2023年中考數(shù)學(xué)試題分項匯編：等腰三角形與直角三角形（共26道）（解析版）

專題16等腰三角形與直角三角形（共26道）

一、單選題

1.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在_ABC中，/8=90。,44=30。,以7=2,。為A3的中點.若點E

在邊AC上，且竺=空，則AE的長為（）

A.1B.2C.1或是D.1或2

2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意易得AB=2百,AC=4,然后根據(jù)題意可進行求解.

【詳解】解：；4=90"=30。,8。=2,

AB=CBC=2?AC=2BC=4,

?.?點。為AB的中點，

AD=LAB=6

2

..ADDE

"AB~BC'

DE=1,

①當(dāng)點片為461的中點時，如圖，

②當(dāng)點E為AC的四等分點時，如圖所示:

?*.AE^l,

綜上所述：AE=1或2；

故選D.

【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及

三角形中位線是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在矩形ABC。中，點E為&1延長線上一點，P為CE的中點，以

B為圓心，8尸長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G,連接BG.若AB=4,CE=10,則AG=()

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】C

【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得=B尸=5,在RtAABG中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：???矩形ABCD中，

ZABC=ABAC=90°,

?.?尸為CE的中點，CE=10,

BG=BF=-CE=5,

2

在RtAABG中，AG=ylBG2-AB2=752-42=3-

故選：C.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長

等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、C在同一條線上，點B在點A,C之間，點。，E在直線AC

同側(cè)，AB<BC,NA=NC=90。，AEAB必BCD,連接DE,設(shè)=BC=b,DE=c,給出下面三

個結(jié)論：?a+b<c；?a+b>\la2+b2；③何a+6)>c；

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】如圖，過。作于尸，則四邊形ACD「是矩形，貝ijDP=AC=a+b,由DE<DE,可得

a+b<c,進而可判斷①的正誤；由4△BCD,可得BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,

=貝UNEBD=90。，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=VIF+AF=yjc^+b2>

由可得a+b>后壽,進而可判斷②的正誤；由勾股定理得。爐+口爐，即

c2=2（a2+b2）,則C=7IXJ/+62（氏a+b）,進而可判斷③的正誤.

【詳解】解：如圖，過。作。尸_LAE于尸，則四邊形ACDF是矩形，

DF=AC=a+b,

丁DF<DE,

/.a+b<c,①正確，故符合要求;

AEABdBCD,

BE=BD，CD=AB=a,AE=BC=b,XABE=/CDB，

/CBD+NCDB=90。,

：.ZCBD+ZABE=90°fNEBD=90。,

???△以汨是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BE=y/AB2+AE2=y/a2+b2

;AB+AE>BE,

:?a+Z?>J"+12,②正確，故符合要求；

由勾股定理得上2=瓦）2+5￡2,即片=2（片+〃），

:?C=0X，Q2+62</（〃+〃）,③正確，故符合要求；

故選：D.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性

質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

4.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖.ABC中，ZACB=9Q0,AB=4,AC=x,ZBAC=a,。為A3中點，

若點。為直線BC下方一點，且△BCD與ABC相似，則下列結(jié)論：①若c=45。，BC與OD相交于E,則

點E不一定是△ABD的重心；②若a=60。，則AD的最大值為；③若a=60。，ABC^CBD,則OD的

長為2石；④若八ABCsABCD,則當(dāng)x=2時，AC+CD取得最大值.其中正確的為（）

A.①④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出△ABD的重心，即可求解；當(dāng)e=60。，5c時，4。取

得最大值，進而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得AD的長，即可求解；③如圖5,若。=60。，

△ABCs.BD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得CD=后，GE=DF釜,CF=g進而求得OD,即可求

解；④如圖6,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出CD=JBC2,在Rt^ABC中，BC2=16-X2,根據(jù)二次函數(shù)的

4

性質(zhì)，即可求AC+CD取得最大值時，x=2.

