2024冀教版七年級數(shù)學下冊?？碱}型：二元一次方程組（含答案）

第六章二元一次方程組

?？碱}型

?？碱}型一利用二元一次方程組有關概念解決相關問題

典例1下列方程組中是二元一次方程組的是（）

%+y=42a-3b=U%2=9x+y=8

A.B.C.D.

2x+3y=75b-4c=6x2-y=4

變式1-1下列各組數(shù)值符合二元一次方程x-3y=4的解的是)

X=1x=2x=-lx=4

A.B.C.D.1

〔y=一i[y=l〔y=一2

變式1?2二元一次方程2x+y=5的正整數(shù)解有（）

A.一組B.2組C.3組D.無數(shù)組

變式1-3方程（m-2O16）xlm「2oi5+（n+4）ym「3=2018是關于x、y的二元一次方程,貝l|（

A.m=±2016；n=±4B.m=2016,n=4

C.m=-2016,n=—4D.m=~2016,n=4

x+y=10

變式1?4方程組〈。的解是()

2x-Fy=16

x=6x=5x=3x=2

A.B.C.D.<

7=4y=6y=6=8

?？碱}型二利用代入法解二元一次方程組

x=2mx+ny=8

典例2已知＜?是二元一次方程組〈?的解，則2根—〃的值為(

[y=1rvc-my=l

A.4B.-4C.2D.-2

x=y+1

變式2?1解方程組《C:廠時，較為簡單的方法是（

2x-3y=5

A.代入法B.加減法C.特殊值法D.無法確定

2x+3y=8①

變式2?2用代入法解方程組《c/廠—有以下過程，其中錯誤的一步是（）

3x—5y=5②

（1）由①得x=號二曳③;

2

（2）把③代入②得3x*券-5y=5；

⑶去分母得24-9y-10y=5；

⑷解之得y=l,再由③得x=2.5.

A.⑴B.（2）c.（3）D.⑷

常考題型三利用加減法解二元一次方程組

2x-3y=ll

典例3用加減法將方程組c二u中的未知數(shù)X消去后，得到的方程是（)o

2x+5y=—5

A.2y=6B.8y=16C.-2y=6D.一8y=16

2x+5y=-10①

變式3-1利用加減消元法解方程組、c,下列做法正確的是()

5x—3y=6②

A.要消去v，可以將①X5+②X2B.要消去X,可以將①x3+②x（—5）

C.要消去y,可以將①x5+②x3D.要消去X,可以將①x（—5）+②x2

x+2y=5k+1

變式3-2若關于x,y的二元一次方程組-c,u的解滿足％+y=7,則左的值是

x-y=2左-5

A.1B.2c.3D.4

?？碱}型四二元一次方程組的特殊解法

2x+4y=16

典例4（1）解方程＜

5x-2y=4

++=16

（2）在（1）的基礎上，求方程組《U(\C/\t的解?

5^m+n)—2^m—n)=4

3x-my=5X=1

變式4-1已知關于x、y的二元一次方程組〈c，的解是《，求關于a、b的二

2x+ny=6y=2

3(a+b)-m(a-b)=5

元一次方程組《?，、z,、/的解?

2(a+b)+n(a-b)=6

考察題型五解三元一次方程組

x+2y+z=0

典例5下列四組數(shù)中，是方程組2x-y-z=l的解是()

3x-y-z=2

x+y=10

變式5?1已知三元一次方程組[y+z=20,貝!|%+y+2=（）

z+%=40

A.20B.30C.35D.70

x+y=8

變式5-2如果方程組，y+z=6的解使代數(shù)式kx+2y-3z的值為8,則k=（

一+x=4

11

A.-B.--C.3D.-3

33

?？碱}型六利用二元一次方程組解決實際問題

典例6《九章算術》中記載：〃今有共買羊，人出五，不足四十五人出七，不足三，問人數(shù)、

羊價各幾何?〃其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還

差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少?設合伙人數(shù)為X人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方

程組為（）.

