四川省瀘州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 含解析

瀘州市高2023級高一上學(xué)期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題的答案標(biāo)號涂黑.3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小感，每小題5分共40分.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集定義分析可得.【詳解】由題知，又，所以，所以，即.故選：D2.托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義，逐項判斷即可.【詳解】對于A，集合中的元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中沒有元素與之對應(yīng)，A不是；對于B，集合中的元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中沒有元素與之對應(yīng)，B不是；對于C，集合中的每個元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一元素與之對應(yīng)，C是；對于D，集合中的元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中沒有元素與之對應(yīng)，D不是.故選：C3.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行計算.【詳解】由，則，所以.故選：B4.已知實(shí)數(shù)x，y，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷即可.詳解】當(dāng),取,可得,充分條件不成立;,必要條件成立;故選：B.5.已知，，，則a，b，c三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷大小.【詳解】因為，，，故.故選：C6.下列命題的否定是真命題的是（）A.每個正方形都是平行四邊形B.是無理數(shù)，是無理數(shù)C.，D.，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】【分析】利用相關(guān)知識，逐一分析各命題的真假性，從而得到其否定的真假性，由此得解.【詳解】對于A，顯然每個正方形都是平行四邊形，故該命題是真命題，所以該命題的否定是假命題，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，滿足是無理數(shù)，但是有理數(shù)，故該命題是假命題，所以該命題的否定是真命題，故B正確；對于C，當(dāng)時，滿足，此時，故該命題是真命題，所以該命題的否定是假命題，故C錯誤；對于D，對于方程，有恒成立，故該命題是真命題，所以該命題的否定是假命題，故D錯誤；故選：B.7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，則15h后還剩污染物的百分?jǐn)?shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求出，然后帶入，即可求出15h后還剩污染物的百分?jǐn)?shù).【詳解】根據(jù)題意時，，又在前5h消除了的污染物，則，則15h后還剩污染物為，所以15h后還剩污染物的百分?jǐn)?shù)為.故選：C8.已知函數(shù)，若方程的實(shí)數(shù)解有3個，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，并求兩個分段函數(shù)的最值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析，得出結(jié)果.【詳解】如圖，當(dāng)時，，當(dāng)時，有最小值，此時；當(dāng)時，單調(diào)遞增，若方程的實(shí)數(shù)解有3個，則y=fx與有3個不同的交點(diǎn)，則,即.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中.有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性的定義與性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為的定義域為，且，可知為偶函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增，可知在0,+∞上單調(diào)遞減，故A正確；對于選項B：當(dāng)時，；當(dāng)時，；且，可知在0,+∞上不是單調(diào)遞減，故B錯誤；對于選項C：因為的定義域為R，且，可知為偶函數(shù)，若，則在0,+∞上單調(diào)遞減，故C正確；對于選項D：因為的最小正周期為，可知在0,+∞上不單調(diào)，故D錯誤；故選：AC.10.已知，則下列不等關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用特值法排除部分答案，剩余選項用不等式性質(zhì)證明.【詳解】取，a=2，對C：，不成立，故C錯誤；對A：，故A成立；對B：，因，所以必定成立，即原不等式成立，故B正確；對D：，因為，故原不等式成立，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)的最小正周期是，則B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，函數(shù)的對稱中心為（）D.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】函數(shù)（），對于A，的最小正周期，則A正確；對于B，當(dāng)時，，，則B正確；對于C，當(dāng)時，函數(shù)，，則其對稱中心為，故C錯誤；對于D，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則，，又，則D正確；故選：ABD12.已知函數(shù)的定義域為R，滿足，且，則（）A.B.為奇函數(shù)C.D.【答案】ACD【解析】【分析】采用賦值法為突破口，分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).【詳解】對A：令x=1，，則，因為，所以，故A正確；對B：令x=0得：，結(jié)合可得，所以fx對C：令可得：，因為，所以，進(jìn)一步可得：，又，，故，故，依次有,所以，故C正確；對D：令可得：;用代替，得：，結(jié)合C的結(jié)果，可得：，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：如何賦值是解決問題的關(guān)鍵.AB相對簡單，對C，令得到后進(jìn)一步可得到數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系，可求結(jié)果，對D，用和用代替，是解決問題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．（2）本部分共10個小題，共90分．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若冪函數(shù)圖像過點(diǎn)，則此冪函數(shù)的解析式是________【答案】【解析】【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式,代入點(diǎn)坐標(biāo),即可求得解析式.【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為因為冪函數(shù)圖像過點(diǎn)所以,解得所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義及解析式求法,屬于基礎(chǔ)題.14.已知扇形的圓心角，弧長為，扇形的面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式，結(jié)合弧長公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，因為弧長為，所以，扇形的面積為：，故答案為：15.