2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)二模分類匯編：計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)（學(xué)生版）

專題10計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)-2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)

二模分類服編?山東專用（學(xué)生版）

一、單選題

1.（2024.山東濟(jì)南.二模）已知隨機(jī)變量X，則P（X=2）=（

ABC

-1-I-1D-i

（2024?山東濟(jì)南?二模）設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P（A）=1,P（B）=1,P（AuB）=1,

2.

則P(3|Z)=()

AiBCD

,4-I-I-]

3.（23-24高三上?河北?期末）中國(guó)刺繡是我國(guó)民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕,

它是在同一塊底料上，在同一繡制過程中，繡出正反兩面圖案對(duì)稱而色彩不一樣的繡技.某中學(xué)為弘揚(yáng)中

國(guó)傳統(tǒng)文化開設(shè)了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選,

且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設(shè)計(jì)方法有（）種

A.144B.264C.288D.432

4.（2024.山東?二模）若隨機(jī)變量J?且尸《>4）=02,則P（2<J<3）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

\8

1+；展開式中的系數(shù)為（）

5.（2024?山東?二模）(X-Yy-2

A.-840B.-420C.420D.840

6.（2024.山東濰坊.二模）已知隨機(jī)變量X?N（3,〃），且P（X"）=0.3,則P（X〉2）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

7.（2024?山東泰安?二模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），且尸（1.5<x<2）=0.36,貝|P（x>2.5）

等于（）

A.0.14B.0.36C.0.72D.0.86

8.（2024?山東日照?二模）已知（x+a）5+2尤3+°2*2+P1尤+Po,若04=15,則。=（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2024.山東臨沂.二模）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,町12,14,21,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差

2

的巳，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（）

A.4B.6C.8D.12

10.（2024?山東臨沂?二模）若有2名女生和4名男生至lj“山東旅發(fā)”大會(huì)的兩個(gè)志愿服務(wù)站參加服務(wù)活動(dòng)，

分配時(shí)每個(gè)服務(wù)站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.16B.20C.28D.40

H.（2024?山東聊城.二模）班主任從甲、乙、丙三位同學(xué)中安排四門不同學(xué)科的課代表，要求每門學(xué)科有

且只有一位課代表，每位同學(xué)至多擔(dān)任兩門學(xué)科的課代表，則不同的安排方案共有（）

A.60種B.54種C.48種D.36種

12.（2024?山東濱州.二模）已知隨機(jī)事件A,B發(fā)生的概率分別為尸⑷=0.5,尸⑻=0.4,則下列說法正

確的是（）

A.若尸（AB）=0.9,則A,3相互獨(dú)立

B.若A,8相互獨(dú)立，則P（A|B）=0.6

C.若「（A|B）=0.5,則P（AB）=0.25

D.若31則P（@A）=0.8

13.（2024?山東濱州?二模）某單位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天.若

5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天，丙不安排在5月3日，則不同的安排方案共有（）

A.42種B.40種C.36種D.30種

14.（2024?山東荷澤?二模）在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學(xué)決定報(bào)考A,B,C三所高

校，則恰有兩人報(bào)考同一高校的方法共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

15.（23-24高二下.江蘇南通?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.已知一組樣本數(shù)據(jù)看,馬，…，x“（不＜迎），現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)上產(chǎn)，連產(chǎn)弘廣,

當(dāng)五，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大

B.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,其線性回歸方程為9=Q3X7”,若樣本點(diǎn)的中心為（〃?,2.8）,

試卷第2頁，共11頁

則實(shí)數(shù)機(jī)的值是4

C.50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)X?N（120Q2）,己知尸（X>140）=0.2,則X4100,140]的人

數(shù)為20人

D.已知隨機(jī)變量X?若E（3X+1）=6,貝lj“=5

二、多選題

16.（2024?山東濟(jì)南?二模）某景點(diǎn)工作人員記錄了國(guó)慶假期七天該景點(diǎn)接待的旅游團(tuán)數(shù)量.已知這組數(shù)據(jù)均