【詳解】①有3種情況，如圖1,8C和都是中線，點E是重心;

如圖2,四邊形ABOC是平行四邊形，尸是4。中點，點E是重心;

如圖3,點尸不是A。中點，所以點E不是重心；

①正確

D

②當(dāng)a=60。，如圖4時AD最大，AB=4,

:.AC=BE=2,BC=AE=2』,BD=6BC=6,

DE=8,

AD=2M豐2幣,

，②錯誤；

圖4圖5圖6

③如圖5,若。=60。，Z\ABC^Z\CBD,

二ZBCD=60°,NCDB=90。,AB=4,AC=2,BC=26,OE=BCE=\,

:.CD=6,GE=DF=與,CF=^>

：.EF=DG,OG=—,

22

.?.③錯誤；

④如圖6,Z\ABC^Z\BCD,

.CDBC

,?疏一下’

1,

即8=—氏:2,

4

在RtZiABC中，BC2=16-x2,

：.。=!（16-尤2）=—!尤2+4,

4、>4

1,1,

AC+C￡）=尤——X2+4=——（X-2）2+5,

44

當(dāng)x=2時，AC+CD最大為5,

...④正確.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫

出圖形是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZC^45°,以A3為腰作等腰直角三角

形54E,頂點E恰好落在邊上，若AD=1,則CE的長是（）

A.J2B.變C.2D.1

2

【答案】A

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=VLW，ZABE=ZAEB=45。,ZBAE=90°,再判斷出點

四點共圓，在以BE為直徑的圓上，連接8。，根據(jù)圓周角定理可得/瓦組=90。，

ZADB=ZAEB=45°,然后根據(jù)相似三角形的判定可得ABDEBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：一是以A3為腰的等腰直角三角形，

:.BE=gB，ZABE=ZAEB=45。,ZBAE^90°,

AD//BC,ZC=45°,

.'.ZAZ)E=180o-ZC=135o,

/.ZADE+ZABE=180°,

.?.點AB瓦。四點共圓，在以砥為直徑的圓上,

如圖，連接

由圓周角定理得：NBDE=90。，NADB=NAEB=45。,

,\ZADB=ZC=ZCBD=45°f

...ZABD-bZDBE=45°=/EBC+/DBE,

:.ZABD=ZEBC,

ZADB=ZC

在△的￡＞和jEBC中,

ZABD=ZEBC

ABDEBC,

CE

ADAB

:.CE=-JiAD=g\=yli，

故選：A.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點,

正確判斷出點AB,召,。四點共圓，在以班為直徑的圓上是解題關(guān)鍵.

6.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖,在正方形ABCD中，點E是8上一點，延長CB至點P,使BF=DE,

連結(jié)AE,AREF,E尸交A3于點K,過點A作AGL跖，垂足為點H,交C尸于點G,連結(jié)HD,HC.下

列四個結(jié)論：?AH=HC；@HD=CD-,?ZFAB=ZDHE；@AK-HD=s[lHE2.其中正確結(jié)論的個數(shù)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形ABCD的性質(zhì)可由SAS定理證人鉆尸2"DE,即可判定AAE尸是等腰直角三角形，

進而可得==由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得由此即可判斷①正

22

APAK

確；ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,可判斷③正確，進而證明_AFKHDE,可得

HDHE

結(jié)合AF=CAH=CHE,即可得出結(jié)論④正確，由—AED隨著。石長度變化而變化，不固定，可判斷②

HD=CD不一定成立.

