微分的概念、性質(zhì)及應(yīng)用

第二章第6節(jié)：函數(shù)的微分教學(xué)目的：掌握微分的定義，了解微分的運算法則，會計算函數(shù)的微分，會利用微分作近似計算教學(xué)重點：微分的計算教學(xué)難點：微分的定義，利用微分作近似計算教學(xué)內(nèi)容：微分的定義圖2-1計算函數(shù)增量是我們非常關(guān)心的。一般說來函數(shù)的增量的計算是比較復(fù)雜的，我們希望尋求計算函數(shù)增量的近似計算方法。圖2-1先分析一個具體問題，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（圖2-1），問此薄片的面積改變了多少？設(shè)此薄片的邊長為，面積為，則是的函數(shù)：。薄片受溫度變化的影響時面積的改變量，可以看成是當自變量自取得增量時，函數(shù)相應(yīng)的增量，即。從上式可以看出，分成兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和，而第二部分在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當時，第二部分是比高階的無窮小，即。由此可見，如果邊長改變很微小，即很小時，面積的改變量可近似地用第一部分來代替。一般地，如果函數(shù)滿足一定條件，則函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的常數(shù)，因此是的線性函數(shù)，且它與之差，是比高階的無窮小。所以，當，且很小時，我們就可近似地用來代替。定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為，①其中是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點是可微的，而叫做函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即。定理1函數(shù)在點可微的充分必要條件是函數(shù)在點可導(dǎo)，且當在點可微時，其微分一定是。設(shè)函數(shù)在點可微，則按定義有①式成立。①式兩邊除以，得。于是，當時，由上式就得到。因此，如果函數(shù)在點可微，則在點也一定可導(dǎo)（即存在），且。反之，如果在點可導(dǎo)，即存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成，其中（當）。由此又有。點的縱坐標的相應(yīng)增量。當很小時，比小得多。因此在點的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。微分運算法則及微分公式表由，很容易得到微分的運算法則及微分公式表（當都可導(dǎo)）：，，，。微分公式表：，，，，，，，，，，，，，，。注：上述公式必須記牢，對以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處，而且上述公式要從右向左背。例如：，，，。復(fù)合函數(shù)微分法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下：設(shè)及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分為。由于，所以，復(fù)合函數(shù)的微分公式也可以寫成或。由此可見，無論是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)，微分形式保持不變。這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。這性質(zhì)表示，當變換自變量時（即設(shè)為另一變量的任一可微函數(shù)時），微分形式并不改變。例4求的微分解自我訓(xùn)練：（1），求。（2），求。（3）有一半徑為的鐵球，鍍上0.01cm厚的銀，問大約用多