為整數(shù)，中位數(shù)為18,唯一眾數(shù)為20,極差為5,則（）

A.該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是20

B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于18

C.該組數(shù)據(jù)中最大數(shù)字為20

D.將該組數(shù)據(jù)從小到大排列，第二個(gè)數(shù)字是17

17.（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)變量y與無對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

X12345

y5m8910.5

若y與x滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=L25X+4.25,則（）

A.y與x正相關(guān)B.m=l

C.樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為8D.各組數(shù)據(jù)的殘差和為0

18.（2024?山東日照?二模）同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A,“乙正面向上”

為事件3,“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C,則下列判斷正確的是（）

2]

A.A與B相互獨(dú)立B.A與3互斥C.P（B|C）=-D.P（C）--

19.（2024?山東濱州?二模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若隨機(jī)變量X,y滿足y=2x+i,則。（y）=2D（x）+i

B.若隨機(jī)變量X?且尸（X<6）=0.84,則P（3<X<6）=0.34

C.若線性相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

D.按從小到大排序的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27,30,37,m,40,50；乙組：24,w,33,44,48,52,

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則機(jī)+〃=70

三、填空題

7

20.(12-13高二下?浙江嘉興?期中)在［2/一不J的展開式中常數(shù)項(xiàng)是.

21.(2024?山東濟(jì)南?二模)現(xiàn)有A,B兩組數(shù)據(jù)，其中A組有4個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為2,方差為6,8組有6

個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為7,方差為1.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為.

22.(2024?山東棗莊.模擬預(yù)測(cè))某人上樓梯，每步上1階的概率為:，每步上2階的概率為:，設(shè)該人從

44

第1階臺(tái)階出發(fā)，到達(dá)第3階臺(tái)階的概率為.

23.(2024?山東泰安?二模)已知甲，乙兩位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，要從100米，200米，跳高，跳遠(yuǎn)

四個(gè)項(xiàng)目中各選兩項(xiàng)，則甲，乙兩位同學(xué)所選項(xiàng)目恰有1項(xiàng)相同的概率為.

24.(2024?山東臨沂?二模)+?展開式中X2項(xiàng)的系數(shù)為.

25.(2024?山東臨沂.二模)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X滿足：對(duì)于任意的“eN*，

X=〃+l的樣本在X>”的樣本里的數(shù)量占比與X=1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于g,即

P(X=n+l|X>n)=P(X=l)=1,則尸(X>〃)=,設(shè)q=〃尸(X=〃)，｛%｝的前"項(xiàng)和為，則

S”=?

2

26.(2024?山東聊城?二模)甲、乙兩選手進(jìn)行圍棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為乙獲勝的概率

為g,采用三局兩勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進(jìn)行了兩局的概率為.

四、解答題

27.(2024?山東濟(jì)南?二模)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球

2

權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為］,

乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為:，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.在某局比賽雙方打成10:10平后，甲先發(fā)球.

(1)求再打2球該局比賽結(jié)束的概率；

(2)兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若將規(guī)則改為“打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先連得兩分者獲勝”，求該局比賽甲獲勝的概率.

28.(2024.山東濟(jì)南.二模)隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要

應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，且向四個(gè)方向

移動(dòng)的概率均為例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(LO),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點(diǎn)處.

(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)(x,y),記x+y的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

試卷第4頁，共11頁

(2)記第n秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為Pn.

⑴已知￡(C)2=C:求%P4以及所；

左=0

(ii)令b,=p°",記S“為數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)M>0,存在〃eN*,使得S.>M,則稱粒

子是常返的.已知而叫“<"!心『屈仁:，證明：該粒子是常返的.

29.(2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè))在一個(gè)袋子中有若干紅球和白球(除顏色外均相同)，袋中紅球數(shù)占總球

數(shù)的比例為P.

(1)若有放回摸球，摸到紅球時(shí)停止.在第2次沒有摸到紅球的條件下，求第3次也沒有摸到紅球的概率;

(2)某同學(xué)不知道比例P,為估計(jì)P的值，設(shè)計(jì)了如下兩種方案：

方案一：從袋中進(jìn)行有放回摸球，摸出紅球或摸球5次停止.

方案二：從袋中進(jìn)行有放回摸球5次.

