2024-2025學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)期末模擬卷（新高考八?。┖馕?/h1>

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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

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2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+數(shù)列。

5.難度系數(shù):0.75o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.過點(diǎn)（3,2）且垂直于直線尤-2丫+1=0的直線方程為（）

A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0

C.2x+y—8=0D.x—2y+4=0

2.如圖，三棱錐O-A8C中市=扇礪=反反=3,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，點(diǎn)〃滿足而=2麗，則礪=（）

B

1-11-1-1-71-一2-1；1--1-21-

A.—a——b7——cB.——〃+—/?+—cC.——a+—b+—cD.—a——b7+—c

233322322332

3.已知直線）二21是雙曲線C：二一2

=1（6>0）的一條漸近線，則C的離心率等于（）

4

A.1B.V5C.乎D.白

2

等差數(shù)列｛｝的前〃項(xiàng)和為，

4.4S.其中邑-7,又2,瓦,b2,b3,8成等比數(shù)列，則.

A.4B.-4C.4或-4D.2

5.已知直線/的方向向量為元=（3,0,3）,且過點(diǎn)M（L-L-l）,則點(diǎn)到直線/的距離的最小值為（）

A.1B.2C.V6D.6

6.已知圓G:f+y?—2x—4y—0,圓G：/+/+=0,若圓。2平分圓G的周長，則幾2一根的最小

值為()

A.4B.6C.8D.9

7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-6(x-l)過拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與。交于〃，N兩點(diǎn)，/

為。的準(zhǔn)線，則()

Q

A.p=3B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.AOMN為等腰三角形

已知g“-1)北=2““，若為〈需，則〃的最小值是()

8.記正項(xiàng)數(shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)積為Tn,

A.999B.1000C.1001D.1002

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知直線4:y—2=?n(%+l)(m￡R),:x-2y+2=0(2eR),則下列說法正確的為()

A.直線乙過定點(diǎn)(-1,2)

B.若4，貝!]根=一2

C.若兩條平行直線《與4間的距離為2石，則％=-5

D.點(diǎn)尸(2,6)到直線4距離的最大值為5

10.在正方體ABC。-44GR中，43=2,點(diǎn)E是抽的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)P滿足Q=x獲+

yAA^(x,yG[0,1]),則()

A.當(dāng)尤=1時，AB1.CP

B.當(dāng)y=l時，三棱錐尸-BCR的體積為定值

C.當(dāng)x時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得BP〃平面ACR

D.當(dāng)x+y=l時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得6尸與CR所成角為60°

11.已知數(shù)列{〃〃}y兩足〃1+2%+3%H--Fnan,則()

2

A.數(shù)列｛瘋｝為等差數(shù)列

B.an+an+2<2an+l

C.Z1<2

,=1%

D.數(shù)列｛(-1)”％｝的前2〃項(xiàng)和為2〃2+〃

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知空間向量2=(1,1,0)1=(-1,0,2)1=[1,。2)且丘+石與"互相平行，則實(shí)數(shù)上的值__________.

22

222

13.已知(2,痣)為橢圓C^+qulQO)上一點(diǎn)，C1：(x+2)+/=l,C2:(x-2)+y=l,P,M,N分別

為c，cc上動點(diǎn)，則?尸闿+|尸M的最大值為.

14.將數(shù)據(jù)2°,2]，2?,…排成如圖的三角形數(shù)陣，(第一行一個2片，第二行兩個2皿，…，最下面一行

有〃個2°，“eN*)則數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為.

211"

尸2".

2，2:…2122

212'2,2,21

2°2°2°2°...2°2°

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)已知等差數(shù)列｛%｝中，q=1,前〃項(xiàng)和為5.，｛,｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，4=2,且％+$2=7,

%+4=io?

⑴求。“與年；

⑵定義新數(shù)列｛C,｝滿足C.=*為偶數(shù)j,(?eN),求｛C,｝前20項(xiàng)的和心.

16.(15分)已知圓C:尤2+y?-4x-6y+4=0.

