江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué) 含解析

江蘇省南通市海安市2025屆高三下學(xué)期期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式，再根據(jù)集合的交集的定義計(jì)算即可.【詳解】解：，得，，或；或，又

，故選：2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以故選：A.3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，則數(shù)列的前項(xiàng)積最大時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而有時(shí)，

，時(shí)，

，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?/p>

，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又是數(shù)列的前項(xiàng)積，則當(dāng)時(shí)，

取得最大值，故選：B.4.已知鈍角x滿足：，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式，結(jié)合為鈍角，可求得或，進(jìn)而兩邊平方可求得.【詳解】由，得，為鈍角，則，則，或舍，，得，即故選：C.5.已知非零向量在向量上的投影向量為，，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的意義及數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.【詳解】由非零向量在向量上的投影向量為，得，則，而，因此，所以.故選：A6.為推廣新能源汽車，某地區(qū)決定對(duì)續(xù)航里程達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的新能源汽車進(jìn)行補(bǔ)貼.已知某品牌新能源汽車的續(xù)航里程單位：服從正態(tài)分布補(bǔ)貼政策為：續(xù)航里程不低于350km的車輛補(bǔ)貼2萬(wàn)元，超過(guò)450km的車輛額外再補(bǔ)貼1萬(wàn)元，則該品牌每輛新能源汽車的平均補(bǔ)貼金額約為（）附：若，則A.萬(wàn)元 B.萬(wàn)元 C.萬(wàn)元 D.萬(wàn)元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布分別求出和時(shí)的概率，再根據(jù)數(shù)序期望公式求解.【詳解】由題意，得，，則該品牌每輛新能源汽車的平均補(bǔ)貼金額約為萬(wàn)元.故答案為：C7.已知函數(shù)的極大值為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)，判定函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合極大值為，求，驗(yàn)證即可.【詳解】解：由題意，，則，令，解得或，當(dāng)時(shí)，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，解得，當(dāng)時(shí)，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意，綜上所述，.故選：D8.設(shè)圓上兩點(diǎn),滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，得，利用三角恒等變換可得，結(jié)合三角函數(shù)值的有界性，可得，進(jìn)而計(jì)算可求解.詳解】設(shè)由，可得，即，即，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以，，所?故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用三角代換，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.為研究某種樹的樹高和胸徑的關(guān)系，某人隨機(jī)測(cè)量了10棵該品種樹的胸徑單位：和樹高單位：的數(shù)據(jù)，已知其中一組數(shù)據(jù)為，且，求得回歸方程為，并繪制了如下殘差圖，則（）A.由殘差圖可判定樹高與胸徑的關(guān)系符合上述回歸模型B.該種樹的平均樹高約為C.數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差為D.刪除一組數(shù)據(jù)后，重新求得的回歸直線的斜率變小【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A：分析殘差圖判斷模型擬合程度，且集中在0附近，所以由殘差圖可判定樹高與胸徑的關(guān)系符合上述回歸模型，判定的即可；對(duì)于B：根據(jù)回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心，代入計(jì)算即可；對(duì)于C：運(yùn)用殘差概念，計(jì)算殘差即可；對(duì)于D：分析刪除一組數(shù)據(jù)對(duì)回歸直線斜率的影響即可.【詳解】解：對(duì)于A：分析殘差圖判斷模型擬合程度，由殘差圖可知，殘差分布比較均勻，且集中在0附近，所以由殘差圖可判定樹高與胸徑的關(guān)系符合上述回歸模型，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：已知，則樣本中心點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將代入回歸方程，可得，所以該種樹的平均樹高約為，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差，當(dāng)時(shí)，，殘差為，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：分析刪除一組數(shù)據(jù)對(duì)回歸直線斜率的影響，刪除數(shù)據(jù)后，因?yàn)榇笥跇颖局行狞c(diǎn)的橫坐標(biāo)，且小于通過(guò)回歸方程計(jì)算出的對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值，所以刪除該點(diǎn)后，樣本中心點(diǎn)向左下方移動(dòng)，重新求得的回歸直線的斜率變大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.的零點(diǎn)為B.在上的最大值與最小值之和為0C.直線是的圖象的一條對(duì)稱軸D.0是函數(shù)的極小值點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】令可判斷A；由為奇函數(shù)可判斷B；由對(duì)稱性的性質(zhì)計(jì)算可判斷C；對(duì)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，由極小值點(diǎn)的定義可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，函數(shù)的零點(diǎn)即時(shí)x的值，因?yàn)椋瑒t或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，，所以的零點(diǎn)為，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，所以在上的最大值與最小值之和為0，B選項(xiàng)正確;對(duì)于C，，，，所以直線不是的圖象的一條對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，所以時(shí)，單調(diào)遞增，所以0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選:BD11.