2024-2025學年福建省龍巖市上杭縣高三年級上冊12月月考數學檢測試題（含解析）

2024-2025學年福建省龍巖市上杭縣高三上學期12月月考數學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

K.

1.己知公式e"=cosx+isinx,根據此公式，i-e4

V2V2.V2V2.V2V2._也_也.

--1--1---1--1-----1-

A.22B.22C.2-----2D.一三-I'

己知數列,“｝的前〃項和S"=*-2n,貝|J%+&+%等于

2.(

A.12B.15C.18D.21

3.已知P是直線7：3x—4y+11=0上的動點，PA,PB是圓x2~\~y2—2x—2y+1=0

的兩條切線，。是圓心，那么四邊形P/C3面積的最小值是（

5

A,B.C.也D.2出

的部分圖象，則函數的解析式可為（）

=sin(x+y71

yy=sin|2x+—

B.C.6

尸cosg一2x

D.

5.1903年，火箭專家、航天之父康斯坦丁?齊奧爾科夫斯基就提出單級火箭在不考慮

1+m

v=%In----9-----

空氣阻力和地球引力的理想情況下的最大速度V滿足公式：叫，其中

犯,嗎分別為火箭結構質量和推進劑的質量，%是發(fā)動機的噴氣速度.已知某單級火箭

結構質量是推進劑質量的2倍，火箭的最大速度為8km/s,則火箭發(fā)動機的噴氣速度

為（）（參考數據：ln2?0.7,In3?l.l,ln4?1.4）

矽km/s

A10km/sB20km/sC.3D40km/s

3cos?+V10cos=-3sin-V10sin>?=—,

6.若5,5,則cos（a+￡）的值為（）

_V|好VioVio

A.4B.4C.4D.4

_C：—z-+-^-r-=1（<2>/7>0）j-,j-i

7.已知橢圓b-的左、右焦點分別為K,‘2,長軸長為4,點

尸（血，1）在橢圓內部，點。在橢圓上，則以下說法正確的是（）

A.禺心率的取值范圍為<2）

1]

B.31”21的最小值為2

C.存在點。使得Q%。尸2=。

V2y/6

D.當離心率為工時，口用+1°刊的最大值為

eN*,s=s210

8.設J為數列S"}的前〃項和，若4+4用=2〃+1,且存在后kk+i=,則

《的取值集合為（）

A1-20,21}B{-20,20}c{-29,11}D{-20,19）

二、多選題（本大題共3小題）

9.如圖，在正方體中，點心廠分別為/〃，的中點，則下列說

B.直線與°G所成的角為60°

CDXF1ADD.EF〃平面

x。+歹與

10.已知產是圓°"2+/=4上的動點,直線4:cossin<9=4

4：龍Sind-ycosO=l交于點°,貝1J()

A.…B.直線4與圓。相切

C.直線4與圓。截得弦長為26D.IOQI的值為歷

3

11.己知三次函數〃x）=G+6x2+cx+d有三個不同的零點X],x3j%（％<X2<X3）,

函數g（x）=/（x）-i也有三個零點￡%,4（%n）,則（）

_b

A.b2>3acB.若為，龍2,苫3成等差數列，則“3a

C2+/<4+"3D%；++=彳+*；+，；

三、填空題（本大題共3小題）

、，NBAC=——?-,…

12.如圖，在VNBC中，3,AD=2DB,尸為上一點，且滿足

其族+”，若的=2,羽=3,則萬而的值為.

13.己知橢圓。6的左頂點和上頂點分別為A,3.左、右焦點分別是

片，區(qū),在線段N2上有且只有一個點P滿足尸片,尸耳，則橢圓的離心率的平方為—

14.已知菱形/8C。的各邊長為2,ND=60。.如圖所示，將“CD沿/C折起，使得

。到達點S的位置，連接跖，得到三棱錐S-/5C,此時S8=3,E是線段網中點，

點廠在三棱錐S-48C的外接球上運動，且始終保持EFA.AC,則三棱錐S-N8C外接

四、解答題（本大題共5小題）

15.在08c中，已知。，b,c分別為角力,B,C的對邊.若向量加=(°，c?！?，向

量〃二(cosC,c),且浣G=3bcosB.

