Z,t=a-m.

因?yàn)槭珽，所以S2+/=4C2,即(Q+機(jī))2+(q—機(jī))2=402,化簡得/+加2=.

已知竹=￡=生，設(shè)。=缶，，=2苫，代入/+療=2°2得7/+/=8/,解得加=x.

a7

c9Y

雙曲線G的離心率?2=—=—=2,故選項(xiàng)B正確.

mx

對于選項(xiàng)C,由/+加2=2。2,則方+方=2.

e\e2

112L

根據(jù)均值不等式2=下+下2——,所以e^Nl,當(dāng)且僅當(dāng)q=?2=&時(shí)取等號，

qeie\ei

,橢圓和雙曲線離心率不可能取等，故選項(xiàng)c錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)D,設(shè)△片尸鳥的內(nèi)切圓半徑為〃.

根據(jù)三角形面積公式，S/1%=；(s+，+2c?=

又s+才=2。，s-t=2m,可得s=“+冽，t=a-m,st=a2-m2.

c1/cc\122x—m2

=—{2a+2c)r=—(za-m),r=------.

“6年222(fl+c)

設(shè)成m,0),/的橫坐標(biāo)為％,尤/=稔+—+2cx0(九，%為片，鳥的橫坐標(biāo))，

s+t+2c

因?yàn)槠?-c,0),片(c,0),X/=sQc)+：=("間:c)；.+加)。=(,所以軸，選項(xiàng)D正確.

s+t+2c2a+2c

故選：ABD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.隨機(jī)變量&的分布列如下：

若E⑷=1,則。⑶=.

2

【答案】I

711

【詳解】由題意知Q+b=],E(4)=Q+2b=l,解得。=§,b=],

所以。()=(0-+-l)2xg+(2-l)2x；=g.

2

故答案為：

13.若(2-x)9的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為/,所有項(xiàng)系數(shù)和為2,則4+3=.

【答案】513

【詳解】解:設(shè)〃X)=(2-X)9,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為N=2、

所有項(xiàng)系數(shù)和為8=/'⑴=(2-以=1,所以4+5=29+1=513.

故答案為：513

14.過拋物線/=4x上一動點(diǎn)P作圓C:(x-4)2+y2=/&>°)的兩條切線，切點(diǎn)分別為/,3,若1?|PC|

的最小值是12,則廠=.

【答案】V6

【詳解】設(shè)尸(%,%),則腳=4匕，圓C的圓心C(4,0),半徑為「，

由尸4PB切圓C于點(diǎn)A,B,得尸C，AB,PA1AC,PB1BC,

則出卜附|=2s四邊粉/CB=4s/e=21尸4Mq=2Mpef_/=24(x。-盯+y；一產(chǎn)

22

=2r7Xo-4x0+16-r=2力(%-24+12-」＞2rV12-r,

當(dāng)且僅當(dāng)天=2時(shí)，等號成立,

可知的最小值為2-，12-尸2=12,

整理可得--12/2+36=0,解得司=6,

且一＞0,所以尸=J^,

故答案為：V6.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位:

萬噸）的折線圖，其中年份代碼1?9分別對應(yīng)年份2015?2023.

.氮氧化物排放量W萬噸

2100

1900

1700

1500

1300

1100

900

7°00123456789年份代碼/

已知￡“12000,-刃2點(diǎn)100,后—7.7,產(chǎn)51800.

i=lyz=lVi=li=l

（1）可否用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系？請分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說明.

（2）若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型3=-138/+2025,可否用此模型來預(yù)測2024年和2034年我國的氮氧化物

排放量？請說明理由.

?,%一麗

附:相關(guān)系數(shù)，=I9Ig

也(一)》(》-可2

yi=li=l

【詳解】(1)從折線圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合，與/的關(guān)系,

由題意知，=§(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,-------------------------------------------------------------------------2分

-麗

51800-5x120008200

相關(guān)系數(shù)7-I9Ig--0.97----------------------------------6分

7.7x1100.8470

Yi=li=l

故可以用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系.------------------------------------------------------7分

(2)可以預(yù)測2024年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測2034年的氮氧化物排放量.------------9分

理由如下：

①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型

進(jìn)行預(yù)測；

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分

②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持

不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預(yù)測可能是不準(zhǔn)確的.-------------------------13分