y=5x+45y=5x-45y=5x+45y=5x-45

A.sB.sC.<

y=7x-3[y=7x+3[y=7x+3y=7x-3

變式6口如圖所示：在長為30米，寬為20米的長方形花園里，原有兩條面積相等的小路,

其余部分綠化.現(xiàn)在為了增加綠地面積，把公園里的一條小路改為綠地，只保留另一條小路,

x=6

D.<

y=4

變式6-2我國民間流傳著許多趣味數(shù)學題，它們多以順口溜的形式表達，請同學們看這樣一

個數(shù)學問題:一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一梨，一人兩個少二梨，請問

君子知道否，幾個老頭幾個梨?請你猜想下:幾個老頭幾個梨?（）

A.7個老頭8個梨B.5個老頭6個梨

C.4個老頭3個梨D.3個老頭4個梨

變式6-3甲、乙兩人分別從相距40千米的兩地同時出發(fā)，若同向而行，則5小時后，快者

追上慢者；若相向而行，則2小時后，兩人相遇，那么快者速度和慢者速度（單位：千米/小

時）分別是（）

A.14和6B.24和16C.28和12D.30和10

變式6-4六年前，A的年齡是B的年齡的3倍，現(xiàn)在A的年齡是B的年齡的2倍，A現(xiàn)在的

年齡是（）.

A.12歲B.18歲C.24歲D.30歲

?？碱}型七利用三元一次方程組解決實際問題

典例7小明到某服裝商場進行社會調(diào)查，了解到該商場為了激勵營業(yè)員的工作積極性，實行

"月總收入=基本工資+計件獎金"的方法，并獲得如下信息：

營業(yè)員A：月銷售件數(shù)200件，月總收入3400元；

營業(yè)員B：月銷售件數(shù)300件，月總收入3700元；

假設營業(yè)員的月基本工資為X元，銷售每件服裝獎動y元.

（1）求x和y的值；

⑵商場為了多銷售服裝，對顧客推薦一種購買方式：如果購買甲服裝3件，乙服裝2件，

丙服袋1件共需390元：如果購買甲服裝1件，乙服裝2件，丙服裝3件共需370元.某顧

客想購買甲、乙、丙服裝各一件共需多少元？

變式7-1小紅在學校商店買了3支鋼筆，1本練習本，2支中性筆共花13元，小穎買了2支

鋼筆，4本練習本，3支中性筆共花17元，小明打算在該商店買20支鋼筆，20本練習本，

20支中性筆寄給四川地震災區(qū)的小朋友，他只有120元的壓歲錢，請你幫他算一下，他的

錢夠嗎？

參考答案與試題解析

第六章二元一次方程組

?？碱}型

?？碱}型一利用二元一次方程組有關概念解決相關問題

典例1下列方程組中是二元一次方程組的是（）

1%+y=42a-3b=ll[X2=9%+y=8

c.<D.

.+3y=75b-4c=6[y=2xx1-y=4

【答案】A

【解析】

二元一次方程組的三個必需條件：①含有兩個未知數(shù)，②每個含未知數(shù)的項次數(shù)為1:③每

個方程都是整式方程.

變式1-1下列各組數(shù)值符合二元一次方程x-3y=4的解的是（)

X=1x=2x=-lx=4

A.〈B.C.<D.<

b=lb=-l

【答案】A

【解析】

試題分析：A、將x=l,y=；代入方程左邊得：x-3y=l+3=4,右邊為4,本選項正確;

B、將x=2,y=l代入方程左邊得：x-3y=2-3=-l,右邊為4,本選項錯誤；

C、將x=-l,y=-2代入方程左邊得：x-3y=-l+6=5,右邊為4,本選項錯誤；

D、將x=4,y=-l代入方程左邊得：x-3y=4+3=7,右邊為4,本選項錯誤.

故選A

變式1-2二元一次方程2x+y=5的正整數(shù)解有（）

A.一組B.2組C.3組D.無數(shù)組

【答案】B

【詳解】

解：當x=l,則2+y=5,解得y=3,

當x=2,則4+y=5,解得y=l,

當x=3,則6+y=5,解得y=-l,

所以原二元一次方程的正整數(shù)解為

X=1

y=3

故選B.

變式1-3方程(m-2O16)xlm「2oi5+(n+4)ym-3=2018是關于x、y的二元一次方程,貝!1()

A.m=±2016；n=±4B.m=2016,n=4

C.m=-2016,n=—4D.m=—2016,n=4

【答案】D

【詳解】???(加―2016)―-2°15+(〃+4),-3=2018是關于*、y的二元一次方程，

.,.m-2016^0,n+4H0,|m|-2015=l,|n|-3=l,

解得：m=-2016,n=4,

故選D.

x+y=10

變式1-4方程組已",，的解是（）

2x+y=16

x=6x—5x—3x-2

A.<B.《c.<D.<

y=47=6y=6J=8

【答案】A

【解析】

x+y-10@

2x+y=16②'

①-②得

x=6,

把x=6代入①，得

y=4,

x=6

原方程組的解為《/.

