2024-2025學(xué)年北京市大興區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

2025北京大興高二（上）期末

數(shù)學(xué)

2025.01

本試卷共4頁(yè),150分.考試時(shí)間120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后,

將答題卡交回.

第一部分（選擇題共40分）

一，選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知直線/經(jīng)過(guò)4（-1,0）,3（0,-1）兩點(diǎn)，則直線/的傾斜角為（）

2.已知兩個(gè)向量益=（1,一L1）?，“m（2,加,〃）,且則m+n=（）

A.-2B.0

C.2D.4

22

3.已知雙曲線」1+4=1的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

m-12-m

A.（y,l）B.（1,2）

C.（l,+oo）D.（2,+8）

4.用0?9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.480B.504

C.648D.720

5.已知拋物線C：V=_4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸在拋物線C上，若|所|=3,則尸到>軸的距離是（）

A.2B.3

C.4D.5

6.在（2/-4）5的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

7x

A.-10B.10

C.36D.80

7.如圖，在四面體Q4BC中，點(diǎn)邑F分別為的中點(diǎn)，則方=（）

o

B.-OA+-OB--OC

222

1—?1.1―?—.—.1—.

C.-OA+-OB+-OCD.OA+OB+-OC

2222

8.已知直線，：y=x+）和曲線C*-#7手=。，則“直線/與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“T<6W1”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為工過(guò)原點(diǎn)的直線/與C交于48兩點(diǎn)，若斯，且網(wǎng)=3|明，則橢

圓C的離心率為（）

A.叵B.9

58

C.叵D.2

45

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（1,0），動(dòng)點(diǎn)M滿足以MA為直徑的圓與y軸相切.過(guò)A作直線x+（機(jī)-1）y+2m

-5=0的垂線，垂足為民則|M4|+|MB|的最小值為（）

A.2-72B.2+72C.75-V2+1D.3-72

第二部分（非選擇題共110分）

二，填空題共5小題,每小題5分洪25分.

11.若A；=4C：測(cè)〃=.

x1

12.與雙曲線L-y2=l有相同焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓的方程可以是.

3-

13.已知直線乙：x-y+3=0%：2x+y=0相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，圓C:V+y?_2x+4y+l=0,過(guò)點(diǎn)A作圓

C的切線，則切線方程為.

14.正方體ABCD-A^QD.的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)M在線段CCi上，動(dòng)點(diǎn)P在平面48cA上，且AP/平面力〃犯.

（I）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度為.

（II）線段AP長(zhǎng)度的最小值為.

15.如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知

橢圓C:工+V=1,其左,右焦點(diǎn)分別是&工,尸為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線/與橢圓C相切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與/垂直的直線

4

與橢圓的長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M,4PM=/8尸M,點(diǎn)。（0,幾）,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①面積的最大值為由.

②|PQ|+|P瑪|的最大值為7.

③若|加|=|次|廁尸用=3|尸詞.

④若BRL，垂足為R（x°,%）,則片+乂=5.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三，解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.已知（2x-iy（〃eN*）的展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64.

⑴求〃的值.

⑵求該展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.

17.已知拋物線C:y2=2"x（p〉0）,其準(zhǔn)線方程為兄二一1.

⑴求拋物線。的方程.

⑵直線/：y=x-1與拋物線。交于不同的兩點(diǎn)AB,求以線段AB為直徑的圓的方程.

18.某個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為20千米的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船

正西40千米處，港口位于小島中心正北30千米處.

⑴如圖，小島中心在原點(diǎn)。處，取10千米為單位長(zhǎng)度，在圖中標(biāo)出輪船和港口的位置.

%

4-

3-

2

小島中d

??、

-4-3-2-IO1234x

-1

-2

-4

（2）如果輪船沿直線返港用坐標(biāo)法判斷該輪船是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，并說(shuō)明理由.

19.如圖1,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZBAD=60°,E是CD的中點(diǎn)，將△BCE沿著防翻折，使點(diǎn)C到點(diǎn)P處，連接PA,PD，得

到如圖2所示的四棱錐P-ABED

(1)證明：BE±PD.

⑵當(dāng)NPED=120。時(shí),求平面尸與平面PBE的夾角的余弦值.