(1)求COS5的值；

11

-----1-----

⑵若2。，b,c成等比數列，求tanAtanC的值.

/(x)=(x2+ax)lnx+—x2

16.設2,aeR.

(1)若。=°,求〃x)在x=l處的切線方程；

(2)若。6R,試討論“X)的單調性.

17.已知四棱錐尸-底面N8CD為菱形，PD=PB,H為pc上的點、,過4/的平

面分別交尸民尸。于點”，N,且平面

(1)證明：MNLPC.

(2)當H為尸C的中點，尸/=PC=G/8E4與平面NBCO所成的角為60。，求平面

與平面NMN所成的銳二面角的余弦值.

18.已知圓C經過'(°」)，'(4，a)S>°)兩點.

(1)當。=1時，圓C與x軸相切，求此時圓C的方程；

(2)如果N8是圓C的直徑，證明：無論a取何正實數，圓C恒經過除/外的另一個

定點，求出這個定點坐標.

(3)已知點A關于直線^=苫-3的對稱點才也在圓。上，且過點B的直線/與兩坐標軸

分別交于不同兩點M和M當圓C的面積最小時，試求忸”卜忸M的最小值；

19.已知"J是各項均為正整數的無窮遞增數列，對于左eN*,設集合

昆="陣,<吐設“為集合4中的元素個數，當紜=0時，規(guī)定為叫

⑴若%=*,求牝牝%的值；

(2)若%=2",設”的前〃項和為S”，求S*；

(3)若數列3J是等差數列，求數列｛""｝的通項公式.

答案

1.【正確答案】B

［詳解］velr=cosx+isinx,

—i.(71..7ly.(V2V2

i-e4=i-cos—+isin—=i-----b——i

I44；^22J22

故選B.

2.【正確答案】B

【分析】根據前〃項和的性質即可求解.

【詳解】因為y="2-2",

則生+%+為=S「S?=25-2x5-（4-2x2）=15

故選：B.

3.【正確答案】C

【分析】由圓C的標準方程可得圓心為C（U）,半徑為1,由于四邊形P4C3面積等

于2s“pc=J|0q,故求解戶1最小值即可，又1Pq最小為圓心到直線的距離，即

可得出四邊形PACB面積的最小值.

【詳解】圓的標準方程為（x—l）2+（y—1）2=1,圓心為C?！唬?，半徑為廠=1,

,13-4+11110

zxd=/」=—=2>r=1

圓心到直線/：3x—4y+ll=0的距離V32+425

所以圓C與直線/相離.

根據對稱性可知，四邊形P/C2的面積為

2?！?2x；x四卜廠=陽|=J|PC『-4=_]

要使四邊形尸/C8的面積最小，則只需戶3最小.

又歸C最小值為圓心到直線/：3x—4y+ll=0的距離d=2.

所以四邊形P/C8面積的最小值為WCL-1=V4^1=V3^

故選：C.

關鍵點睛：本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，考查圓心與直線上點

2V—/ID^l2_1

的距離的最值，解答本題的關鍵是將四邊形P/C2面積化為“改一州I,即解

歸q最小值，轉化為圓心到直線的距離，屬于中檔題.

4.【正確答案】A

_5兀

【分析】根據周期可得0=2或。=-2,對。進行討論，結合”=五時，函數取最小值,

求出夕，即可得函數表達式判斷ABC；結合誘導公式即可判斷D.

r=2（—--）=3t

【詳解】根據圖象可得最小正周期為36

2兀

------=71

所以⑷，故0=2或。=-2,

兀2兀

6+T_^

由圖可知當212時，函數取最小值,

2x女+夕=2ATI+-

當0=2時,可得122,此Z,

y=sin2x+2fai+——=sin2x+——

(p=2kn.+—展Z,此時I3JI3

所以3,

C5兀c,兀

-2x-----\-(p=2KJI----

當0=-2時,可得122丘Z,

(p=2kji+—

所以3,此Z,取左T=0可得，3,

.(c兀)./兀C、

>=sm-2x+2kJi+—=sin(——2x)

故函數的解析式可能為"I3>3,B、C錯;

由、=期（7-2Q=噂（5+]-2刈=711（§-2外，口錯誤.