[y=4

故選A.

常考題型二利用代入法解二元一次方程組

x=2[tnx+ny=S

典例2已知，是二元一次方程組《，的解，則2加―〃的值為（

y=1[nx-my=1

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【詳解】

x=2mx+ny=82m+〃=8

將《代入=1

b=2n—m=l

=3

解得《、

則2m-n=2x3-2=4.

故選A.

x=y+1

變式2口解方程組L:廠時，較為簡單的方法是（）

2x-3y=5

A.代入法B.加減法C.特殊值法D.無法確定

【答案】A

【詳解】

解：解方程組4■_…時，直接將①代入②得X的值，進而得到y(tǒng)的值.因此較為簡

2x-3y=5②

單的方法是代入法

故選：A.

2x+3y=8①

變式2-2用代入法解方程組＜有以下過程，其中錯誤的一步是（)

3x-5y=5②

⑴由①得*=且曳③；

2

⑵把③代入②得3x豆曳-5y=5；

2

⑶去分母得24-9y-10y=5；

⑷解之得y=l，再由③得x=2.5.

A.⑴B.（2）C.（3）D.（4）

【答案】C

【解析】

其中錯誤的一步為（3）,

正確解法為：去分母得：24-9y-10y=10,

移項合并得：-19y=-14,

14

解得：y=ig'

故選C.

?？碱}型三利用加減法解二元一次方程組

典例3用加減法將方程組《°2x-3y=l廣l中的未知數(shù)》消去后，得到的方程是（）o

2x+5y=-5

A.2y=6B.8y=16C.-2y=6D.一8y=16

【答案】D

【詳解】

]2x—3y=H?①

解：Vc

[2x+5y=-5?②

②-①得：8y=-16,即-8y=16,

故選：D.

2x+5y=-100

變式3-1利用加減消元法解方程組〈-_，下列做法正確的是()

5x-3y=6②

A.要消去y,可以將①X5+②X2B.要消去x,可以將①x3+②x(—5)

C.要消去y,可以將①x5+②x3D.要消去X,可以將①x(—5)+②x2

【答案】D

【詳解】

2x+5y=-10?

解：利用加法消元法解方程組＜

5x—3y=6②

要消元y,

可以將①X3+②X5

要消去X,可以將①X(-5)+②X2,

故選D.

x+2y=5k+1

變式3-2若關于X,y的二元一次方程組”…「的解滿足％+y=7,則大的值是

x-y=2k-5

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

x+2y=5k+l(1)

解：1/c、

x-y=2k-5(2)

(1)x2+(2),得3x+3y=12k-3,

x+y=4k-l,

A4k-1=7,解得k=2.

故選：B.

?？碱}型四二元一次方程組的特殊解法

2x+4y=

典例4(1)解方程「

5x—2y=

2(m+n)+4(m—n)=16

(2)在(1)的基礎上，求方程組＜的解.

5(m+n)—2(m—n)二4

x=2m=2.5

【答案】（1）＜。(2)《

y=3"=-0.5

【詳解】

x+2y=8①

（1）方程組整理得:&-2,=4②

①+②得:6x=12,

解得：x=2,

把x=2代入①得：y=3,

x=2

則方程組的解為.

y=3

m+n=2

(2)由(1)得：＜。

m—n=3

m=2.5

解得：＜

n=-0.5

3x-my=5x=l

變式4-1已知關于x、y的二元一次方程組\c’的解是,，求關于a、b的二

2x+ny=6y=2

3(a+b)—m(a—b)=5

元一次方程組《C/7、/7、/的解?