22

20.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:>%=l[a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F,,F2,A為橢圓C的上頂點(diǎn),耳為等腰直角

三角形，其面積為L(zhǎng)

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵直線/交橢圓c于P,。兩點(diǎn)，點(diǎn)W在過(guò)原點(diǎn)且與/平行的直線上,記直線WP,WQ的斜率分別為的面積為

S.從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立.

①s=1,②左危=一;，③W為原點(diǎn)0.

22

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,用變換公式[,=G+"+G(a,6,c,機(jī),為常數(shù))，將點(diǎn)尸(x,y)變換成點(diǎn)尸’(工廳),稱該

Iy=mx+ny+p

變換為線性變換.

(1)線性變換1：將點(diǎn)尸(無(wú),y)向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)尸(x',y),求線性變換1的變換公式,并求將

點(diǎn)A(l,2)按線性變換1變換后，所得新的點(diǎn)A的坐標(biāo).

22

⑵線性變換2：將點(diǎn)尸(x,y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)彳后,得到點(diǎn)P(x',/).求線性變換2的變換公式，并求將橢圓C:?+]=1

上所有點(diǎn)按線性變換2變換后，所得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程.

(3)若曲線E的方程為尤孫+/+2x+y-2=0,證明：曲線E上所有點(diǎn)的坐標(biāo)經(jīng)過(guò)線性變換后滿足橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并

求出該標(biāo)準(zhǔn)方程.

1.D

【分析】利用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式與k=tan。,即可求得結(jié)果.

-1-0

【詳解】直線/經(jīng)過(guò)A（T0）,5（0,-l）兩點(diǎn),所以左二相而=-1.

Q-jr

又傾斜角的取值范圍為，目0,兀），所以。=寧.

故選：D

2.B

【分析】利用向量共線定理，可得"A"的值，即可得到結(jié)果.

【詳解】向量乙=（1,-1,1）孰“=（2m,n）,n.a//b，則存在實(shí)數(shù)2，使得a=Ab.

1=2A

即（1,T1）=彳（2,力2,哈所以卜1=成，解得＜

m=-2.

1=nAn=2

故根+〃=-2+2=0.

故選：B

3.D

【分析】根據(jù)方程表示的雙曲線特征，列相應(yīng)不等式，即可求解.

【詳解】由雙曲線上:+工=1的焦點(diǎn)在X軸上.

m-12-m

[m—1＞0/、

可得2_機(jī)＜0，,機(jī)＞2,即機(jī)的范圍為（2,+8）.

故選：D

4.C

【分析】直接根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)榘傥徊粸?,有9個(gè)數(shù)字可選.

則十位有9個(gè)數(shù)字可選.

個(gè)位有8個(gè)數(shù)字可選.

所以可以組成9x9x8=648個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

故選：C.

5.A

【分析】利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離相等，即可得到答案.

【詳解】拋物線C:y2=-4x的焦點(diǎn)為JF的坐標(biāo)為JF（-l,0）,準(zhǔn)線為：x=l.

由點(diǎn)P到x=1的距離為3,可知尸到J軸的距離是2.

故選：A

6.B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，進(jìn)而確定常數(shù)項(xiàng)即可.

1\r=(-l)r-25-r-C；/^,r=0,1,---,5.

【詳解】由題設(shè)，展開(kāi)式通項(xiàng)為4+1=仁（2-）5-，（一忑)

令10-彳=Onr=4,則常數(shù)項(xiàng)7；=(-1)4.2。=10.

故選：B

7.A

【分析】根據(jù)空間向量的加減以及數(shù)乘運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解］由題意可得而=礪一詼=g元（函+而）=_（函一（而+^^?.

故選：A.

8.B

【分析】分析曲線。表示的圖形，根據(jù)直線/與曲線。有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)求出b的范圍，利用集合間的包含關(guān)系可得結(jié)

果.

【詳解】由尤一11二手=0得

曲線C表示以（0,0）為圓心，以I為半徑的圓的右半部分，包括y軸上的點(diǎn).