故選：A.

5.【正確答案】B

【分析】根據實際問題，運用對數運算可得

,m,+m.12m.門

v=voln-----=voln——-----=8

【詳解】由題意g=2嗎，呵2叫

888

=20

3%=「In3-ln2~1.1-0.7

v?ln-=8ln-

得2，故2

故選：B

6.【正確答案】C

【分析】根據同角平方和關系以及余弦的差角公式即可平方相加得解

__8__6

3cosa+JlOcos/7=—3sina—JlOsin尸=—

【詳解】由于5,5,

故兩式平方相加可得得：9+10+6VWcosacos/?-6Vl()sinasin/?=4；

cosacosA-sinasin夕=--=--cos(a+￡)=——

6回4,即I)4

所以

故選：C.

7.【正確答案】D

【分析】根據長軸得。=2,由點P（&』）在橢圓內部，解得叵<b<2,進而可得

ce。,后）

即可由離心率公式判斷A,利用基本不等式的乘“1”法即可求解C,利用垂直可判斷

。點軌跡，即可結合凡瓦C的大小關系求解C,根據橢圓定義，結合三點共線即可求解

D.

【詳解】因為長軸長為4,所以2。=4,即。=2,

因為點尸（3j）在橢圓內部,

所以舁X,即故。=叱==早晨領血）

、

CC

:e=—=—E

-ra2

對于A故A錯誤;

對于B,由于I。娟+1。勾=2a=4,故由基本不等式可得

11=（由+泌）（蘇+康戶%+用+2"當且僅當

4函+函

|鑿|=|0號=2時取到等號，所以I。用迎印的最小值為1,故B錯誤.

對于c：若°與3=0,則。在以耳尸2為直徑的圓上，則即=5*印=，

由A選項知，c=aee(0,6),be(夜，2),所以|OQ京="c,

所以不存在。使得。耳,。乙=°，故C錯誤;

對于D：ie^i+iep|=4-ie^i+iep|；

當點°,F"P共線且。在X軸下方時，血刃＜。口取最大值4+1^I,

e_叵c_c_42C=—F*

由4,即a24,解得2,所以2,0),

4H---

所以1。尸1+1。尸1的最大值為2,故D正確;

故選：D

8.【正確答案】A

【分析】利用氏+0m=2〃+1可得%+2-%=2,繼而可得數列｛0｝的奇數項和偶數項都是

公差為2的等差數列，根據S20=210可得左=19或左=20,對左的取值討論即可求解.

［詳解］由&=%=210可得存在左eN*,使得項=&+i=210,且%M=0

因為%+。應=2〃+1,

(3+4〃—V)n

S2n=(%+%)+(03+)+++a2n)=3+7+...+(4〃—1)=----------=麓(2〃+1)

所以一2，

21

12----

假設立=〃伽+1)=210,解得〃=10或2(舍去)，

此時邑0=210,

由存在后?N*,&=S"]=210,所以有人=19或左=20,

2

由見+%+1=2〃+1可得，a?+1+a?+2=2n+3>兩式相減得：??+2-??=,

當上=20時，有So=S?i=210,即%1=0,

根據%+2-%=2可知：數列｛%｝的奇數項和偶數項分別是等差數列，且公差均為2,

所以%i=%+(UT)x2=0,解得%=-20,

當左二]9時，有§19=So=210,即％o=O,%0=%+(10_l)x2=O,解得％=—18,

由已知得％+出=3,所以4=21.

故選：A.

關鍵點點睛：利用%+%=2〃+1可得為+2-%=2,得數列也｝的奇數項和偶數項都是公

差為2的等差數列.

9.【正確答案】ABD

【分析】直接根據異面直線及其所成角的概念可判斷AB,利用反證法可判斷C,利

用線面平行判定定理可判斷D.