【詳解】解：???正方形ABCD,

AAB=AD,ZADC=ZABC=ABAD=Z.BCD=90°,

ZABF=ZADC=90°,

BF=DE,

Z^ABF^AADE(SAS),

:?ZBAF=ZDAE,AF=AE,

：.NFAE=NBAF+NBAE=NDAE+NBAE=/BAD=90。,

??.△AEF是等腰直角三角形,ZAEF=ZAFE=45°,

VAH±EF,

??.HE=HF=AH=-EF,

2

?；ZDCB=90。,

CH=HE=-EF,

2

：.CH=AH,故①正確；

又,：AD=CD,HD=HD,

：.工AHDmCHD(SSS),

：.ZADH=ZCDH=-ZADC=45°,

2

?：ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,即：45°+ZEAD=ZDHE+450,

???ZEAD=ZDHE,

AZFAB=ZDHE=ZEAD,故③正確，

又???ZAFE=ZADH=45°,

A.AFK.HDE,

.AFAK

??一?

HDHE

又AF=6AH=y/2HE，

?*-AKHD=42HE2.故④正確，

1800-45°

■:若HD=CD,則NDHC=NDCH=——-——=67.5°,

又：CH=HE,

：.NHCE=NHEC=67.5°,

而點石是。上一動點，,AED隨著DE長度變化而變化，不固定，

ZHEC=1800-ZAED-45°=135°-ZAED,

則故/HEC=67.5。不一定成立，故②錯誤；

綜上，正確的有①③④共3個，

故選：C.

【點睛】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角

形"三線合一"的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三

角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為4dm的正方形

紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成.則圖中陰影

部分的面積為dm3.

【答案】2

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點，求得0E的長，即可求解.

【詳解】解:如圖所示，

依題意，。。=也AO=2后，OE=^OD=y/2

，圖中陰影部分的面積為OE2=(V2)2=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

8.(2。23?天津?統(tǒng)考中考真題)如圖’在邊長為3的正方形至8的外側(cè)，作等腰三角形3’出=即=：

匕_a

，

cGD

(1)VADE的面積為_______；

(2)若尸為BE的中點，連接AF并延長，與8相交于點G,則AG的長為.

【答案】3屈

【分析】(1)過點E作團，AD,根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)，得到AH的長，再利用勾股定理，求

出E"的長，即可得到VADE的面積；

(2)延長E"交AG于點K,利用正方形和平行線的性質(zhì)，證明A昉AKEF(ASA),得到EK的長，進而得

到K77的長，再證明△AHKS41DG,得到空=經(jīng)，進而求出G。的長，最后利用勾股定理，即可求出AG

(JL)AU

的長.

【詳解】解：⑴過點E作及/_LAD,

BA

F,

CGD

正方形ABCD的邊長為3,

AD=3,

是等腰三角形，EA=ED=~,EH上AD,

2

13

:.AH=DH=-AD=-

22f

在中，EH7AE2-AH?=］圓-(野=2,

:.SADE=^ADEH=^X3X2=3,

故答案為：3；

(2)延長￡7/交AG于點K,

，正方形ABCD的邊長為3,

:.ZBAD=ZADC=90°,AB=3f

.\ABJ.AD,CDLAD,

EK工AD,

:.AB//EK//CD,

:.ZABF=ZKEFf

廠為跖的中點，

:.BF=EF,

在△鉆尸和jK印中，

ZABF=ZKEF

<BF=EF,

ZAFB=/KFE

.\ABF^KEF(ASA),

.?.EK=AB=3,

由(1)可知，AH^-AD,EH=2,

2

:.KH=1,

KH//CD,

:.AAHK^AADG,

KHAH

GD-AZ)

\GD=2,

在RtVADG中，AG=JA》+GD?=13?+2?=屈,

故答案為：V13.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵.

9.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，M為對角線3。的中點，點N在邊AD上，且AN=AB=1.當(dāng)

以點。，M,N為頂點的三角形是直角三角形時，4。的長為.