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)A（0,l）吐由1=0+6得人=1,此時(shí)直線/與曲線c有一個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)。（0,T）時(shí)，由-1=0+6得6=-1,此時(shí)直線/與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)直線/與曲線C相切于點(diǎn)8時(shí),由圓心到直線I的距離等于半徑得.

\b\_

［儼+（］）2=1,解得6=_亞或6=&（舍）.

當(dāng)直線/與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),-1<641或6=一行.

記集合“={6|—1<6<1或6=—點(diǎn)}仆=回一1<641}.

由N星M得“直線/與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“-1<bW1”的必要而不充分條件.

故選：B.

9.C

【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸-由橢圓的對(duì)稱性以及題設(shè)條件可得四邊形4好巧為矩形，結(jié)合題設(shè)和橢圓定義推出

IMl=|,IAF|=彳,利用勾股定理可求出關(guān)系式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,由橢圓的對(duì)稱性可得IAF,|=|BF\,\BFX|=|AF\,

%

則四邊形AFBK為平行四邊形，結(jié)合AF±斯，則四邊形AFBFX為矩形.

則AF^AF.

由|AF|=3忸同，得|舒卜=3|四

又|A￡|+W廁|時(shí)局,|4斤|七.

在RtAAM中,從片F(xiàn)+,用2=忻國(guó)2,即9+號(hào)=船2.

則￡=叵，即橢圓c的離心率為e=典.

a44

故選：C

10.D

【解析】根據(jù)題意，設(shè)M(x,y)，求出M點(diǎn)軌跡方程產(chǎn)=4尤,即可得M的軌跡是拋物線，其焦點(diǎn)為A(1,0)，準(zhǔn)線為x=-

1,過(guò)點(diǎn)〃作與準(zhǔn)線垂直,且交準(zhǔn)線于點(diǎn)2分析可得直線x+(m-1)y+2%-5=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(3,-2)，設(shè)P(3,-2),

由點(diǎn)8性質(zhì)可得8在以AP為直徑的圓上，由拋物線的定義可得又由|MA|=|MQ|,則\MA\+\MB\=\MD\+\MB\Mxt

\MD\+\MC\(C為AP中點(diǎn),圓心)結(jié)合圖形分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)M(x,y)，以MA為直徑的圓的圓心為(UV).

又由動(dòng)點(diǎn)M滿足以M4為直徑的圓與y軸相切，則有(丁)2=(--1)2+4)2.

變形可得：產(chǎn)=4工

則"的軌跡是拋物線，其焦點(diǎn)為A(1,0)，準(zhǔn)線為》=-1.

過(guò)點(diǎn)M作MD與準(zhǔn)線垂直,且交準(zhǔn)線于點(diǎn)D.

設(shè)直線/為％+(m-1)y+2m-5=0,變形可得m(y+2)=y-x+5.

???可得直線/經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(3,-2).

設(shè)尸(3,-2)，設(shè)AP的中點(diǎn)為C,則C的坐標(biāo)為(2,-1),|CP|=VL

若A8，則8在以AP為直徑的圓上，該圓的方程為(x-2>+(y+1)?=2.

又由|MA|=\MD\,^\\MA\+\MB\^\MD\+\MB\.

則當(dāng)CM。三點(diǎn)共線時(shí),|M4|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值為圓(x-2y+(y+l)2=2上的點(diǎn)到D的最小值.

此時(shí)IMAI+IA/B回加=|CZ)|-r=3_亞.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，涉及直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出M的軌跡方程,屬于綜合題.

11.6

【分析】利用排列數(shù)公式,組合數(shù)公式計(jì)算可得答案.

【詳解】若A：=4C：測(cè)5x4x3=4x也』

2

角畢得〃=6,或〃=一5舍去.

故答案為：6.

12.y+y2=l(答案不唯一，焦點(diǎn)為(±2,0)即可)

【分析】先求出雙曲線的焦點(diǎn)，從而得到橢圓的焦點(diǎn)，進(jìn)而得到橢圓的方程.

【詳解】由雙曲線方程可知，其焦點(diǎn)在X軸上,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0).

22

故可設(shè)橢圓方程為f2=1(〃>b>0),貝U片一人2=4.

ab

取片=5萬(wàn)=1,則橢圓的方程為］+y2=l.