【詳解】如圖所示，連接/C,CO,EF,

由于尸分別為“°,的中點，即尸為NC的中點，

所以EF//C2,即a面CDRG,。2三面CDAG,

所以EFH平面CDD?,即口正確；

所以E尸與CR共面，而耳所以直線即與。4為異面直線，即A正確；

連接2G,易得D同/BC；

所以皿出即為直線與DCX所成的角或其補角，

由于ABOG為等邊三角形，即ZZ）C15=60°）所以B正確；

假設可由于H即，DFCDD[=D,所以AD上面,四，

而面2。尸顯然不成立，故C錯誤;

故選：ABD.

【分析】根據兩直線一般式滿足的系數關系即可求解A,根據點到直線的距離與半徑

的關系即可求解B,根據弦長公式即可求解C,根據勾股定理即可求解D.

【詳解】直線4:”c°s"+ysin0=4與/2:"sin"-yc°s"=l

由于cos/sin9+sine（—cos6）=0,/-4-L4,故A正確;

d=/4-----.=4>2

2

圓心。到4的距離Vcos^+sin^，，直線4與圓。相離，故B錯誤；

d=]_]__________

圓心。到4的距離Vcos20+sin20,弦長=2，/-/=2"斤=26，故c正確；

由于4,4,過圓心。分別作/的垂線，垂足為M,N,如圖,

則四邊形以?N為矩形，「°。|='0心+°儲=」不+12=屈，故口正確.

故選：ACD.

11.【正確答案】ABD

【分析】求導根據兩個極值點即可求解A,根據/（無）關于I3aI3a〃對稱，結合

等差中項即可求解B,根據圖象即可求解C,利用因式分解可得

xi+x2+x3=ti+t2+13

再％+X2X3+退再=他+垃3+姐，即可利用三元平方關系求解D.

【詳解】由=ax）+bx2+cx+ci可得/'（x）=3or+26x+c,

要使/（X）有三個不同的零點為，W，X3（再（龍3）,

則/''（X）=3G2+26X+C=0有兩個不相等的實數根，故心S一12心0,

即〃>3℃,A正確，

_b

由于/'（無）=3辦2+26x+c為二次函數，關于x-一.對稱，因此

+12b

+f(-x)=ax---+--d-ax3+bx2-cx-vd

(3a3a

+d-ax3+bx2-cx+d

_b

因此多，無2,七成等差數列，故卜2，/（叼））是"x）的對稱中心，則X2-一瓦，故B正確,

當。<。時，作出了（龍）的圖象，則/（無）的圖象與>=1的圖象交點如圖所示,

由于再>'1，%>%,故項+無3>%+，3,故C錯誤,

對于D,根據“x-xJGfXx-XsA/+加+%+】，

展開可得辦3—Q(國+工2+毛)工2+a(玉］2+X2X3+X3X\)X一〃演工2工3=辦^+bx2+CX+d

故-a(玉+%+工3)=6,。(玉元2+X2X3+工3再)=。，一。

同理可得/(x)T=ax3+.+cx+d-l=O的三個實數根為％,優(yōu)/3(4<，2<4),

32

貝Iax+bx+cx+d-1=a(x-t{)(x-12)(x-/3)=0

-Cl\ty+%2+g)=b,a(/《+1^3+)=c,-。，&匕=d-1

1再+々+工3=%+，2+

因此［再%2+X2X3+X3X1=電++W

2

故(項+X2+X3)-2(玉%2+%%3+%3石)=("1+'2+'3)2—2(1也+，2%3+%3%1)

即得占2+宕+后=彳+名+",故D正確，

故選：ABD

［再+/+%3=4+/2+*3

關鍵點點睛：根據因式分解可得I占X2+X2X3+X3N=他+2+5,進而根據

22

(xl+x2+x,')-2(xtx2+x2x3+x3xl)=(tl+t2+4)2-2&G+t2t3+t3tt)求解.

12.【正確答案】1

AP-mAC+—AB(meR)

【分析】由/。=2。8,P為CD上一點、,且滿足2，,可求得

1

in——?,—.—?

4,再用/C及表示出/P及CD,進而求數量積即可.