【答案】2或a+1

【分析】分兩種情況：當(dāng)/MVD=90°時和當(dāng)/MWD=90°時，分別進行討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)NMZVD=90。時,

:四邊形ABCD矩形，

AZA=90°,則欣V〃AB,

由平行線分線段成比例可得：黑筆,

NDMD

又???〃為對角線的中點，

：?BM=MD,

.AN_BM

"2VD-MD-'

即：ND=AN=\,

AD=AN+ND=2,

當(dāng)NMWD=90。時，

為對角線3。的中點，NNMD=90。

，MN為5。的垂直平分線，

BN=ND,

:四邊形ABCD矩形，AN=AB=1

二44=90°,則琥=，152+.="

BN=ND=>f2

AD=AN+ND=yf2+l，

綜上，AD的長為2或a+1，

故答案為：2或0+1.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫出草圖進行分類討

論是解決問題的關(guān)鍵.

10.（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，△BACZVJEB和△AEF都是等腰直角三角形，

NBAC=NDEB=ZAEF=90。，點、E在ABC內(nèi)，BE>AE,連接DR交AE于點G,￡>E交AB于點7/,連接

CF.給出下面四個結(jié)論：?ZDBA=ZEBC；②NBHE=/EGF；?AB=DF；?AD=CF.其中所有

正確結(jié)論的序號是.

D

/MK

E

F

B

【答案】①③④

【分析】由題意易得AB=AC,NA^C=45O=NDBE,AE=EF,DE=BE,Z.DEB=AAEF=ABAC=90°,

則可證A但之FED（SAS）,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進行求解.

【詳解】解：和△皿都是等腰直角三角形，

:.AB=AC,ZABC=45。=NDBE,AE=EF,DE=BE,ADEB=AAEF=ABAC=90°,

,/ZDBA=ZDBE-NABE,ZEBC=ZABC-ZABE,ZAEB=ZAED+ZDEB,ZFED=ZAEF+ZAED,

ZDBA=ZEBC,ZAEB=ZFED,故①正確；

.?…AEB名FED（SAS）,

:.AB=DF=AC,ZABE=NFDE,ZBAE=NDFE,故③正確；

,/ZABE+ZBHE=90°,ZEFD+ZEGF=90°,NBAE+ZEAC=90°,BE>AE,

：.ZBHE^ZEGF,ZEGF=ZEAC；故②錯誤；

DF//AC,

"?DF=AC,

.?.四邊形ADFC是平行四邊形，

AAD=CF,故④正確；

故答案為①③④.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，點DE在邊8C上，若NZME=30。，

tanZEAC=1,貝！.

【答案】3-百

【分析】過點A作于根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得的。=60。，再由可得

ZBAD+ZDAH-30°,再根據(jù)NBAD+/E4c=30。，可得NDAH=NEAC,從而可得

iDHDH]

tanZDAH=tanZEAC=-,利用銳角三角函數(shù)求得AH=AB?1160。=3百，再由7萬二耳河=]，求得

DH=C，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：過點A作于"，

??LABC是等邊三角形，

AB=AC=BC=6,Z^4C=60。，

?；AHLBC,

：./BAH=-ABAC=30°,

2

JZBAD+ZZMH=30°,

9：ZDAE=30°,

：.ZBAD-^-ZEAC=30°9

：.ZDAH=ZEAC,

tanZDAH=tan/EAC=—,

3

BH=-AB=3

2f

AH=AB?sin60°=6x=3^,

2

.DHDH_1

*'AH-3V3-3，

DH=6，

BD=BH-DH=3-6,

故答案為：3-6.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明N"H=NE4C是

解題的關(guān)鍵.

12.（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點尸在對角線5。上，過點P

作MN，AD,交邊AD,BC于點M,N,過點M作核，AD交5。于點E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)

96

論：①EM=EN；②四邊形地ND的面積不變；③當(dāng)?=1:2時'?BM+MN+ND^

最小值是20.其中所有正確結(jié)論的序號是.

BNC

【答案】②③④

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知MP=PN,可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出%>=10,

MN==,,利用細邊形皿血二:血^血判斷②；根據(jù)相似可以得到心也=（跡］,判斷③；利用將軍飲

22S加VBD）

馬問題求出最小值判斷④.