16.(15分)某工廠打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一種易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零

件作為備件，價(jià)格為每個(gè)200元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件，價(jià)格為每個(gè)320

元.在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)7的分布列為

T4567

P0.30.20.40.1

X表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件個(gè)數(shù)，"代表購買2臺設(shè)備的同時(shí)購買易損零件的個(gè)數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問在"=10和”=11中，應(yīng)選擇哪一個(gè)？

【詳解】(1)由題意，X的可能取值為8,9,10,11,12,13,14,-----------------------------------1分

則尸(X=8)=03x0.3=009,

P(X=9)=2x0.3x02=0.12,

P(X=10)=2x0.3x0.4+0.2x0,2=0.28,

P(X=11)=2x0.3x0.1+2x0,2x0,4=0.22,

P(X=12)=2X0,2X0.1+0.4X0,4=0.2,

P(X=13)=2x0.4x0.1=0.08,

=14)=0.1x0.1=0.01,

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分

則X的分布列為：

X891011121314

P0.090.120.280.220.20.080.01

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分

(2)記升為當(dāng)，z=10時(shí)購買零件所需費(fèi)用，斗的可能取值為2000,2320,2640,2960,3280,——7分

貝P(乂=2000)=P(X<10)=0.09+0.12+0.28=0.49,尸(乂=2320)=P(X=11)=0.22,

P(乂=2640)=P(X=12)=0.2,

P(X=2960)=P{X=13)=0.08,

P(YX=3280)=P(X=14)=0.01,----------------------------------------------------------------------------------------9分

則E(4)=2000x0.49+2320x0.22+2640x0.2+2960x0.08+3280x0.01=2288.----------------------10分

記八為當(dāng)〃=11時(shí)購買零件所需費(fèi)用，引的可能取值為2200,2520,2840,3160,--------------11分

則尸(%=2200)=P(X<11)=0.09+0.12+0.28+0.22=0.71,P(Y2=2520)=P(X=12)=0.2,

P(Y2=2840)=P(X=13)=0.08,

P(打=3160)=P(X=14)=0.01,-----------------------------------------------------------------------------------------13分

E(Y2)=2200x0.71+2520x0.2+2840x0.08+3160x0.01=2324.8,-----------------------------------------14分

顯然E(X)<E化)，

所以應(yīng)選擇"=10.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15

分

17.(15分)已知橢圓意+"=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,且閨閶=2血，動直線/與

橢圓交于P,。兩點(diǎn)：當(dāng)直線/過用時(shí)，△PQ耳的周長為8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/過點(diǎn)E(1,O),橢圓的左頂點(diǎn)為4當(dāng)△/尸。面積為加時(shí)，求直線/的斜率上

【詳解】（1）由題意得：2c=2^2,4a=8>UPc=V2,a=2,則〃=/—c?=2,----------------3分

22

所以橢圓。的方程為：二+匕=1.------------------------------------------------------------5分

42

(2)由題意知：直線/斜率不為0,可設(shè)/：x=(y+l,-----------------------------------------6分

x=ty+\

由X?V消去X得：（〃+2卜2+2亞-3=0,---------------------------------------------7分

--1--=1

142

則A=4產(chǎn)+12僅2+2）=16*+24>0,---------------------------------------------------------8分

2/3

設(shè)尸（國,必）,貝!J必+%=—產(chǎn)+2，=一.+2'----------------------------------9分

4—122ylAt2+6

（r+2.+產(chǎn)+2一,+2，11分

又因?yàn)?(一2,0),則|/E|=1-(一2)=3,--------------------------------------------------12分

所以義”=/即|也一可=|x*|F=質(zhì)，解得：=±1,-------------------------14分

所以直線/的斜率先=1=±L------------------------------------------------------------------15分

t

18.(17分)如圖，在四棱錐月-/BCD中，四邊形/BCD為正方形，AB=6,PC=PD=^，二面角P-CD-A

7T

的大小為

6

(1)證明：平面P4B_L平面488.

⑵求四棱錐P-ABCD的體積.

(3)若點(diǎn)〃在線段尸。上，且平面平面4BCD,求直線與平面P8C所成角的正弦值.

【詳解】(1)設(shè)/氏CD的中點(diǎn)分別為G,〃，連接PG,GH,PH.

在△尸CD中，由PC=PD,所以尸〃_LCD.