(1)若直線/經(jīng)過點(diǎn)4(-1,-3)，且與圓C相切，求直線/的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。(3,2),點(diǎn)E在圓C上,M為線段DE的中點(diǎn)，求M的軌跡的長度.

17.(15分)如圖，在四棱臺ABC。一中，底面ABC。是正方形，48=34^=244=6,441平

面ABCD.

(1)證明：2。/平面4。64.

(2)求直線DDt與平面BCC國所成角的正弦值.

2

⑶棱BC上是否存在一點(diǎn)P,使得二面角P-AR-D的余弦值為針？若存在,求線段BP的長;若不存在,

請說明理由.

22

18.(17分)如圖，已知橢圓C：j+多=1(。>6>0)上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為

ab

2(e+⑹和2(6-⑹，斜率為一;的直線/與橢圓C相交于異于點(diǎn)尸(3,1)的M,N兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程;

⑵若=求直線/的方程;

(3)當(dāng)直線尸M,PN均不與無軸垂直時，設(shè)直線尸M的斜率為左，直線PN的斜率為右，求證：W為

定值.

19.(17分)設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S”.若對任意正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)修，使得,,,則稱｛%｝是

數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且q=0,求證：數(shù)列｛%｝是“”數(shù)列”；

⑵若數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和S”=2a-lWeN*),證明：數(shù)列｛《,｝不是“”數(shù)列”；

(3)設(shè)｛七｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)q=1,公差d<0.若｛%｝是“〃數(shù)列”，求d的值.

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+數(shù)列。

5.難度系數(shù):0.75o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.過點(diǎn)（3,2）且垂直于直線》-22+1=0的直線方程為（）

A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0

C.2%+y-8=0D.x-2y+4=0

【答案】c

【詳解】若直線與x-2y+l=0垂直，貝其斜率為〃=一"二一2,

2

又該直線過（3,2）,根據(jù)點(diǎn)斜式有y-2=-2（x-3）,整理得2x+y-8=0.

故選：C

2.如圖，三棱錐。-ABC中市=%麗=尻而="，點(diǎn)N為8C中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足礪=2荻，則赤=（）

1一1f1一1-1一1-*C.-與+4+=D.匕一馬+左

A.—a——b——cB.——a+—b+—c

233322322332

【答案】B

【詳解】如圖,

______,1—，I

因?yàn)榀?2屈，所以0M=耳。4=3。，

所以兩=詬+弧=_而+；（無+反）=++；二，

故選：B.

22

3.已知直線y=2x是雙曲線c：L-2=13＞0）的一條漸近線，則C的離心率等于（）

4b

A.旦「V3

B.V5X_z.------D.9

22

【答案】B

22

【詳解】直線會是雙曲線c：『》①。）的一條漸近線,

b

則有2=2,得6=4,

故c的離心率為亞運(yùn)=畫

22

故選：B.

2b2

4.等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，其中邑=7,又2,瓦,瓦,b3,8成等比數(shù)列，則的值是（）

a3+%

A.4B.-4C.4或—4D.2

【答案】A

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且S7=7,所以7（%；%）=7,解得“+%=2,

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%+%=q+。7=2,

因?yàn)?,4，b2,b3,8成等比數(shù)列，所以￡=2x8=16,解得仇=±4,

2b2x4

又廳=2仇＞0,所以外＞。，所以4=4,所以1=一廠=4.

故選：A.

5.已知直線/的方向向量為拓=(3,0,3),且過點(diǎn)則點(diǎn)到直線/的距離的最小值為()

A.1B.2C.y/6D.6

【答案】B

【詳解】旃=(0,2,〃+1),所以點(diǎn)N(11M)到直線/的距離為

故選：B

6.已知圓C］：爐+,2一24一4》=0,圓。2：/+>2+如+可;=0,若圓。2平分圓￡的周長，則〃2一根的最小

值為()

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【詳角軍】?.?方程f+/+的+孫=。表示圓，

m2+n2-4x0>0,BPm2+n2>0.