【詳解】解：：￡M=￡W,MN±BD,

：.MP=PN,

在點P移動過程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正確；

AMD

則為矩形,

BD=7AS2+AD2=A/62+82=10

VMELAD,MN1.BD,

ZMED+/MDE=ZMEP+ZEMN=90°,

ZMDE=NEMN,

:,jMPNsQAB,

.MPPNMN

**AD-AB-BD?

nn6PNMN

8610

915

角軍得：PN=~,MN=—,

22

%邊形"BNO=SBMN+SDMN=^-MNXBP+^MNXDP=10=日

乙乙乙乙乙乙

故②正確;

■:MEAB,

DMEs&DAB,

,MEMD2

-AB~AD~3"

：.ME=4,

VZMDE=AEMN,ZMPE=ZA=90°,

：?-MPEs^DAB,

.SMPE=（ME^4

?飛加[BDJ25,

.44196

二?SMPE=^s0AB=；^Xjx6x8=^,

故③正確，

BM+MN+ND=BM+ND+—,

2

即當(dāng)MB+A?最小時，3A/+MN+ND的最小值，作3、Z）關(guān)于AD、3C的對稱點4、2,

97

把圖1中的CR向上平移到圖2位置，使得CD=],連接BQ,即BR為MB+ND的最小值,則AC=BDX=^,

82]=12,

這時BR=dBD；+BB：=/]+12?=空,

即3M+MV+ND的最小值是20,

故④正確;

故答案為：②③④

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

13.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，以..ABC的邊A3、AC為腰分別向外作等腰直角,ABE、ACD,

連結(jié)ED、BD、EC,過點A的直線/分別交線段￡＞尸、8c于點V、N,以下說法：①當(dāng)AS=AC=3C時，

ZAED=30°；②EC=BD；③若AB=3,AC=4,BC=6,則OE=2指；④當(dāng)直線時，點M為線

段DE的中點.正確的有.（填序號）

【答案】①②④

【分析】①當(dāng)AB=AC=3C時，.ABC是等邊三角形，根據(jù)等角對等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理即可得

出NA即=NAOE=，180。-120。）=30。，進而判斷①；證明一BAZ）均E4C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；

作直線工于點N,過點。作DGLMN于點G,過點E作E"于點H,證明，AC7V絲.DAG,

ABN烏一EHMgaOGM（AAS）,即可得M是即的中點，故④正確，證明RtMEH/MDG（HL）,

可得MG=MH,在RtaABN中，AN2=AB2-BN2,在RtZvUVC中，AN2=AC2-CN2,得出a=--,

在RtMGD中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)AB=AC=3C時，ABC是等邊三角形，

ABAC=60°

：.ZEAD=360°-90°-90°-60°=120°

???等腰直角一ABE、.48,

JBA=BE,BA=AD

AE=AD

：.ZAED=ZADE=1(180°-120°)=30°；故①正確；

②：等腰直角..ABE、.ACD,

/.AB^AE,AD^AC,ZBAE=ZDAC=90°

：.ZBAD=ZEAC

：.；BAD^EAC

：.EC=BD-故②正確；

④如圖所示，作直線MN13C于點N,過點。作。G,MN于點G,過點E作EH工MN于點H,

VZBAE=90°,MNJ.BC

：.ZABN+/BAN=90°,

又NEW+/&W=90°,

ZEAM=ZABN

又：EA=AB,

：..EAH&ABN(AAS)

同理得，ACN&DAG,

：.GD=AN,AG=CN,EH=AN,AH=BN,

ZEMH=ZDMG,ZEHM=NDGM=90°,,

，-EHMaDGM(AAS),

:.EM=DM,即M是ED的中點，故④正確,

MG=MH,

設(shè)BN=a,則CN=BC-BN=6—a

在RtzXABN中，AN2=AB2-BN2

在Rt△⑷VC中，AN'=AC1-CN-

/?AB2-BN1AC--CN2

：.32-a2=42-(6-a)2

29

解得:Cl——

12

AG=CN=6-絲差

1212

297

GH=AG-AH=AN-BN=6-2a=6-2x—=-

126

7

MG^-x-=

2612

V14

在Rt_MG￡>中,

F

ED=2MD=V14，故③錯誤

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì),

等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

14.(2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點8的坐標(biāo)為(-8,6),過點8分別

