高等代數(shù)課件：化二次型為標準型

3二次型的矩陣表示第二節(jié)化二次型為標準型2二次型的定義1問題的引出4標準形5用配方法化二次型為標準形一、問題的提出對于一個二次型,我們討論的主要問題是:

尋求一個可逆的線性變換x=Py使之化為只含平方項的形式:f=k1y12+k2y22+…+knyn2.

稱只含平方項的形式為二次型的標準形.對于上述可逆的線性變換x=Py,可得f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y)=yT

y.于是問題轉化為求可逆矩陣P,使PTAP為對角陣

.

例1.用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3為標準形.解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3

令則f=4y12+3y22+(8/3)y32.所用的可逆線性變換為x=P1y.其中y=x=Px.1000

1001/3

1二、用配方法化實二次形為標準型例2.用配方法化f=x12

3x22

2x1x2+2x1x3

6x2x3

為標準形,并求所用的可逆線性變換.解:f=x12

3x22

2x1x2+2x1x3

6x2x3=[x12

2x1(x2

x3)+(x2

x3)2]

(x2

x3)2

3x22

6x2x3

=(x1

x2+x3)2

(2x2+x3)2

=y12

y22

所用的可逆線性變其中y=x.100

12011

1換為x=y.1001/21/20

3/21/2

1二、用配方法化實二次形為標準型例3.用配方法化f=2x1x2+2x1x3–6x2x3為標準形.

并求所用的變換矩陣.解:先配x1.令x1=y1+

y2,x2=y1–

y2,x3=y3.

則f=2y12–2y22–4y1y3+8y2y3.

配方得f=2(y1–

y3)2–2y32

–2y22+8y2y3

=2(y1–

y3)2–2(y2–2y3)2+6y32.令z1=y1–y3,z2=y2–2y3,z3=y3,可逆線性變換

x=P1P21z,則f=2z12–2z22+6z32.y=P1y,x=1101100

0

1z=y=P2y.1000101

2

1二、用配方法化實二次形為標準型定理.對于任意n階實對稱矩陣A,存在正交矩陣Q,使得

Q–1AQ=QTAQ=

=diag(

1,

2,…,

n),

其中

1,

2,…,

n為A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A的對應于

1,

2,…,

n的標準正交特征向量組.實對稱矩陣正交相似于對角矩陣推論.n階實對稱矩陣A的ni重特征值都有ni個線性無關的特征向量，再由施密特正交化方法知，必有ni個標準正交的特征向量.三、用正交變換化實二次型為標準型定理.對于任何一個n元實二次型f=xTAx,

都有正交變換x=Qy,使f化為標準形

f=

1y12+

2y22+…+

nyn2,

其中

1,

2,…,

n為A的n個特征值,Q的列向量是A的對應的n個標準正交特征向量.正交變換下的標準形

實二次型標準形正交變換

實對稱陣的正交相似對角化問題標準形不唯一,與特征值的順序有關

；正交矩陣不唯一,與選取的正交特征向量有關.

三、用正交變換化實二次型為標準型例4.用正交變換把將二次型

f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32

2x1x3

化為標準形.|

E–A|=

(

–1)(

–2).

1=0,

2=1,

3=2.代入(

E–A)x=0求得對應的特征向量

1=(1,0,1)T,

2=(0,1,0)T,

3=(1,0,–1)T.解:f的矩陣單位化可得正交矩陣令x=Qy,得該二次型的標準形為f=y22+2y32.101010

101,A=Q=0100,22221

1110三、用正交變換化實二次型為標準型例5.設二次型f(x1,x2,x3)=x12+ax22+x32+2bx1x2+2x1x3+2x2x3經(jīng)正交變換x=Qy化成g(y)=y22+4y32,求a,b,Q.|A|=|

|=0=(b–1)2

b=1.將

=0,1,4代入(

E–A)x=0求得相應的單位特征向量解:f的矩陣1b

1b

a

1111,A=g的矩陣于是,所以,A與

相似.則tr(A)=tr(

)=a+2=5

a=3三、用正交變換化實二次型為標準型例6.化f=2x1x2+2x1x3–6x2x3為標準形.