圓G：f+》2-2工一4》=0,圓。2：/+y2+蛆+〃,=0,

兩圓的方程相減，可得兩圓的公共弦所在直線/的方程：(m+2)x+(〃+4)y=0.

若圓。2平分圓G的周長，則圓G的圓心在直線/上，

??,圓G:爐+/一2%一4y=0的圓心為(1,2),

(加+2)+2(〃+4)=0,即m=一2〃一10,

-機(jī)=+2〃+10=(〃+1)2+9,

當(dāng)〃=-1,相=-8時，幾2—加取最小值9.

故選：D.

7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-e(x-l)過拋物線C：；/=2px(p>o)的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，/

為C的準(zhǔn)線，則()

A.p=3B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D,口沏為等腰三角形

【答案】C

【詳解】對于A,直線y=過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，可得5=1,所以。=2,故A錯誤;

對于B,拋物線方程為：產(chǎn)=4x,與C交于兩點(diǎn)，

直線方程代入拋物線方程可得，3x2-10x+3=0,所以

所以幽叫=尤〃+4，+0=4，故B不正確；

CCQ1

對于c,M,N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為1+3=§=5|MN|,

所以以MN為直徑的圓與/相切，故C正確；

對于D,由B得，3X2-10X+3=0,解得X=3或X=；,

不妨設(shè)xM=3,xN=—,貝Uy”=—2#>,yN=2：,

所以|OM|=j9+12=01,\ON\=^+^=^,\MN\=^,

所以口沏不是等腰三角形，故D錯誤；

故選：C

8.記正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為（，已知（%-1）北=2%,若4〈溫，則〃的最小值是（）

A.999B.1000C.1001D.1002

【答案】C

【詳解】???（為正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積，（4-1）7；=2七，

當(dāng)加=］時，（工_1）4=2工，q=4=3

時，an=，又(4,一1)北=2。“，

2a.,即『"2,

-1

???{1}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，且7；=3+25-1)=2〃+1.

由⑵一2”“=(，得”“=自=-

什1001?2?+11001.2001

若?！?lt;----,貝n。-----<----，..n>-------,

“10002w-110002

所以，正整數(shù)〃的最小值為1001.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知直線4：y-2=m(尤+l)(meR),直線：x-2y+/l=0(XeR),則下列說法正確的為()

A.直線《過定點(diǎn)(-1,2)

B.若/i-L"，則根=一2

C.若兩條平行直線4與4間的距離為2石，則a=-5

D.點(diǎn)尸(2,6)到直線(距離的最大值為5

【答案】ABD

【詳解】由4：y-2=Mx+l)(meR)，

“2=0(x=-l

令「?°，所以直線4過定點(diǎn)(T，2),故A對；

[尤+1=0[y=2

若4~L4,所以&?&,=；〃z=T=7〃=-2,故B對；

若4〃4,則勺=4,即加=：,

止匕時4：y-2=：(x+l),即x-2y+5=0,:尤一2y+X=0(2eR),

因?yàn)橹本€4與4間的距離為2右,

|5-A|廠

所以J+(_2)2=215=2=_5或15,故C錯；

由C知，直線過定點(diǎn)(-1,2),要使點(diǎn)尸(2,6)到直線4距離最大,則尸

則點(diǎn)尸(2,6)到直線4距離的最大值為|尸。=J(2+以+g2)2=5,故D對；

故選：ABD

10.在正方體ABC。-4602中，AB=2,點(diǎn)E是M的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)P滿足

AP=xAB+yA^(x,ye[0,1]),則()

A.當(dāng)尤=1時，ABICP

B.當(dāng)y=l時，三棱錐P-BCR的體積為定值

C.當(dāng)x=g時，有且僅有一個點(diǎn)尸，使得BP〃平面ACA

D.當(dāng)x+y=l時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得G尸與3所成角為60。

【答案】AC

【詳解】對于選項(xiàng)A,當(dāng)尤=1時，Q=+y麗，

如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時尸在線段8片上,

由于在正方體中，42_1平面88℃,

所以ABLCP,選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)＞=1時，AP^xAB+AAt,

如圖所示,

由平面向量基本定理，此時尸在線段A片上，

由圖可知,三棱錐尸-當(dāng)以平面BCD,為底面時SDBCDi為定值，

但因?yàn)轫旤c(diǎn)P在線段上運(yùn)動，所以尸到底面BC。的高不確定,

故三棱錐尸-BC。的體積不是定值，選項(xiàng)B錯誤;