若，且，則___________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合之間的關(guān)系解得，代入運(yùn)算即可.【詳解】因為，兩邊平方可得，解得，且，可得，，則，又因為，可得，聯(lián)立方程，解得，所以.故答案為：2.16.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)a，b滿足且，若在上的最大值為2，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象變換求，的值可得結(jié)果.【詳解】如圖：因為，且，所以，所以，又函數(shù)在遞減，所以：.故.，由.所以：故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當(dāng)時，求；（2）在①；②．這兩個條件中任選一個作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】（1）1,2（2）0,1.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.（2）選擇一個條件，根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集、并集運(yùn)算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由題當(dāng)時，，，所以.【小問2詳解】若選①，則由得，又，則若，需且，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.若選②，由知，又，則若需且，得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18.已知函數(shù)，其中．（1）若關(guān)于x的方程有兩實(shí)數(shù)根，且兩實(shí)數(shù)根之積等于1，求k的值；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用二次方程的韋達(dá)定理即可得解；（2）分類討論的取值范圍，結(jié)合二次不等式的解法即可得解.【小問1詳解】因為，所以由，得，整理得，因為方程有兩實(shí)數(shù)根，即有兩實(shí)數(shù)根，所以，則，又兩實(shí)數(shù)根之積等于1，所以，解得或（舍去），經(jīng)檢驗，滿足要求，所以.【小問2詳解】因為，所以由，得，當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，易知無解；當(dāng)時，由，解得；綜上，當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為.19.已知函數(shù)．（1）若，證明：存在，使成立；（2）若成立；求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）證明過程見答案；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，．【解析】【分析】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）分與兩種情況討論，利用函數(shù)單調(diào)性將等價轉(zhuǎn)化為解或的不等式即可．【小問1詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，．．由零點(diǎn)存在性定理知：存在，使成立．得證．【小問2詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，等價于，解得．當(dāng)時，單調(diào)遞減，等價于，解得．綜上：當(dāng)時，；當(dāng)時，．20.在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實(shí)驗中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間x（單位t小時）的關(guān)系為：x23691215y3.23.53.844.14.2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下：為了描述從第2小時開始細(xì)菌數(shù)量隨時間變化的關(guān)系.現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③．（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說明理由；（2）請選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測至少培養(yǎng)多少個小時，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬個．【答案】（1）,理由見解析；（2）81【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在有定義，且隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢，故只有符合.（2）可選取數(shù)據(jù)，帶入即可計算出，則當(dāng)時即可求出答案.【小問1詳解】最符合實(shí)際的函數(shù)模型為①，根據(jù)圖像知函數(shù)解析式需滿足函數(shù)在有定義，所以②不滿足，又隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢，所以③不符合，只有①滿足，故最符合.【小問2詳解】可選取表格中的兩組數(shù)據(jù)為：，代入得，則，當(dāng)時，，所以可預(yù)測至少需培養(yǎng)81個小時，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬個.21.已知函數(shù)fx=Asinωx+φ（，，，x∈（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象在上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，易得，再由經(jīng)過點(diǎn)0,1求得，由經(jīng)過點(diǎn)求得，結(jié)合的范圍求得，從而得解；（2）利用整體代入法求得的對稱軸，從而結(jié)合圖象即可得解.【小問1詳解】依題意，易知，fx=Asinωx+φ則，即，因為，所以，則，又經(jīng)過點(diǎn)，則，即，所以，則，又，所以當(dāng)時，滿足要求，所以.【小問2詳解】由（1）得，令，得，因為，所以在上的對稱軸為，作出與在上的大致圖象，如圖，結(jié)合圖象可知，，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.22.“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”，已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時，．若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明即可；（2）由題意可得：在上的值域是在上的值域的子集，根據(jù)題意二次函數(shù)分類討論函數(shù)在0,1內(nèi)單調(diào)性，結(jié)合對稱性以及包含關(guān)系分析求解.【小問1詳解】由題意可知：，且的定義域為，關(guān)于對稱，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.【小問2詳解】設(shè)在上的值域為，在上的值域為，由題意可知：，由（1）可知，因為，則，可得，所以，即，又因為的圖象開口向上，對稱軸為，則有：若，即時，可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對稱，則，可知在?1,0的，可知在的最大值為，最小值為，可得，且，滿足，即符合題意；若，即時，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