作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C、點A,直線丫=-2*-6與交于點D與y軸交于點E.動點/在

線段8C上，動點N在直線y=-2x-6上，若一4WN是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，則點M的坐

標(biāo)為________

【答案】M(-8,6)或加18,1]

【分析】如圖，由-AMN是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，可得N在以AM為直徑的圓H上，

MN=AN,可得N是圓H與直線y=-2x-6的交點，當(dāng)M8重合時，符合題意，可得知(-8,6),當(dāng)N在40

的上方時，如圖，過N作軸于J,延長MB交即于K,則/NZA=NMKN=90。，JK=AB=8,證

明4MzV7T絲，.7W,設(shè)N(x,_2x_6),可得MK=NJ=-x,KN=AJ^-2x-6-6^-2x-12,而AV=AB=8,

則-2尤-12-尤=8,再解方程可得答案.

【詳解】解：如圖，是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，

；?N在以AAf為直徑的圓H上，MN=AN,

當(dāng)V,8重合時,

V5(-8,6),則H(T,3),

：.MH=AH=NH=4,符合題意，

M(-8,6),

當(dāng)N在AM的上方時，如圖，過N作軸于延長MB交卻于K,則NNZA=NMKN=90。,

JK=AB=8,

：.ZNAJ+AANJ=9Q0,

VAN=MN,ZANM=90°,

：.ZMNK-^ZANJ=90°f

：.ZMNK=ZNAJ,

:?一MNKg_NAJ,設(shè)N(%—2x—6),

：.MK=NJ=-x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,

而刈=AB=8,

*??—2x—12—九=8,

2022

解得：1=—三，貝【J—2%—6=年，

22202

CM=CK-MK=------=-,

333

???小小

綜上：”（一8,6）或〃（一8彳］.

故答案為：河（_86）或

【點睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

15.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABAC=90°,AB=AC=3^.過點C作CDL3C,延長CB到E,

使；連接若則

3E=Cr>,ED=2AE,BE=.（結(jié)果保留根號）

【答案】V7+1/1+V7

【分析】如圖，過E作EQ，。。于。，設(shè)3E=x,AE=y,可得CD=3x,DE=2y,證明8C=JLw=6,

CE-"E為等腰直角三角形，QIQ巧3爭6+33近+冬，心今，由勾股

（2才=（6+x）2+（3x）2

定理可得：2[6晨血再解方程組可得答案.

y=----x+3v2d------

22

IV/V

【詳解】解：如圖，過E作EQLC。于。,

設(shè)BE=x,AE=y,

VBE=-CD,ED=2AE,

3

CD=3x,DE=2y,

ABAC=90°,AB=AC=3&,

BC=42AB=6,CE=6+x,△CQE為等腰直角三角形,

：.QE=CQ=#CE=#（6+x）=30+?x,

AQ=^-x,

（2y）~=（6+x）~+（3x）2

由勾股定理可得：2（應(yīng)丫（廠友丫，

[y*=I—2XJ+I3/2+J2xJ

整理得：x2—2x-6=0,

解得：x=l土幣,

經(jīng)檢驗x=l-近不符合題意；

BE=尤=1+-$/7；

故答案為：1+J7.

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助

線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

16.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，NBCD=90°,對角線AC/。相交于點。.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2NCBD,則AD的長為.

【分析】過點A作4"，BC于點H,延長AD,BC交于點E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BH=HC=^BC=3,

根據(jù)勾股定理求出AH=JAC，產(chǎn)=4,證明NCBr?=NCED,得出DB=DE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出

CE=BC=6,證明CD〃A”,得出名=g,求出CD=?,根據(jù)勾股定理求出

AHHE3

DE=7CE2+CD2=Je2+f-Y=,根據(jù)CD〃AH,得出空=5與,即可6,求出結(jié)果即可.