對于選項(xiàng)C,當(dāng)x=g時，如圖所示，

此時Q=g而+y福,

由平面向量基本定理，取A3與4耳中點(diǎn)M,N,則尸在線段跖V上運(yùn)動,

由圖可知，過3點(diǎn)且與平面AC"平行的平面為平面ABG，

MNC平面ABC]=P,所以此時8尸〃平面AC。，

又P是MN馬A國交點(diǎn).即當(dāng)且僅當(dāng)尸是中點(diǎn)時，有BP//平面AC。,

故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D,如圖所示,

.c,

以D為原點(diǎn)，DC,DA,分別為無，y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),4(0,2,0),8(2,2,0),C(2,0,0),R(0,0,2),4(0,2,2),Q(2,0,2),

因?yàn)閤+y=l,貝!!有而=x荏+(l-x)離，

又荏=(2,0,0),西=(0,0,2),

所以Q=(2x,0,2-2x),

所以尸(2x,2,2-2x).

于是于=(2天-2,2,-2x),西=(-2,0,2),

所以于，西的夾角為60。時有,

QPCD^|-2(2x-2)-4x|

cos60°=

1彳1?1西IJ(2X-2)2+4X2+4-2V22

解得X=0或尤=1,

即P(0,2,2)或尸(2,2,0)都可以使得于，西的夾角為60°,

選項(xiàng)D錯誤.

故選：AC.

已知數(shù)列｛叫滿足q+2-+-]”》則()

A.數(shù)歹叼阮｝為等差數(shù)列

B.an+an+2<2an+i

C.Z1<2

,=1%

D.數(shù)列｛(-1)”?！埃那?〃項(xiàng)和為21+〃

【答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，q+2%+3/+?,?+〃%=①,

當(dāng)〃=1時，。1=1,

當(dāng)〃22時，4+2%+3%+…+(〃-1)4=1，②,

式子①-②得

-12~

H(H+1)n(n-l)n(n+l)n(n+l)n(n-l)

na1n(w-l)=n3，

n=22

故%="2,

2

其中。i=1滿足%=",綜上，an=n,n>l,

所以瘋=〃，心1，敵血丁&="+1-"=1，

數(shù)列｛阮｝為等差數(shù)列，A正確；

222

B選項(xiàng)，an+an+2-2an+i=n+(n+2)-2(n+1)=2>0,

故％+〃〃+2>2%，B錯誤;

11111

c選項(xiàng)，當(dāng)出2時，—=五<-./.八=—一二,

生I2一]1

11111—1111―心

y—=—I----1------11<1+11--------11----------=2—<2,c正確.

M%a】a2a3an223n-lnn」■

D選項(xiàng),(一1)〃?！?(—l)/7n2,

22222222

數(shù)列｛(一1)"%｝的前2〃項(xiàng)和S2n=-l+2-3+4-5+6------(2n-l)+(2n)

=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)----+[-(2TI-1)2+(2T7)2]

=3+7+11H-----=——-------------------=2M2+n,D正確.

故選：ACD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知空間向量。=（1,1,0）1=（-1,0,2）1=[1,：2]且心+刃與之互相平行，則實(shí)數(shù)左的值___________.

【答案】2

【詳解】由條件可知場+分=（左次,0）+（-1,0,2）=（"1,無,2）,

k—l=A,

因?yàn)閁+1與"互相平行，所以%+b=25=><左=丁,

K

2=22

解之得X=l#=2.

故答案為：2

22

222

13.已知（2,后）為橢圓C^+qulQO）上一點(diǎn)，C1：（x+2）+/=l,C2:（x-2）+y=l,P,M,N分別

為C，GC上動點(diǎn)，則1pMi+|PN|的最大值為.

