河北省2024-2025學年高三下學期省級聯(lián)測考試數(shù)學試卷（原卷版+解析版）

2024-2025高三省級聯(lián)測考試數(shù)學試卷班級_____姓名_____注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名及考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.3.已知向量，滿足，，，則向量與的夾角為（）A.30° B. C. D.135°4.高相同的圓柱與圓臺的體積分別為，，且圓柱的底面積是圓臺上、下底面積的等差中項，則與的關系為（）A B. C. D.不確定5.已知，，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且圓內(nèi)恰好包含的三個極值對應的點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，則是（）A.偶函數(shù)，有最小值 B.偶函數(shù)，有最大值C.奇函數(shù)，在上單調遞增 D.奇函數(shù)，在上單調遞減二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設，則下列結論正確的是（）A. B.若，則的最小值為4C. D.10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.若在上單調遞減，則的最大值為1B.當時，C.當時，D.存在直線，使得與的圖象有4個交點11.已知常見“對勾函數(shù)”的圖象也是雙曲線，其漸近線分別為與軸，其實軸和虛軸是兩條漸近線的角平分線.設雙曲線的一條漸近線與雙曲線的實軸夾角為，其離心率為，雙曲線的實軸長為，離心率為，則下列結論正確的是（）A. B.點是的一個頂點C D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若拋物線上一點到其焦點的距離為5，則_____.13.已知數(shù)列中，，，，則的前項和_____.14.已知集合，是集合的含兩個元素的子集，且，則中兩元素之差的絕對值等于中兩元素之差的絕對值的概率為_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2正方形，是的中點，且.（1）求四棱柱的外接球的表面積；（2）求平面與平面夾角余弦值.16.已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于另一點，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知點在橢圓上，過向直線引垂線交于點，若，求直線的方程.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，D為邊上一點.（1）若，，求的值；（2）若，是角的平分線，且，求的值.18.已知，曲線與曲線在它們的交點處的切線相互垂直.（1）求a，b的值；（2）當時，求證：.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖象對稱中心；（2）設方程的兩個實數(shù)根為，，求證：為常數(shù)；（3）在數(shù)列中，，，求證：.

2024-2025高三省級聯(lián)測考試數(shù)學試卷班級_____姓名_____注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名及考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)型復合函數(shù)定義域及二次函數(shù)值域化簡，再由交集運算即可求解；【詳解】根據(jù)題意，由，得，所以集合，易知，，故選：B.2.若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設出復數(shù)的代數(shù)形式，利用復數(shù)相等求出，再利用復數(shù)乘法求解.【詳解】設，則，因此，則，，即，所以.故選：A3.已知向量，滿足，，，則向量與的夾角為（）A.30° B. C. D.135°【答案】C【解析】【分析】由平方，結合，求得及，即可求解；【詳解】由已知得，即，即又，兩式聯(lián)立可得：，則向量與的夾角為故選：C.4.高相同的圓柱與圓臺的體積分別為，，且圓柱的底面積是圓臺上、下底面積的等差中項，則與的關系為（）A. B. C. D.不確定【答案】A【解析】【分析】利用圓臺體積公式，結合等差中項，可通過基本不等式轉化到圓柱體積即可得到判斷.【詳解】設圓臺的上、下底面積分別為，，圓柱的底面積為，高為，根據(jù)圓柱的底面積是圓臺上、下底面積的等差中項，，，，故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦的和差角公式化簡等式得到，再由正切的和差角公式求得.【詳解】由已知，即則，∴，故選：C.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調性可得出，再由函數(shù)的單調性可得出，結合參變量分離法可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)與均是增函數(shù)，所以，函數(shù)是上的增函數(shù)只需滿足，即，解得，由得，即恒成立，所以，當時，函數(shù)取得最大值，所以，，即，因此，實數(shù)取值范圍是.故選：D.7.已知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且圓內(nèi)恰好包含的三個極值對應的點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)單調性得到函數(shù)的對稱軸，由函數(shù)單調區(qū)間得到周期的范圍，從而得到的值得到函數(shù)解析式，由圖像得到距離最大和距離最小的點，則可以求出半徑的范圍.【詳解】由已知在處取得最小值，，，解得，∵函數(shù)在上單調遞減，，即，，當時，，，符合條件，.由圖像知軸右側包含兩個極值對應的點，左側包含一個極值對應的點，的取值范圍是大于原點右側第二個極值對應的點到原點的距離，小于等于原點左側第二個極值對應的點到原點的距離，即，故選：B.8.已知函數(shù)，則是（）A.偶函數(shù)，有最小值 B.偶函數(shù)，有最大值C.奇函數(shù)，在上單調遞增 D.奇函數(shù)，在上單調遞減【答案】B【解析】【分析】由偶函數(shù)的性質結合對數(shù)的運算可判斷為偶函數(shù)，換元法令結合對數(shù)的運算和復合函數(shù)的單調性可得有最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，，故函數(shù)為偶函數(shù).令，則，，所以，由復合函數(shù)的單調性可得在上單調遞減，在處取得最大值，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于利用對數(shù)的運算性質化簡和換元法化簡.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設，則下列結論正確的是（）A. B.