由C77=3,所以PH=JPC?-CH?=46，-----------------------------------------------------------------------------1分

7E

因?yàn)镚〃，CD,所以二面角P-CD-A的平面角為ZPHG,ZPHG=-,

6

貝!IpG=+G“2-2PH?GHcos/PHG=2K---------------------------------------------------------------2分

因?yàn)镚〃nP"=〃，G〃，尸"u平面PGH,所以CD,平面PG〃，

由尸Gu平面尸GH,所以CDLPG,則48,尸G,----------------------------------------------------------3分

所以尸8=ylBG2+PG2=V21.

5LPB-+BC2=PC2,所以P8J.BC.--------------------------------------------------------------------------------4分

又因?yàn)锳BLBC,ABcPB=B,平面尸N3,

所以2C_L平面尸因?yàn)锽Cu平面42。，-------------------------------------------5分

所以平面平面ABCD.-------------------------------------------------------------------------------------------6分

(2)因?yàn)槠矫媸?8_L平面48。，平面尸/8c平面48co=48,

PG1AB,尸Gu平面P/8,-------------------------------------------------------------------------------------------7分

所以尸G_L平面/BCD,即四棱錐的高為尸G,------------------------------------------------------------------8分

所以四棱錐尸-ABCD的體積為憶=gPG?SR,BCD=gx6x6x=24也.----------------------9分

(3)以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，G3,G〃,GP所在直線分別為xj,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

X

則/(-3,0,0),8(3,0,0),C(3,6,0),Z)(-3,6,0),P(0,0,2V3).-----------------------------------------------------10分

記GHc/C=O,則0(0,3,0),麗=(0,-3,26).連接(W,助.

設(shè)須=彳麗(0W/IW1),

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分

貝I］麗=(-3,6,-2V3),PM=APD=(-32,62,-2V32),

OM=OP+PM=(-3^,-3+62,243-2網(wǎng),BD=(-6,6,0).-------------------------------------------------------12分

因?yàn)槠矫媸珿M4C_L平面4BCD,平面跖ICc平面48c。=_LNC,

8Ou平面42cZ),所以ADI平面

MAC.----------------------------------------------------------------------------------------13分

因?yàn)?Wu平面MNC,所以

貝I］麗?而=—6x(-32)+6(-3+6/l)=0,解得4=；,-----------------------------------------------------------------14分

貝%=-1,2,-^-.又衣=(3,0,2現(xiàn)

I3J

^VXAM=AP+PM=2,2,殍，麗=(3,0,一2@,就=(0,6,0).---------------------------------------------15分

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,%z),

則由;二°'得已一2癥二0,取“退，得加=僅,0,@.---------------------------------------------------16分

m-BC=Q,[6y=0,v7

設(shè)直線NM與平面P8C所成的角為。，

sm*鬲s⑥痂)卜M=誣，

?\/I\m\\AM35

所以直線與平面P8C所成角的正弦值為迥0.--------------------------------------------------------------17分

35

19.(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，

他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)〃彳＞0且彳?1),那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就

是著名的阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，己知我(-1,0),0。71)直線/1：笈-了+2/+3=0,直線

/2：x+"+3f+2=0,點(diǎn)尸為4和4的交點(diǎn).

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程C;

⑵點(diǎn)〃為曲線C與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線/交曲線C于4,B兩點(diǎn),M與4,2兩點(diǎn)不重合，直線M4、

Affi的斜率分別為左、k2,且用&=一;，證明直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

31

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在曲線。上運(yùn)動時(shí)，求21月W+]歸。1的最小值.

【詳解】(1)當(dāng)"0時(shí)，4：y—3=0,/2：x+2=0,此時(shí)4，/2,交點(diǎn)為尸(-2,3)-----------------------------1分

當(dāng)，w0時(shí)，由4:比一＞+2，+3=0,斜率為3

\x+ty+3t+2=0,斜率為—/[-LZ2,綜上，4-L4--------------------------------------------------------2分

直線"亙過￡(-2,3),直線4恒過戶(-2,-3),若尸為乙4的交點(diǎn),則尸設(shè)點(diǎn)尸(x,y),

所以點(diǎn)尸的軌跡是以所為直徑的圓，-------------------------------------------------------3分

又因?yàn)楫?dāng)x=-2