如圖所示的曲線C過(guò)原點(diǎn)O，且C上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離之積為4，則（）A.B.C恰好經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn)即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)C.C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱D.C與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式得到曲線C的方程.對(duì)于A：根據(jù)曲線C過(guò)原點(diǎn)運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：分析可知曲線C中，代入檢驗(yàn)即可得結(jié)果；對(duì)于C：假設(shè)C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，平移圖象可得，分析可知與曲線不相交；對(duì)于D：聯(lián)立方程運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)，由圖可知，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離為已知曲線C上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離之積為4，則可得兩邊平方可得.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榍€C過(guò)原點(diǎn)，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入上式可得，解得當(dāng)時(shí)，由圖可知顯然不滿足C上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離之積為4，舍去，故，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，令，解得或，所以曲線C中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不是整數(shù)）；當(dāng)時(shí)，，所以曲線C恰好經(jīng)過(guò)，，三個(gè)整點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：假設(shè)C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則將曲線C上移2個(gè)單位長(zhǎng)度的曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，易知曲線方程為，設(shè)曲線上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)為，，且，則有，，可得，聯(lián)立方程，消去x整理可得，又因?yàn)?，則，可知方程無(wú)解，即與曲線不相交，故假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，將代入到曲線C的方程中，得，解得或，由圓的方程的縱坐標(biāo)，所以舍去，將代入得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，，此時(shí)這兩點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足圓的方程，所以曲線與圓共有兩個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出方程，再根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.今有2只紅球、3只黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5只球排成一列，有______種不同的方法（用數(shù)字作答）．【答案】10【解析】【分析】由分步計(jì)數(shù)原理可分兩步完成，第一步：在5個(gè)不同位置中選2個(gè)位置排紅球，第二步：在剩下的3個(gè)不同位置排黃球，再運(yùn)算即可得解.【詳解】分兩步完成，第一步：在5個(gè)不同位置中選2個(gè)位置排紅球，共種排法，第二步：在剩下的3個(gè)不同位置排黃球，共種排法，故將這5只球排成一列，有種不同的方法,故答案為：10.13.已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，其中一條與的圖象相切于點(diǎn)A，C，另一條與的圖象相交于點(diǎn)B，D，則四邊形ABCD的面積為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求導(dǎo)，則切線的斜率為，求出切線方程.代入，可得，從而得到兩條切線方程分別為，.直曲聯(lián)立，可得，，根據(jù)是奇函數(shù)，得到.運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式得到，得到四邊形的面積.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)闀r(shí)，，所以，則切線的斜率為，則切線方程為，代入，可得，此時(shí)切線的斜率為，另一條切線的斜率為，兩條切線方程分別為，，可得交點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立，可得，聯(lián)立，可得，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，則，所以，四邊形的面積為故答案為：14.將棱長(zhǎng)為1的正方體沿對(duì)角面，，同時(shí)切開后，共得到__________個(gè)多面體，其中一個(gè)多面體的體積為__________只需寫出一種結(jié)果【答案】①.8②.（或,答案不唯一）【解析】【分析】對(duì)于第一空，分情況討論分成的部分，得到總的多面體個(gè)數(shù)；對(duì)于第二空，正方體棱長(zhǎng)為1，通過(guò)正方體體積和切割后多面體的體積關(guān)系，求出其中一個(gè)多面體體積即可.【詳解】（1）正方體被三個(gè)對(duì)角面、、切割.每個(gè)對(duì)角面都會(huì)將正方體分成兩個(gè)部分，但是這些部分會(huì)相互重疊.具體來(lái)說(shuō)：第一個(gè)對(duì)角面將正方體分成兩個(gè)部分，第二個(gè)對(duì)角面進(jìn)一步將每個(gè)部分分成兩個(gè)，總共分成四個(gè)部分，第三個(gè)對(duì)角面會(huì)再次將每個(gè)部分分成兩個(gè)，但由于之前的切割，最終會(huì)得到8個(gè)多面體.分別是三棱錐,三棱錐,三棱錐,三棱錐,三棱錐,三棱錐,六面體,六面體.（2）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，截面將正方體分成體積相等的兩部分，不妨保留三棱柱，截面將三棱柱分成三棱錐