【答案】4V2+2

【詳解】圓G：（尤+2）2+/=1的圓心G（-2,0），半徑釬1,圓C2:（尤-2）2+y2=1的圓心Cz（2,0）,半徑弓=1,

LY2V241

由（2,行）在橢圓C:=1上，得~^+7=1,解得"=8,a=2V2，

a4a2

22

則橢圓c：￡+。=1的焦點(diǎn)￡（-2,0）,G（2,0）,IPCJ+IPC1=2a=4叵,

o42

因此1PMI+1PN|<|PC,I+4+IPC2\+r2=4y[2+2,

當(dāng)且僅當(dāng)M,N分別為線段PG，PC2的延長線與圓G，C2的交點(diǎn)，

所以|PM|+|PN|的最大值為4亞+2.

故答案為：472+2

14.將數(shù)據(jù)2°，2J2z,…排成如圖的三角形數(shù)陣，（第一行一個2'一，第二行兩個2皿，…，最下面一行

有“個2°，”eN*）則數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為.

222…222

2'2'2,…2,21

2°20202,???202°

【答案】2B+1-w-2

【詳解】由題意，設(shè)數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為T,

則7=〃+2(〃-1)+22(2)+23(〃-3)+…+2"-2義2+2”7①,

2T=2TI+22(M-1)+23(M-2)+24(?-3)+---+2,,-1X2+2"(2),

2323n

由①-②得：-T=n-2-2-2-------2"T-2"=?-+2+2+---+2)

21-2"

=n---=--〃--+---2---2”，

1-2

所以T=2-j-2.

故答案為：2"|-〃-2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）已知等差數(shù)列｛%｝中，q=1,前〃項(xiàng)和為S",｛.｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，4=2,且％+$2=7,

%+4=10.

⑴求見與或；

（）4,（〃為奇數(shù)）/*\（）

⑵定義新數(shù)列｛G｝滿足"為偶數(shù)j,（〃eN）,求｛C“｝前20項(xiàng)的和品.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為1,數(shù)列｛%｝的公比為4,

Z?+S=102q+2+d—7

則由22可得,（分）

22

a2+b3=10l+d+2.q=10

[<7=1,

解得：...........................................................（4分）

故=1+("-1)=〃也=2".................................................................................（6分）

w,（〃為奇數(shù)）

（2）由（1）得,(?eN*),（8分）

2”,（〃為偶數(shù)）

貝|(。=(。1+。3+―+09)+(。2+。4+―+62。)

=(1+3+---+19)+(22+234*+---+220)

10(1+19)4(1-4'°)4411296411

-------------1------------=100------1-----=-------1..................................................（13分）

21-43333

16.(15分)已知圓C:+/-4尤-6y+4=0.

⑴若直線/經(jīng)過點(diǎn)A（-l,-3），且與圓C相切,求直線I的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)。（3,2）,點(diǎn)E在圓C上,M為線段。E的中點(diǎn)，求M的軌跡的長度.

【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（x—2/+（y—3）2=9

:(-1-2)2+(-3-3)2=45>9,

.??點(diǎn)A（-l,-3）在圓外,

故過點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，............................（2分）

①當(dāng)直線/的斜率不存在時，/:尤=-1

圓心C（2,3）到直線/的距離1=|2-（-1）|=3=廠

直線/與圓C相切.............................（4分）

（2）當(dāng)直線/的斜率存在時，可設(shè)直線/：＞+3=%（%+1）,即依-y+左-3=0.........................（5分）

|2Zr-3+^-3|_|3^-6|

圓心C到直線/的距離1=

3^-63

由題意d=/?,;.^^=3,解得左=：,（7分）

，公+14

39

止匕時==即/：3%_4y_9=0,

44

終上所述，直線/的方程為x=—1或3x-4y-9=0.........................................................（8分）

（2）設(shè)￡（%,%）,〃（小封,因?yàn)椤?。石的中點(diǎn),

2+3=X

2冗°=2%-3

所以《（10分）

%+2=2y-2

=y

I2

???點(diǎn)E在圓C上

即(2尤一5)2+(2y-5)2=9,

17.（15分）如圖，在四棱臺中，底面ABC。是正方形，AB=3A^=2^=6,44,，平

面ABCD.

