《均值不等式的應(yīng)用案例1400字》

均值不等式的應(yīng)用案例綜述均值不等式在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要的公式,應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域,它也是教學(xué)的重點(diǎn),如果把均值不等式應(yīng)用好,那它將會(huì)把許多比較困難的問題變得簡(jiǎn)單,下面將從四個(gè)方面來研究均值不等式的應(yīng)用。REF_Ref25372\r\h[18]1.1證明簡(jiǎn)單不等式問題在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽、試題以及不等式的進(jìn)一步研究中，不等式的證明仍然需要在中加以重視，所以在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)不等式的證明加以重視。盡管有很多方法可以證明這一點(diǎn)，但是如果遇到一些更復(fù)雜的問題，則很難使用通用方法。這時(shí)，如果能夠使用均值不等式或?qū)⑵渑c一般證明方法相結(jié)合，這樣來解決這類問題就比較容易。例1已知都為正數(shù)，且。求證：。證明：由已知：都為正數(shù)所以為正數(shù)，由均值不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。例2設(shè)都為正數(shù)，求證：。證明：由已知都為正數(shù)，可知即，同理可得：所以所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。方法總結(jié)：在解決一些簡(jiǎn)單不等式時(shí)，使用均值不等式來證明是相當(dāng)簡(jiǎn)便的。盡管也可以使用其他證明方法，但是如果遇到更復(fù)雜的問題，將不容易解決。解決這一類題時(shí)，如果能夠應(yīng)用均值不等式和一般證明方法相結(jié)合，就可以達(dá)到較好的效果。1.2均值不等式在比較兩數(shù)（式）的大小的應(yīng)用例1若，請(qǐng)比較與的大小關(guān)系。證明：由于，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。所以方法總結(jié):在利用均值不等式比較兩數(shù)(式)的大小時(shí),首先要觀察兩個(gè)式子之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?。?yīng)用均值不等式時(shí)，根據(jù)需要可以把式子進(jìn)行拆項(xiàng)或者配湊。均值不等式的解題方法：均值不等式成立滿足的條件一是“正數(shù)”條件，即都是正數(shù)；二是“定值”條件，即和是定值或積是定值；三是“相等”條件，即時(shí)取等號(hào)。REF_Ref17916\r\h[19]也就是，在應(yīng)用均值不等式時(shí),一定要注意是否滿足條件，若條件不滿足時(shí),則應(yīng)拼湊出條件，即問題一端出現(xiàn)“和式”,另一端出現(xiàn)“積式”,便于運(yùn)用均值不等式。1.3均值不等式求最值問題例1已知求的最小值。分析:本題雖然不能通過直接觀察給出已知與結(jié)論之間的關(guān)系,但通過適當(dāng)變形,使用待定系數(shù)法,將“”的兩邊同時(shí)加上,變形為兩個(gè)分別含與的代數(shù)式的乘積,便可通過積為定值求等式求最小值。解：則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。即取得最大值，且最大值為。方法總結(jié)：均值不等式在求最值方面以及證明不等式方面都起著重要作用。它是高考的?？键c(diǎn)。在不能應(yīng)用均值不等式直接解決問題的情況下，有必要借助“添”、“配”、“湊”等變形方法來解決問題，使學(xué)生能夠體會(huì)到均值不等式實(shí)際的應(yīng)用條件。例2已知，，則的最大值為多少？解：因?yàn)?，，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。所以的最大值為。方法總結(jié):均值不等式在各個(gè)方面得到了廣泛的應(yīng)用。如求最大值問題可以運(yùn)用均值不等式解決。從該示例可以看出，當(dāng)求乘積的最大值時(shí)，可以通過恒等變換使它們的總和恒定，然后可以進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。1.4解決實(shí)際生活問題在實(shí)際生活當(dāng)中,有很多的問題都可以用到均值不等式來解決,比如求利潤(rùn)的最大值、投資造價(jià)費(fèi)用的最小值、物體的面積體積的最值、廣告投資的問題、土地有效利用的問題等等,在運(yùn)用均值不等式時(shí),首先要弄清楚己知量、確定目標(biāo)變量,然后根據(jù)題意來建立構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),最后選取恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。REF_Ref25372\r\h[18]例1學(xué)校操場(chǎng)上有一堵墻和一個(gè)100米長(zhǎng)的圍欄，工作人員計(jì)劃把他們圍成一個(gè)類似的矩形，如何圍起來可以使這個(gè)矩形的面積達(dá)到最大？解：設(shè)圍墻的鄰邊長(zhǎng)為米，圍墻的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為米，則最后圍成的矩形場(chǎng)地的面積是:當(dāng)，即米時(shí)，面積最大，且最大值為1