若，則的最小值為4C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)單調性比較大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】對于A，，由指數(shù)函數(shù)單調遞增，，即，故A正確；對于B，，等號成立條件，由于，顯然等式不成立，故最大值比0小，所以最小值不可能為4，故B錯誤；對于C，由已知，，，即，故C正確；對于D，，由冪函數(shù)單調遞增，，即，故D正確，故選:ACD.10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.若在上單調遞減，則的最大值為1B.當時，C.當時，D.存在直線，使得與的圖象有4個交點【答案】BCD【解析】【分析】對于A，求導確定單調性即可判斷；對于BC，構造函數(shù)求導，確定單調性可判斷；對于D，畫出得圖象，由圖象可判斷.【詳解】解：，由，解得，的最大值為，故A不正確；當時，，即.設，則，在處取得最小值，故B正確；當時，，即.由B選項的過程知，在時，，在上單調遞減，，故C正確；畫出的圖象如圖，可知存在直線，使得與的圖象有4個交點，故D正確，故選：BCD.11.已知常見“對勾函數(shù)”的圖象也是雙曲線，其漸近線分別為與軸，其實軸和虛軸是兩條漸近線的角平分線.設雙曲線的一條漸近線與雙曲線的實軸夾角為，其離心率為，雙曲線的實軸長為，離心率為，則下列結論正確的是（）A. B.點是的一個頂點C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率公式即可判斷A；求出即可判斷C；求出雙曲線的對稱軸方程，再與其聯(lián)立，即可判斷BD.【詳解】如圖1，當雙曲線為焦點在軸上的標準方程時，過雙曲線的右頂點作軸的垂線交漸近線于點，則，，故A正確；由題意知，雙曲線中，漸近線即，其斜率為，如圖2，它與軸夾角的正切值，解得或（舍），，由A選項可知，，故C正確；頂點是對稱軸（實軸）和雙曲線的交點，，∴對稱軸為，與雙曲線在第一象限交于，，故B不正確，D正確.圖1圖2故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：理解“對勾函數(shù)”的圖象的特征是解決本題的關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若拋物線上一點到其焦點的距離為5，則_____.【答案】2【解析】【分析】由拋物線得定義得到，求解即可；【詳解】由拋物線的定義得，解得或（舍），故.故答案為：213.已知數(shù)列中，，，，則的前項和_____.【答案】【解析】【分析】由，得，得到等差數(shù)列，進而可求解；【詳解】由，得，是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，，，為等差數(shù)列，.故答案為：14.已知集合，是集合的含兩個元素的子集，且，則中兩元素之差的絕對值等于中兩元素之差的絕對值的概率為_____.【答案】【解析】【分析】首先求出，中兩元素之差的絕對值相等時的個數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.【詳解】當，中兩元素之差的絕對值均為1時，的個數(shù)為；當，中兩元素之差的絕對值均為2時，的個數(shù)為；當，中兩元素之差的絕對值均為3時，的個數(shù)為；當，中兩元素之差的絕對值均為4時，的個數(shù)為；故滿足條件的共有（個）；故其概率為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是分，中兩元素之差的絕對值均為、、、時的個數(shù).四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，是的中點，且.（1）求四棱柱的外接球的表面積；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由四棱柱的外接球直徑就是其體對角線，即可求解；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】取的中點，連接，，底面是正方形，且該四棱柱是直四棱柱，平面，又平面，，，，都在平面內(nèi)，平面，又平面，，，，即，.四棱柱的外接球直徑就是其體對角線，外接球半徑，故四棱柱的外接球的表面積.【小問2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量為，則令，得：，，而平面就是平面，其一個法向量是，設平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.16.已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于另一點，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知點在橢圓上，過向直線引垂線交于點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由，確定坐標，代入橢圓方程，進而求解；（2）設：，聯(lián)立橢圓方程，求得，.再由得到，進而可求解；【小問1詳解】設，，.，設，則，解得：，，代入橢圓的方程，得，整理得，又，，，故橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，易知直線的斜率存在，設直線的方程為，，代入橢圓方程中，整理得，，.，且，即，又，易知：，，，解得，直線的方程為或.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，D為邊上一點.（1）若，，求的值；（2）若，是角的平分線，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，可得，，在中應用正弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，根據(jù)，結合面積公式即可求解.【小問1詳解】設，所以，，在中，由正弦定理得，所以，即，解得，即；【小問2詳解】由余弦定理得，即，由，得，又因為，所以，所以，解得或（舍），故.18.已知，曲線與曲線在它們的交點處的切線相互垂直.（1）求a，b的值；（2）當時，求證：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先計算交點得出，再根據(jù)導函數(shù)得出斜率結合斜率乘積計算求解；（2）應用分析法結合基本不等式得出，再化簡證明，最后構造函數(shù)求導證明即可.【小問1詳解】交點的橫坐標為t，，即，又，將代入，得，，由，得，，若，則為無理數(shù)，，則，.【小問2詳解】由（1）知，，要證成立，可試證在時成立，即證在上成立.設，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減，在處取得最大值，即在上恒成立，原不等式成立.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是構造函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)單調性進而得出最值即可證明.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖象的對稱中心；（2）設方程的兩個實數(shù)根為，，求證：為常數(shù)；（3）在數(shù)列中，，，求證：.【答案】（1）