分別求兩個(gè)方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學(xué)期望，并以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，分析哪個(gè)方案估計(jì)P的值更合理.

]_1￡

X01

5432

P”P)5(1-p)4P(1-P)3P(l-p￥p(l-p)pp

X234

Y01

5757

P(I"5(l-p)4P10(1-p)3P210(1-p)2P35(1—p)p4p5

30.(2024?山東淄博?二模)汽車尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素.我國(guó)近幾年著重

強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.某汽車制造企業(yè)對(duì)某

地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：

年份I20152016201720182019

年份代碼工(x=t-2014)12345

銷量y(萬輛)1012172026

(1)計(jì)算銷量>關(guān)于年份代碼x的線性相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否可以認(rèn)為y與％有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若

|r|>0.75,則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系).若是，求出y關(guān)于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；

(2)為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類(分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車)的情況，該企業(yè)又隨機(jī)調(diào)查了該

地區(qū)100位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況，假設(shè)一位車主只購(gòu)一輛車.男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，

購(gòu)置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購(gòu)置新能源汽車.將頻率視為概率，已知一位車主購(gòu)得新

能源汽車，請(qǐng)問這位車主是女性的概率.

附：若（網(wǎng),%）,（%,%），為樣本點(diǎn)，

^（x,.-x）（y,.-y）^x^-rixy

相關(guān)系數(shù)公式：產(chǎn)I「1tl=I.1tl；y=bx+”為回歸方程，則

、區(qū)（%-無/JS%（-V2）住才-欣2-JSX2-ny

V；=1vz=iVi=\Vz=i

n.

元）（%-歹）^x^-rixy

卜—i=l____________________i=l______________

n~n,a=y—bx-

力（％-元）2^xf-nx2

i=li=l

31.（2024?山東淄博?二模）定義：給定一個(gè)正整數(shù)機(jī)，把它叫做模.如果用加去除任意的兩個(gè)整數(shù)〃與匕

所得的余數(shù)相同，我們就說。，人對(duì)模相同余，記作，=b（mod機(jī)）.如果余數(shù)不同，我們就說〃，b對(duì)模機(jī)

不同余，記作〃w8（mod加）.

設(shè)集合A={x\x=0（mod2）,%eN*},B={x|（log3x）=0（mod2）,x￡N\x>l}.

（1）求；

2—

（2）①將集合A中的元素按從小到大順序排列后構(gòu)成數(shù)列{%J,并構(gòu)造q=（1+一產(chǎn),〃$N*,

4

n]

②將集合8中的元素按從小到大順序排列后構(gòu)成數(shù)列{5},并構(gòu)c“=￡1—pieN*.

i=l

請(qǐng)從①②中選擇一個(gè)，若選擇.

證明：數(shù)列{%}單調(diào)遞增，且有界（即存在實(shí)數(shù)M,使得數(shù)列中所有的項(xiàng)都不超過V）.

注：若①②都作答，按第一個(gè)計(jì)分.

32.（2024?山東?二模）ChatGPT是AI技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語言處理工具，引領(lǐng)了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.

某數(shù)學(xué)興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關(guān)系，從某社區(qū)使用過該程序的人群

中隨機(jī)抽取了200名居民進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)年齡樣本數(shù)據(jù)繪制了如下頻率分布直方圖.

試卷第6頁，共11頁

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)年齡樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)：

（2）將年齡不超過（1）中75%分位數(shù)的居民視為青年居民，否則視為非青年居民.

（i）完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)聯(lián)?

青年非青年合計(jì)

喜歡20

不喜歡60

合計(jì)200

（ii）按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取8名居民.若從選定的這8名居民中隨機(jī)抽取4名居民

做進(jìn)一步調(diào)查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率.

n^ad-bc^

參考公式：/=其中n=a-\-b-\-c+d.

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(6+d)

參考數(shù)據(jù):

尸（七"）

0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

33,（2024?山東濰坊?二模）某市2017年至2023年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入如下表，將其繪制成散點(diǎn)圖（如

下圖），發(fā)現(xiàn)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入y（單位：萬元）與年份代號(hào)工具有線性相關(guān)關(guān)系.