和四棱錐，它們的體積分別是和，于是，保留四棱錐，在正方體的截面

上，與相交于O，則截面將四棱錐分成三棱錐及多面體，O是正方體的中心，于是，三棱錐的體積為，則多面體的體積為，所以其中一個(gè)多面體的體積為或.故答案為：8；(或，答案不唯一).四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，記a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊.已知（1）若，求（2）若，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，邊角互化得到，算出，得到，運(yùn)用和角正切計(jì)算出即可；（2）由余弦定理邊角互化得到，結(jié)合條件得到，算出【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，，即，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，解得或，因?yàn)?，所以，同為正?shù)，所以不符合題意，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以由余弦定理得，，整理得，，即，又因?yàn)椋?，所以由余弦定理得，，又因?yàn)椋?6.如圖，在三棱錐中，，，平面ABC，H為垂足，D為AC的中點(diǎn).（1）證明：平面（2）若，，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，三線合一得到；又因?yàn)槠矫?，得到；進(jìn)而得到平面，運(yùn)用線面垂直性質(zhì)得到；進(jìn)而得到；最終運(yùn)用線面平行判定定理得到平面；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，連接，證明為二面角的平面角，借助三角函數(shù)得到二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，因?yàn)?，D為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，平面，所以；又因?yàn)?，平面，，所以平面，又平面，所以；因?yàn)?，且，均在平面?nèi)，所以；因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；【小?wèn)2詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，所以二面角的正弦值?7.一批產(chǎn)品共16件，有2件不合格品，隨機(jī)分裝到兩只箱中，每箱8件.收貨方不放回地隨機(jī)抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，并按以下規(guī)則判斷是否接收這批產(chǎn)品：如果抽檢的第1件產(chǎn)品不合格，則拒收整批產(chǎn)品;如果抽檢的第1件產(chǎn)品合格，則從另一箱中再抽檢1件，若合格，則接收整批產(chǎn)品，否則拒收整批產(chǎn)品.（1）求2件不合格品包裝在同一只箱中的概率;（2）求這批產(chǎn)品被拒收的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出16件產(chǎn)品隨機(jī)分裝到兩只箱中和2件不合格品包裝在同一只箱中的方法數(shù)，再根據(jù)古典概型求概率；（2）分2件不合格品包裝在同一只箱中和2件不合格品包裝在兩只箱中兩種情況，結(jié)合條件概率分別求出概率，再根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】記“2件不合格品包裝在同一只箱中”，因?yàn)?6件產(chǎn)品隨機(jī)分裝到兩只箱中有種，其中2件不合格品包裝在同一只箱中有種，所以，即2件不合格品包裝在同一只箱中的概率為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，記“產(chǎn)品被拒收”，“第1次抽到不合格品”，“第2次抽到不合格品”，①若2件不合格品包裝在同一只箱中，則，；或，.所以，所以；②若2件不合格品包裝在兩只箱中，則，，所以，所以，由①②得，，即這批產(chǎn)品被拒收的概率為18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且（1）求的方程;（2）直線l與的左、右兩支分別交于點(diǎn)C，D，記直線BC，BD的斜率分別為，，且（i）求證：直線l過(guò)定點(diǎn);（ii），直線OP與BD交于點(diǎn)Q，判斷并證明直線AQ與BC的位置關(guān)系.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由已知可得，，可求得雙曲線方程；（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為，，，與雙曲線聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合已知可得或，可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）直線AQ與直線BC的位置關(guān)系是平行，理由如下：求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AQ的斜率，結(jié)合已知，可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c，則，且，解得，，所以，所以的方程為：；【小問(wèn)2詳解】（?。┰O(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立與，消去y，得，所以，，由，得，整理得，所以，整理得，所以或，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，過(guò)點(diǎn)，不符，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，過(guò)點(diǎn)，所以直線l過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）直線AQ與直線BC的位置關(guān)系是平行，理由如下：因?yàn)?，所以直線OP方程為：，又直線BD方程為：，聯(lián)立與，解得，，即，因?yàn)椋灾本€AQ的斜率為，由，得直線