故答案為：y+/=l(答案不唯一，焦點(diǎn)為(±2,。)即可).

13.A(-L,2)x=-i或3x+4y-5=o

【分析】第一空兩直線方程聯(lián)立得方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo),第二空利用圓心到切線的距離等于半徑可得關(guān)于k的方

程.解得k值。設(shè)直線方程時(shí)注意斜率存在和不存在兩種情況。

7

【詳解】聯(lián)立43+3=0,/2:2%+y=。得A(-l,2).

若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為y-2=左。+1).

kx-y+2+k=Q.

Z+2+2+左3

?2=——,?k---

?,VFTT…4.

若斜率不存在，則切線方程為x=-l.

綜上，切線方程為x=-l或3x+4y-5=o.

故答案為：A(-1,2),X=-1或3x+4y-5=0.

14.V2顯

2

【分析】(I)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，可以得到點(diǎn)P與點(diǎn)耳重合，從而可得AP的長(zhǎng)度.

(II)利用線面垂直得到等量關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)求解最值.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn),DC,DDt所在直線分別為龍,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M(O,1,777),P(x,y,1),則

Q=(x-1,y,1),甌=(-1,-1,1),兩=(-1,0,rri).

,一~[AP-BM=0fl-x+m=Q

因?yàn)槠矫鍹B。,所以

[APBDi=0(2—x—y=0

(I)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，機(jī)=0,x=y=l,此時(shí)”的長(zhǎng)度為

(II)網(wǎng)=7(^-1)2+/+1=J2y2_2y+2>手.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中的垂直關(guān)系及動(dòng)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題.動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的長(zhǎng)度變化，要尋求其中不變的關(guān)系式，綜合運(yùn)用

其他知識(shí)求解.

15.①②③

【分析】對(duì)于①：根據(jù)橢圓性質(zhì)分析判斷，對(duì)于②：根據(jù)橢圓定義結(jié)合幾何性質(zhì)分析判斷，對(duì)于③：應(yīng)用角平分線的性質(zhì)

及余弦定理即可求解，對(duì)于④，延長(zhǎng)《位耳尸交于點(diǎn)G,應(yīng)用對(duì)稱性及圓的定義即可求解.

【詳解】由橢圓方程可知：a-2,b-l,c—yja2-b2=6.

對(duì)于①：當(dāng)點(diǎn)尸為短軸頂點(diǎn)時(shí),AP耳&面積的最大，最大值為gx2看xl=V^,故①正確.

對(duì)于②：因?yàn)殁钪?|尸周=2a=4,則|桃|=4-歸耳|.

可得|PQ|+|PK|=4+|尸@一|尸娟<4+|耳@=4+7?獲=7.

所以I尸21+1尸&I的最大值為7,故②正確.

對(duì)于③：由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，得點(diǎn)P與/垂直的直線為角/耳尸鳥(niǎo)的角平分線.

\FtM\\FtP\

可巡"WMI1^1'

設(shè)戲=$泮則—

可得|9|=迪,|岬|=各匣,|月月|=四,|凡尸|=2.

則cos/F、PM=cosZMPF2.

明一1z,

24k2也42A/3

\+k1+k1+k1+k

整理可得左2_4左+3=o,解得上=1或左=3.

PE\EM\

當(dāng)左=1時(shí)，1=EJ=I，M與。重合，不合題意?

PF?\F2M\

所以無(wú)=3,即|P周=3|巡故③正確.

對(duì)于④：如圖,延長(zhǎng)耳尺《尸交于點(diǎn)G.

則在APF2G中,PR1GF2,ZF2PR=ZGPR.

則|PR|=|PG|且R為礙；中點(diǎn)，連OR.

在中,|OR|=J片口=；(|3|+|尸@)=?|尸用+忸用)=〃=2.

則點(diǎn)R在以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上，即焉+￥=4，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③④：解題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用角平分線的定義與性質(zhì)，構(gòu)建相關(guān)量之間的關(guān)系，進(jìn)而解題.

16.(l)n=6

(2)1

【分析】(1)根據(jù)各二項(xiàng)式系數(shù)的和可得〃的值.

(2)利用賦值法可求得所有項(xiàng)系數(shù)和為1.