3AOCH—^-=-

【詳解】解：過點A作A”,3c于點X,延長AD,BC交于點、E,如圖所示:

A

BHCE

則NAHC=NA/ffi=90。，

,.?AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=-BC=3

2f

：?AH=1AC2-CH2=4,

?；ZADB=NCBD+NCED,ZADB=2ZCBD,

：./CBD=/CED,

：?DB=DE,

/BCD=90°,

：.DC±BE,

：.CE=BC=6,

:.EH=CE+CH=9,

VDC.LBE,AHLBC,

：.CD//AH,

：,jECD'EHA,

.CDCE

^~AH~HE9

目門CD6

即——=-,

49

Q

解得：CD=~,

???DE=y/CE2+CD2=,

'：CD//AH,

.DECE

??茄一麗’

2屈

即3_6,

AD~3

解得：AD=X.

3

故答案為：叵.

3

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，

相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理

及相似三角形的判定與性質(zhì).

17.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形

ABC（NA=90。）硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中。，E,P分別為AB,AC,BC的中點，G,〃分別

為3尸的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四

邊形中周長的最小值為，最大值為.

【答案】88+2垃

【分析】根據(jù)題意，可固定四邊形GFCE,平移或旋轉(zhuǎn)其它圖形，組合成四邊形，求出周長，判斷最小值,

最大值.

圖1

如圖1,BC=4,AC=4?*2五,CI=BD=CE=^AC=72

DI=BC=4

.,?四邊形3CTO周長=4+4+2應(yīng)=8+2忘;

如圖2,AF=AI=IC=FC=2

四邊形AFC7周長為2x4=8；

故答案為：最小值為8,最大值8+20.

【點睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過平移、旋轉(zhuǎn)組成滿足要求的四邊形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

18.（2023?北京.統(tǒng)考中考真題）在，ABC中、ZB=ZC=a（0°<a<45°）,4W_LBC于點。是線段MC

上的動點（不與點C重合），將線段DM繞點。順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

（1）如圖1,當(dāng)點E在線段AC上時，求證：。是MC的中點；

（2）如圖2,若在線段8M上存在點/（不與點8,M重合）滿足。尸=DC,連接AE,EF,直接寫出上4￡萬

的大小，并證明.

【答案】（1）見解析

（2）ZAEF=90°,證明見解析

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=ZMDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出/￡>EC=tz=NC,可

得DE=DC,等量代換得到DM=OC即可；

（2）延長EE到"使巫=田，連接CH,AH,可得DE是的中位線，然后求出，3=設(shè)

DM=DE=m,CD=n,求出班'=2〃?=CH,證明ABFACH（SAS）,得到”=A〃，再根據(jù)等腰三

角形三線合一證明AE，即可.

【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,ZMDE=2a,

???ZC=cr,

JZDEC=ZMDE-ZC=a,

:./C=/DEC,

：.DE=DC,

：?DM=DC,即。是MC的中點；

(2)ZAEF=90°；

證明：如圖2,延長FE到H使FE=EH,連接C",AH,

,:DF=DC,

???OE是VAm的中位線，

ADE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,ZMDE=2a,

：.ZFCH=2a,

?:/B=/C=a,

???ZACH=a,ABC是等腰三角形,

:.NB=NACH,AB=AC,

設(shè)DM=DE=m,CD=n,則CH=2m,CM=m+n,

DF=CD=n,

FM=DF-DM=n-m,

AMYBC,

BM—CM=m+n,

BF=BM—FM=m+n—{n—m)=2m,

JCH=BF,

AB=AC

在AAB歹和-AC”中，＜NB=NACH,

BF=CH

：.ABF=ACH(SAS),

JAF=AH,

,:FE=EH,

AAE^FH,即戶=90。.