年份2017201820192020202120222023

年份代號(hào)X1234567

人均可支配收入y3.653.894.084.304.654.905.12

(1)求y關(guān)于尤的線性回歸方程9=云+&,并根據(jù)所求回歸方程，預(yù)測(cè)2024年該市城鎮(zhèn)居民人均可支配收

入；

(2)某分析員從2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，記其中人均可支配收入超

過4.5萬的年份個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n

77?/一問_

參考數(shù)據(jù)及公式：=30.59,=129.36,b=^-------------,a=3-詼.

i=l

X0123

418121

P

35353535

34.(2024?山東濰坊?二模)數(shù)列｛%｝中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列稱為｛4｝

的一階差數(shù)列，記為｛謂)｝,依此類推，｛d?｝的一階差數(shù)列稱為｛%｝的二階差數(shù)列，記為｛0￡)｝,.…如果

一個(gè)數(shù)列｛〃“｝的p階差數(shù)列,*｝是等比數(shù)列，則稱數(shù)列｛%｝為p階等比數(shù)列(P6N*).

⑴已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,。“+1=2”“+1.

(i)求，譜)，譜)；

(ii)證明：｛%｝是一階等比數(shù)列；

(2)已知數(shù)列｛〃｝為二階等比數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為1，三，空，三，等，求力及滿足/為整數(shù)的所有〃值.

35.(2024.山東泰安?二模)“綠水青山就是金山銀山”是習(xí)近平總書記于2005年8月在浙江湖州安吉考察時(shí)

提出的科學(xué)論斷.為提高學(xué)生環(huán)保意識(shí)，某校決定在高一，高二年級(jí)開展環(huán)保知識(shí)測(cè)試，已知高一，高二年

級(jí)每個(gè)學(xué)生通過測(cè)試的概率分別為:，j.

(1)從高二年級(jí)隨機(jī)抽取6人參加測(cè)試，求通過測(cè)試的人數(shù)不多于4人的概率.

(2)若兩個(gè)年級(jí)各選派部分學(xué)生參加測(cè)試，高二年級(jí)通過測(cè)試人數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為令，則高一年級(jí)至少選派多

試卷第8頁，共11頁

少人參加測(cè)試，才能使其通過測(cè)試人數(shù)的均值不低于高二年級(jí).

36.(2024.山東日照.二模)某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成

績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí).

(1)已知該公司甲部門有3名負(fù)責(zé)人，乙部門有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人

做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來自甲部門的人數(shù)為X,求X的最有可能的取值：

(2)該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門測(cè)試的平均成績(jī)x(滿分100分)與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率如下表所示：

X32415468748092

y0.280.340.440.580.660.740.94

根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，初步判斷，選用、=加。作為回歸方程.令z=lny,經(jīng)計(jì)算得Z=-0.642,

7

j=i

7?0.02

Z±2-7元2

Z=1

(i)已知某部門測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0分，估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率;

(ii)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績(jī)無?其中〃近似為樣本平均數(shù)元，人近似

為樣本方差d.經(jīng)計(jì)算5^20,求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：?ln0,15?-1.9,e12?3.32,ln5.2?1.66.

②線性回歸方程9=良+6中，》二J號(hào)=1---------，a=y-bx.

￡xf-rix2

i=l

③若隨機(jī)變量X~N(〃,cr2),貝I]P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6826,尸(，—2cr<X<〃+2cr)=0.9544,

尸(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9974.

37.(2024?山東臨沂?二模)“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力.為了解年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度，隨

機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下面的不完整的2x2列聯(lián)表所示(單位：人).

非常喜歡感覺一般合計(jì)

男性3t100

女性t

合計(jì)60

(1)求r的值，試根據(jù)小概率c=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)；

(2)從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕

大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進(jìn)一步交流,記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

n(ad-be)”

參考公式：/=其中n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

38.(2024.山東聊城?二模)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng)，線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開啟，

新零售背景下，即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長(zhǎng).某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高

客戶滿意度，在其兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分100分),

評(píng)分結(jié)果如下：

分公司A66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司3：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取