【詳解】(1)由所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,可知2"=64.

可得”=6.

3456

(2)設(shè)二項(xiàng)式可化為(1-2x)6_/+。述+電/+a3x+a4x+a5x+a6x.

令x=1,則(1-2xI)，=a。+q+/+/+/+%+%=1.

所以展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1.

17.(l)y2=4x

⑵(x-3y+(y-2)2=16

【分析】(1)根據(jù)準(zhǔn)線方程，確定P,即可求拋物線方程.

（2）首先直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo)以及弦長(zhǎng),即可求解圓的方程.

【詳解】（1）由題意知-光=-1,所以0=2.

所以拋物線C的方程為y2=4x.

（2）聯(lián)立卜=4羽，得9-4>-4=0,其中A=32>0.

[y=x-i

設(shè)4（*1，%）,B（>2,乃），線段A3的中點(diǎn)為。（飛,%）.

則X+%=4,%%=-4,所以％=%；%=2,x（）=%+l=3.

\AB\=J（%-龍2y+（?-%）2=M（M+%）2_4%T=8.

所以以線段A3為直徑的圓的圓心為（3,2）泮徑為4.

所以以線段為直徑的圓的方程為（X-3了+（y-2）2=16.

18.（1）作圖見(jiàn)解析

（2）不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)方位角的概念直接在圖中標(biāo)出即可.

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求出航線的直線方程及圓的方程，利用判別式法判斷直線與圓的位置關(guān)系，即可判斷.

【詳解】⑴

外

4-

3-港口

2-

小島中小輪船

1111（IIII,?

-4-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

-4-

（2）以小島中心為原點(diǎn)。，東西方向?yàn)?軸，建立上圖所示的直角坐標(biāo)系.

為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，取10千米為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（。，3）.

輪船所在位置坐標(biāo)為（4,0）.

則受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為爐+V=4.

輪船航線所在直線I的方程為|+j=lgp3x+4y-12=0.

尤2+廣=4z

由<J二八八,得25/一72X+80=0?

3x+4y-12=0

由A=(-72)2-4x25x80<0,可知方程組無(wú)解.

所以直線/與圓0相離,輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).

19.（1）證明見(jiàn)解析

3A/1?

⑵丁

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BE通過(guò)線面垂直可得線線垂直.

（2）以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用空間向量計(jì)算兩平面夾角的余弦值可得結(jié)果.

【詳解】（1）

如圖1,連接3D

,/四邊形ABCD為菱形,44D=60。,ABCD為等邊三角形.

是CD的中點(diǎn),BELCD.

在圖2中,BE_LDE,8E_LPE.

DEI2"=石,。石（=平面/汨,尸石匚平面「￡）￡；,；.跳;_L平面P￡>E.

尸￡>u平面PDE,BEVPD.

(2)在平面PDE內(nèi)，過(guò)E點(diǎn)作EQ±DE，則ZPEQ=APED-900=120c-90°=30。.

由（1）可知平面尸DE,；EQu平面尸￡史,；.8E1.E2.

?/BE±DE,BE±QE,；.EB,ED,EQ兩兩垂直.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，磯*，班,EQ所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則P(-l,0,^),￡(0,0,0),0(2,0,0),5(0,2^,0).

???BP=(-1,-2A/3,百)，詼=(2,—2g,0),麗=(0,26,0).

設(shè)平面的法向量為根=(石，y,Z]).

一再-+A/5Z]—0

2xl-2y/3yl=0

令玉=百，則%=1,4=3,???加=(小,1,3).

設(shè)平面PBE的法向量為〃=(%2，%，Z2)-

-x?-+*\/322—0

2a%=0

令％2=6，得%=°，Z2=1,「?〃=(A/3,0,1).

設(shè)平面尸5。與平面PBE的夾角為氏則

平面尸與平面尸BE的夾角的余弦值為豆叵.