圖2

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及

全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

19.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖①，ABC和VADE是等邊三角形，連接OC,點分別是。E,DC

和3c的中點，連接FG,FH.易證：FH=6FG.

若，和VADE都是等腰直角三角形，且ZB4C=ND4E=90。，如圖②：若一ABC和VADE都是等腰三角

形，且N朋C=NR4E=12O。，如圖③：其他條件不變，判斷加和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想,

并利用圖②或圖③進行證明.

圖②

【答案】圖②中尸8=0FG，圖③中FH=FG,

【分析】圖②：如圖②所示，連接BDHG,CE,先由三角形中位線定理得到fG〃CE,FG=；CE,

GH//BD,GH=-BD,再證明得到CE=3DZACE=ZABD,則尸G=〃G,進一步證

2

明ZFGH=90。，即可證明是等腰直角三角形，則FH=&/G;

圖③：仿照圖②證明是等邊三角形，則FH=/G.

【詳解】解：圖②中切=應(yīng)2，圖③中切=bG,

圖②證明如下:

如圖②所示，連接BDHG,CE,

:點孔G分別是DE,DC的中點,

FG是..CDE的中位線，

/.FG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃班＞,GH=-BD,

2

???.ABC和VAD后都是等腰直角三角形，且NR4C=NZME=90。,

：.AB=AGZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS),

:?CE=BD,NACE=NABD,

：.FG=HG,

,:BD〃GH,FG//CE,

：.ZFGH=AFGD+ZHGD

=NDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+NDCB+NACD+NACE

=ZDBC+ZABD+NACB

=ZACB+ZABC

=90°,

??.△HGb是等腰直角三角形，

FH=yf2FG;

圖③證明如下：

如圖③所示，連接BDHG,CE,

??,點/，G分別是DE的中點，

???/G是一8￡的中位線，

AFG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃BD,GH=-BD

2f

???ABC和VADE都是等腰三角形，且NB4C=NZME=120。,

AAB=AGZBAD=ZCAE,AD^AE,

.?.AABD^AACE(SAS),

ACE=BD,NACE=NABD,

FG=HG,

,:BD〃GH,FG//CE,

:.ZFGH=/FGD+ZHGD

=NDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+NDCB+ZACD+NACE

=ZDBC+/ABD+ZACB

=ZACB+ZABC

=180°-ZBAC

=60°,

???△以；咒是等邊三角形，

:.FH=FG.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股

定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

20.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

A

F

備用圖

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在.ABC和△&￡/中，AB^AC,AE=AF,ABACZEAF=30°,連接BE,CF,

延長BE交CF于點D.則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：,ZBDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在，ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=120°,連接BE,CF,

延長BE,FC交于點。.請猜想座與CF的數(shù)量關(guān)系及N3DC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,ABC和△AEF均為等腰直角三角形，/B4C=/E4F=90。，連接M,CF,且點8,

E,P在一條直線上，過點A作AMLM,垂足為點則2尸，CF,4〃之間的數(shù)量關(guān)系：；

(4)實踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB=2,若平面內(nèi)存在點P滿足ZBPD=90。，PD=1,貝IS△皿＞=

【答案】(1)BE=CF,30

(2)BE=CF,ZBDC=60°,證明見解析

(3)BF=CF+2AM

《3或u

44

【分析】(1)根據(jù)已知得出=田，即可證明,BAE空。LF,得出BE=CF,ZABE=ZACF,進

而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；

(2)同(1)的方法即可得證；

(3)同(1)的方法證明△A4EZZXC4/(SAS),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AM=^后尸=EM=M/，

即可得出結(jié)論；

(4)根據(jù)題意畫出圖形，連接以3D為直徑,8。的中點為圓心作圓，以。點為圓心，1為半徑作圓，

兩圓交于點尸遙，延長3P至使得PM=OP=1,證明.皿1sBDM,得出尸4=巫8加，勾股定理

2

求得PB,進而求得BM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出PA=*