（2）求直線DA與平面BCC^所成角的正弦值.

2

（3）棱BC上是否存在一點(diǎn)尸，使得二面角P-A。-。的余弦值為A?若存在，求線段3尸的長;若不存在，請

說明理由.

【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以ACLBD..................................（1分）

又因?yàn)镴L平面ABCD,BOu平面ABCD,所以A4]_LBD..................（2分）

因?yàn)锳41nAe=A,且的，ACu平面AC0A，

所以2。工平面..............................（3分）

（2）因?yàn)锳A_1平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

所以AA|_LAB,A^IAD,

又底面ABC。是正方形，AB_LA￡>,故A2,AD,明兩兩垂直...................（4分）

以AB,AD,44,所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,0）,B（6,0,0）,耳（3,0,2）,C（6,6,0）,0（060）,Dx（0,3,2）,

所以前=（0,6,0）,函=（—3,0,2）,西二（0,—3,2）....................................（6分）

設(shè)平面的法向量為玩=（石,芳，4）,

m-BC=6%=0,

，解得必=0,令占=2,則Z]=3,

m?BB[=-3%+24=0,

故加=（2,0,3）........................................................................................................................（7分）

設(shè)直線。A與平面BCC由所成的角為。，

I-----IDD-nv,66

貝sin。=cosZJD,,m=l?,——,=一,

J1'1DD^m\V974XV47913，

故直線與平面BCG4所成角的正弦值為[...............................（9分）

（3）若存在點(diǎn)尸滿足題意，則可設(shè)點(diǎn)網(wǎng)6,九0）,其中2e[0,6],

則而=（6,%0）,麗=（0,3,2）........................................................（10分）

設(shè)平面4。尸的法向量為五=（9,%,Z2）,

h-AP=6X2+4y2=。，

h?A￡）]=3y2+2Z2=0,

令%=-6,貝!Jz?=9,%2=%,故行=（九一6,9）........................................................（12分）

易得平面4?？诘囊粋€法向量為v=（1,0,0）,

所以|cos無可—,解得X=2或-2（舍去）,（14分）

問同+36+81

2

故棱上存在一點(diǎn)尸，當(dāng)8尸=2時，二面角P-AA-。的余弦值為打..........（15分）

22

18.（17分）如圖，已知橢圓C：j+當(dāng)=1（。＞6＞0）上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為

ab

2（右+夜）和2（6-夜），斜率為-3的直線/與橢圓C相交于異于點(diǎn)尸（3,1）的M,N兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

（2）若=求直線/的方程;

（3）當(dāng)直線PM,PN均不與無軸垂直時，設(shè)直線的斜率為勺，直線尸N的斜率為求證：上芯為定值.

尤2y2=1上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為2（6+應(yīng)）和

【詳解】（1）解：由橢圓C：示+旨

2（君-亞）,

a+c=2（V3+V2）

結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得＜（2分）

a-c=2

=2百

解得則b=y/a2-3c2=2，（4分）

=2收

22

故橢圓C的方程為二+匕=1...............................................................................（5分）

124

（2）解：設(shè)直線/的方程為y=-；工+根，Nd，%）.

1

y=——x+m

3.

由I,9消去九整理得4/-6mx+9病一36=0................................................（7分）

1124

由A=（-6加『一144（機(jī)2一4）＞0,得一手＜根＜手，.......................（8分）

e3m9療-36

貝！Jx+x=（9分）

124

|=jl+g.J1/+々）2-4%%2='V16-3m2=V10,................................................

（10分）

解得根=2或機(jī)=-2...............................................（11分）

當(dāng)”=2時，直線/的方程為y=-gx+2,此時直線/過點(diǎn)尸（3,1）；..............................（12分）

當(dāng)相=-2時，直線/的方程為y=-gx-2,滿足題目條件

所以直線/的方程為y=-1無一2..............................................................................................（1