—2―-

—.一AD=-AB

【詳解】由可得3

又C,P,。三點共線，

AP=mAC+(1-m)AD=mAC+—~^-AB

則有3

1

AP=mAC+-AB(m&R)2_2w=lm=—

由于2，所以32,即4,

___,2__

CD=CA+AD=-AC+-AB

又3,

且因=2,畫=3,

___?____i___?i___.___?2___

AP-CD=(-AC+-ABY(-AC+-AB)

故42V3

IAB-^-AC-AB

=4+33

=----Ix4/+—lx9c--Ix2rxjrx—I=11

4332

故1.

3-A/5

13.【正確答案】2

【分析】根據點尸的軌跡，結合直線42與圓相切，利用點到直線的距離

公式，即可列方程求解.

【詳解】由于/(一d°)，8(0))

—

由直線的方程為一。~b，整理得云-即+湖=0,

由于WP尸2,則尸在以片耳為直徑的圓上，故

由于在線段42上有且只有一個點尸滿足咫,學，故直線與圓°：/+_/=。2相切,

可得J/+一,兩邊平方，整理得c4-3c2a2+?4=0,

兩邊同時除以/,由力，e4-3e2+l=0,

.g2=3±V|.*3-#

'—2,又橢圓的離心率ee((M),飛一^.

3-卡＞

橢圓的離心率的平方2,

3_垂!

故2

'I573

------兀

14.【正確答案】3

【分析】根據線線垂直可得/C，平面由直角三角形可得三棱錐的高，結合勾股

定理進而可得三棱錐外接球的半徑，可得點的軌跡為截面圓的周長.

［詳解］取/C中點則ACA.SM,BM［\SM=M

；./C_L平面1sW,SM=MB=43t又SB=3,

NSBM=AMSB=30°,

作E//L/C于H,設點尸軌跡所在平面為a,

則平面a經過點反且Nd,

設三棱錐S-/3C外接球的球心為°,A&4C,A54c的中心分別為Q,Q,

易知平面"C,002,平面A4C,且0,3,02,初四點共面,

11Fy

ZOMO,=-NO、MO,=60°O,M=-SM=—

由題可得21233,

?_22V|

在Rt.OQW,得0。|=6。幽=1,又|一孑一亍，

.=Joo：+oS=\口=叵

則三棱錐S-NBC外接球半徑V33,

d=MH=—

易知°到平面a的距離2,

「后『曰二還

故平面口截外接球所得截面圓的半徑為2346

/=2兀4-----兀—

，截面圓的周長為3,即點尸軌跡的周長為3

方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平

面幾何問題求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球

心到接點的距離相等且為半徑；

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種

元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解

15.【正確答案】（1）3

372

⑵2

【分析】（1）由題意利用平面向量數量積的運算，正弦定理，兩角和的正弦公式求解

即可.

（2）利用等比數列的性質，正弦定理根據已知可得sin%=2sin/sinC,求出sinB的

值，再利用同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦公式求解即可.

［詳解］（1）因為〃=（cosC,c）,且前7=3bcos2,

所以tzcosC+ccosA=36cos3,

由正弦定理，可得siiL4cosc+sinCcos/=3sin5cos3,

所以sin(/+C)=SsinScosS,即sin5=3sinBcosB,

又8為三角形內角，sinSwO,

所以3；

（2）因為2。，b,。成等比數列,

所以從=2四,由正弦定理，可得sin*25-2sin^sinC,

又3,3為三角形內角，所以3

cos/cosCcos力sinC+cosCsirU

----+

所以taib4tanCsin4sinCsiib4sinC

sin(/+C)_sinB2sin52_3A/2

sin^sinCsiiL4sinCsin2Bsin52

16.【正確答案】（1）敘-2y3=°

（2）見解析

【分析】（1）當。=°時，先求導，再求了‘QI/。），利用點斜式即可寫出切線方程;

222

_＜。＜0a=—。＜—

（2）分。20,e,e,e四種情況，結合求導討論即可求解.