并求所用的變換矩陣.|

E–A|=(

–3)[

+(3+)][

+(3

)].12171712解:因為但由此可見f可化為f=3y12

(3+)y22+(

3)y32.1217171201110313

0,f(x1,x2,x3)的矩陣A=三、用正交變換化實二次型為標準型f

=2x1x2+2x1x3–6x2x3

在兩種不同的可逆線性變換下可分別化為下列標準形:f=3y12

(3+)y22+(

3)y3212171712f=2z12–2z22+6z32

正交變換一般可逆線性變換三、用正交變換化實二次型為標準型可逆線性變換得到的實二次型的標準形對角線元素是實對稱陣的特征值;

對角線元素不一定是實對稱陣的特征值,且標準形在不計特征值順序時是唯一的.標準形也不唯一.四、二次型在可逆變換下的標準型一.二次型及其矩陣表示二.用正交變換化實二次型為標準形三.用配方法化實二次型為標準形實二次型標準形正交變換

實對稱陣的正交相似對角化問題f(x)=xTAx標準形g(y)=yT

y可逆線性變換x=Py對角線元素是實對稱陣的特征值;

對應一般的可逆線性變換，得到的實二次型的標準形也不唯一.四、二次型在可逆變換下的標準型四、二次型在可逆變換下的標準型幾何意義：一般可逆線性變換

坐標軸旋轉時幾何形狀可能改變正交變換

坐標軸旋轉時幾何形狀不變,夾角距離不變五、慣性定理慣性定理：

實二次型f(x)=xTAx總可以通過Rn

中的可逆線性變換將其化為標準形

f=k1y12+…+knyn2

其中k1,…,kn中非零的個數(shù)r=秩(f),

且

正項的個數(shù)p與負項的個數(shù)q

(p+q=r)都是在可逆線性變換下的不變量.f(或A)的正慣性指數(shù)

f(或A)的負慣性指數(shù)

五、慣性定理例如f=2x1x2+2x1x3

–6x2x3

在兩種不同的可逆線性變換下可分別化為下列標準形:f=3y12

(3+)y22+(

3)y3212171712f=2z12–2z22+6z32

秩(f)=3,f的正慣性指數(shù)p=2,負慣性指數(shù)q=1.規(guī)范形正交變換可逆變換五、慣性定理命題二次型的秩和正、負慣性指數(shù)可由矩陣的特征值確定。推論a.實二次型f(x)=xTAx總可以通過Rn中的可逆線性變換將其化為規(guī)范形

且規(guī)范形是唯一的.五、慣性定理推論b.設n實對稱陣A的秩為r,則存在可逆陣P,使得PTAP=其中q=p

r.A的規(guī)范形推論c.n階實對稱陣A可逆

p+q=n.=Ep

Er

pOn

r

A的特征值均不為0.六、矩陣的合同（相合）方陣A,B相合(合同):若存在可逆陣P,使PTAP=B.矩陣間的相合關系也是一種等價關系.(1)反身性:A=ETAE;

對稱性:傳遞性:A,B相合,B,C相合,則A,C相合.PTAP=B

A=(PT)

1BP

1=(P

1)TBP

1六、矩陣的合同（相合）實對稱陣在相合關系下的最簡形:不變量:

秩;正負慣性指數(shù)n階實對稱陣A,B相合

正負慣性指數(shù)相同

規(guī)范形規(guī)范形相同

PTAP=Ep

Er

pOn

r六、矩陣的合同（相合）命題

A,B相合,A是對稱陣，則B也是對稱陣.PTAP=B

證明：A,B相合，則存在可逆陣P,使得

BT

=

PTAT