2(〃+/?)+〃(〃—/7)=6

3

Cl———

2

【答案】

b=--

2

【詳解】

3x-my=5x=l

???關于x、y的二元一次方程組《c「的解是

2x+ny=6b=2

3(a+b)-m(a-b)=5“a+b=l

???關于a.b的二元一次方程組＜滿足〈

2(a+b)+n(a-b)=6[a-b=2

.3

ci———

解得：\2

b=——

[2

3

ci———

3(a+b)-m(a-b)=52

二關于a.b的二元一次方程組＜~7、Z7、「的解是V

2(〃+/?)+〃(〃一/7)=6

b=--

2

考察題型五解三元一次方程組

x+2y+z=0

典例5下列四組數(shù)中，是方程組，2x-y-z=l的解是()

3x-y-z=2

X=1,x=l,x=0,x=0,

A.＜y=-2,B.＜y=0,c.<y=-LD.<y=1,

z=3.z=l.z=0.*=-2.

【答案】A

【詳解】

x+2y+z=0,(1)

解：{2x-y-z=l,(2),⑴+(2),3x+y=l,(4),(3)_(2),%=l,,y=-2,

3x-y-z=2,(3)

把x=l,y=-2代入(2)得，

z=3,

x=l

{y=-2.

z=3

故選D.

x+y=10

變式5-1已知三元一次方程組＜y+z=20,貝|x+y+z=()

z+x=40

A.20B.30C.35D.70

【答案】C

【詳解】

'x+尸10①

,y+z=20②，

.z+x=40③

①+②+③得：2(x+y+z)=70,

則x+y+z=35.

故選C.

x+y=8

變式5-2如果方程組,v+z=6的解使代數(shù)式kx+2y-3z的值為8,則卜=()

z+x=4

11、

A.—B.—C.3D._3

33

【答案】A

【詳解】

X+y=8①

<y+z=6②

z+x=4③

①-②，得

x-z=2④

③+④，得

2x=6,

解得，x=3

將x=3代入①，得

y=5,

將x=3代入③，得

z=l,

故原方程組的解是X=3,y=5,z=l,

x+y=8

又：方程組<y+z=6的解使代數(shù)式kx+2y-3z的值為8,

z+x=4

；.3k+2x5-3x1=8,

解得，k=g,

3

故選：A.

?？碱}型六利用二元一次方程組解決實際問題

典例6《九章算術》中記載："今有共買羊，人出五，不足四十五人出七，不足三，問人數(shù)、

羊價各幾何?”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還

差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少?設合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方

程組為（）.

y=5x+45[y=5x-45/y=5x+45/y=5x—45

y=lx-3y=7x+3y=7x+3y=7x-3

【答案】C

【詳解】

解：由"若每人出5錢，還差45錢"可以表示出羊價為：y=5x+45,由"若每人出7錢，還

差3錢”可以表示出羊價為：y=7x+3,故方程組為《

變式6口如圖所示：在長為30米，寬為20米的長方形花園里，原有兩條面積相等的小路,

其余部分綠化.現(xiàn)在為了增加綠地面積，把公園里的一條小路改為綠地，只保留另一條小路,

并且使得綠地面積是小路面積的4倍，則x與y的值為（）

尤=3%=5x-6x=6

y=2y=4y=5y=4

【答案】D

【詳解】

由題意可知:

20%=30y

,解得：＜

30x20-30y=30yx4

變式6-2我國民間流傳著許多趣味數(shù)學題，它們多以順口溜的形式表達，請同學們看這樣一

個數(shù)學問題:一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一梨，一人兩個少二梨，請問

君子知道否，幾個老頭幾個梨?請你猜想下:幾個老頭幾個梨?（）

A.7個老頭8個梨B.5個老頭6個梨

C.4個老頭3個梨D.3個老頭4個梨

【答案】D

【詳解】

解：設有x個老頭，y個梨,

x+l=y

依題意得:

2x-2=y

x=3

解得：〈

即有3個老頭4個梨,

故選D.

變式6-3甲、乙兩人分別從相距40千米的兩地同時出發(fā)，若同向而行，則5小時后，快者

追上慢者；若相向而行，則2小時后，兩人相遇，那么快者速度和慢者速度（單位：千米/小

時）分別是（）

A.14和6B.24和16C.28和12D.30和10

【答案】A

【解析】

設快者的速度為x千米/小時，慢這的速度為y千米/小時，根據(jù)題意得：

~5x-5y=40

2x+2y=40'

x=14

解得：＜

y=6

故選A.

變式6-4六年前，A的年齡是B的年齡的3倍，現(xiàn)在A的年齡是B的年齡的2倍，4現(xiàn)在的

年齡是（