又f'(x)=2xlnx+x+x=2x(h\x+1)故/(1)=2

■y_1--2(X-1)

所以/(x)在x=l處的切線方程為2一,

即4x-2y-3=0；

(2)f(^)=(2x+iz)lnx+x+a+x=(2x+<2)(lnx+1)xG(0,+oo)

￡

當時，2x+a>0,令/'。）>0,即lnx+l>0,解得“e,令/解得

0<x<一

e,

r/\（0,—）（―、

所以/（X）在e上單調遞減，e,+8）上單調遞增；

__2

當"7時，"X）在（°，+°°）上單調遞增，

al2a1

當一2二,即一二"<時，令/解得<“<一5,或令/'GA。.解得

所以“X）在’2,e,+8）上單調遞增，2,e上單調遞減;

x

a1z（\

當一5北，即"7時，令/'GA。，解得e,或*2,令/（x）<0.解得

a

—1<x<——

e2,

、(0,-)

所以“X)在e2,+8）上單調遞增，e,2上單調遞減.

綜上：當時，所以〃x）在上單調遞減，1,內）上單調遞增;

--<Q<0r（\（°,）（―、（-）

當e時，所以“X）在2,e,+與上單調遞增，2,e上單調遞減；

__2

當"7時，/'（x）20,〃x）在（0,+°°）上單調遞增，

0<二（0-）（-2.（1_?）

當e時，所以在‘e,2,+8）上單調遞增，e,2上單調遞減.

17.【正確答案】（1）證明見詳解

V39

⑵13

【分析】（1）根據線面垂直可證3。二平面P/C,則AD'PC,再根據線面平行的性

質定理可證2D||"N,進而可得結果；

（2）根據題意可證尸0，平面N8C。，根據線面夾角可知APZC為等邊三角形，建立空

間直角坐標系，利用空間向量求面面夾角.

【詳解】（1）設/CnAD=°,則。為/C,80的中點，連接尸。，

因為/BCD為菱形，則/C28D,

又因為PD=PB,且。為8。的中點，則P01BD,

ACC\PO=OjNC,POu平面pzC,所以8。工平面尸/C,

且尸Cu平面尸ZC,則BOJ_PC,

又因為201平面蜀,aou平面P8。，平面平面尸8D=TW,

可得8D||MV,所以MNLPC.

（2）因為尸/=尸0,且。為NC的中點，則尸OL/C,

且P0_L2。，ACHBD=Ot/C,8。u平面/BCD,所以尸。_L平面/BCD,

可知P4與平面N8C。所成的角為ZPAC=60°,即AP/C為等邊三角形，

設/HIPO=G,則Ge/，,Ge尸0,且/"u平面尸。u平面尸AD,

可得Gw平面/AffiN,Ge平面尸g。，

且平面平面尸5D=ACV,所以GeMV,即4”,尸O,AW交于一點G,

因為H為尸C的中點，則G為AP/C的重心，

PM_PN_PG_2

且BD||MN,貝|JPB~PD~PO~3,

PA=PC=2?0A=OC=-AC=6,0B=OD=1,OP=3

設/8=2,則2

如圖，以04。d°夕分別為x/,z軸，建立空間直角坐標系,

UULT

,NM=/尸46,0,3)

可得

——?4

n-NM=-y,=0

設平面NMN的法向量”=（再，必，4）,則31

令玉=1,則必=0,%=6,可得"=?,0,e),

設平面PAM的法向量機=62，%*2）,則m-AP=-V3x2+3Z2=0

令X2=6,則M=3修=1,可得加=即，3,1）,

V39

所以平面尸與平面所成的銳二面角的余弦值13.

（X-2）2+

18.【正確答案】（1）

（2）證明見解析，定點為（4」）

⑶忸叫?3L=8

【分析】（1）圓的半徑為r,則圓心為（2/）,再根據*=4+（廠-1）2求得乙即可得解;

（2）設點尸（X/）是圓C上任意一點，由N8是圓C的直徑，得萬?麗=0,從而可求

出圓C的方程，即可得出結論；

（3）根據題意可得點C在直線歹=苫-3上，要使圓。的面積最小，則圓c是以

直徑的圓，從而可求出圓°的方程，進而可求得8點的坐標，設出直線/的方程，

分別求出"，N的坐標，再根據兩點的距離公式結合基本不等式即可得解.

【詳解】（1）解：。=1時，圓過