13

20.⑴]+/=1

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求出a,b,c,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵⑴選②③為條件：設(shè)「(石,乂),。(七%)，分/斜率存在和不存在兩種情況討論」斜率存在時(shí),設(shè)/為>=履+乙由

柩2=T可得中2+2%%=0(*),聯(lián)立直線/與橢圓的方程，得X"%%,代入(*)可得左和r的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出1尸。1,

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出。到/的距離a根據(jù)S=g|PQ|V即可求出S,(ii)選①③為條件：設(shè)尸(3,%),以孫％),分/

斜率存在和不存在兩種情況討論.當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)直線/的方程為：>=履+人聯(lián)立直線和橢圓方程可得

司,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|PQ,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出。到直線/的距離a根據(jù)S=:|尸。可得左和f的關(guān)系

表示出口%,根據(jù)飆=21匹即可求出桃2,(出)選①②為條件：設(shè)外冷％)。每,%),皿(%,%),分/斜率存在和不存在兩

X\X2

種情況討論.當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)W(x0,履o),直線/的方程為：？=履+匕聯(lián)立直線和橢圓方程可得占+%，卬[根據(jù)

弦長(zhǎng)公式求出|尸。|,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出W到直線/的距離d,根據(jù)5=，戶0?〃可得％和r的關(guān)系，表示出根

據(jù)%#2=即可求出w的坐標(biāo).

XxX2

【詳解】(1)記，聞=2c,由題意知：|M[=|M|=a,2c=W.

,**S"F2=5"=1,解得〃=血.

.*./?=1,C=1.

:?橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y+y2=l.

（2）⑴選②③為條件：設(shè)尸（孫馬）?

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限.

則由秘2=-；,可得《=交.

22

此時(shí)直線府的方程為y=*x,與J+y2=l聯(lián)立，解得P1,

??0---?

2

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)直線/的方程為：y=kx+t.

貝|］勺攵2=型2二一；,即菁龍2+2%%=。.

*^1"2'

將〉=+t代入,+y2=1得：（1+2左2）/+4依+2/-2=0

.4kt2r-2

..再+々=_]+2/2,再馬

1+2公

22

2t-2k

必必=（g+，）（丘2+。=kx1x2+ktE+%）+/=------

1+2k

2

Of—7產(chǎn)_,“2

2■二+2=0,即1+2左2=25.

1+2K1+2/

?點(diǎn)。到直線I的距離d=-^=

V1+V

,1+2%2T2一也

s---2y/2-yJ\+k2■

2ViTF1+2/一2

綜上，①成立.

（ii）選①③為條件：設(shè)尸（看,幼,。（孫為）.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限.

則由5=字可得5=/「2%"飛=字

又J+y；=l,解得尸1,

k1k2=--

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)直線/的方程為：y^kx+t.

將〉=履+/代入]+y2=1得：（1+2二卜2+4依+2〃-2=0.

.4kt2t2-2

\PQ\=Jl+\2N_司=-Jl+k2-J（X1+X）2—4為馬=2A/2-yjl+k2-

‘1+1+22公"

:點(diǎn)0到直線l的距離d=-^L=.

yjl+2k2-t2,1+2左2-2亞

—=V2-|z|-

,1+k21+2F1+2兀22

即1+2二=2產(chǎn).

_t2-2k2

x%=(何+f)(fcc+f)=k2xx+kt(%[+x)+f2

2t221+2/?

t2-2k1

222

?kk=_1+2k,2_t-Ik1-t

1222

-"^2-lt-l~lt-l2

l+2k2

綜上，②成立.

(iii)選①②為條件：設(shè)P&,%%,W(%為).

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，則Qa，f),W(O,%).

***S=~xi,2M=X,M=，又?"+犬=1，解得尸[1，

,Q

??Avi5,:?%二。.

；?w(o,o)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足題意.

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)W5,網(wǎng)),直線I的方程為：y=kx+t.

將〉=履+1帶入J+V=i得：(l+2^2)x2+4to+2z2-2=0.

4kt2t2-2

??X+X=------------7，XX=---------7

1?1?2

-1+2/]+2左2

|=Jl+k2|石-W|=Jl+女2,J(再+%2)—=2,\/2,Jl+k?,Jl+2左2T2

1+2公

點(diǎn)W到直線l的距離d=~^=.

/.S=--J=-2V2-V1+^2-Vl+2^2-r2g2k2T

=忘,『卜

2ViTF1+2左21+2產(chǎn)~~~T

22