2024年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分練：相似形（含解析）

專題11相像形

【考點精說】

必考點1比例線段

1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比是a：b

?am、

=m：n（z或一=一）

bn

2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。

說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。

3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如q=￡

bd

ac

4、比例外項：在比例一=一（或a：b=c：d）中a、d叫做比例外項。

bd

5、比例內(nèi)項：在比例0=9（或a：b=c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項。

bd

ac

6、第四比例項：在比例一=—（或a：b=c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。

bd

nh

7、比例中項：假如比例中兩個比例內(nèi)項相等，即比例為一=—（或a:b=b:c時，我們把b叫做a和d

ba

的比例中項。

8、比例線段：在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做

成比例線段，簡稱比例線段。

9、比例的基本性質(zhì)：假如a：b=c：d那么ad=bc逆命題也成立，即假如ad=bc,那么a：b=c：d

10、比例的基本性質(zhì)推論：假如a：b=b：d那么b2=ad,逆定理是假如島ad那么a：b=b：c。說明：

兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。

...川廣,ac,a+bc+d

11、合比性質(zhì)：假m如一=一,那么-----=-----

bdbd

,acm,,,+-----1-ma

12.等比性質(zhì)：假m如一=—=3=—,（Z?+d+…）,那么-------------=—

bdnb+d-----\-nb

說明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時常采納設(shè)已知條件為k,這種方法思路單一，方法簡潔不易出錯。

13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項，叫做把這

條線段黃金分割。

說明：把一條線段黃金分割的點，叫做這條線段的黃金分割點，在線段AB上截取這條線段的避匚倍

2

得到點C,則點C就是AB的黃金分割點。

【典例1】（2024?四川中考真題）若。：。=3:4,且a+b=14,則2a—Z?的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【答案】A

【解析】

解：由a：6=3：4a:6=3:4知3/?=4a,

4〃

所以6=—.

3

4q

所以由a+b=14得至/a+—=14,

3

解得a=6.

所以匕=8.

所以2a—3=2x6—8=4.

故選：A.

【點睛】

nc

考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積.若一=一,則"=Z?c.

ba

【舉一反三】

1.（2024?安徽初三月考）若二=3,則匕上的值為（）

x4x

457

A.1B.—C.—D.一

744

【答案】D

【解析】

..2-2

x4,

x+y4+37

------------=-------------二——,

x4-4

故選D

/7h

2.（2024?河南初三期末）已知二=彳（a#0,b#0）,下列變形錯誤的是（）

23

a2b3

A.—=—B.2a=3bC.—=—D.3a=2b

b3a2

【答案】B

【解析】

（2b

解：由一=一得，3a=2b,

23

A、由等式性質(zhì)可得：3a=2b,正確；

B、由等式性質(zhì)可得2a=3b,錯誤；

C、由等式性質(zhì)可得：3a=2b,正確；

D、由等式性質(zhì)可得：3a=2b,正確；

故選B.

【點睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項之積等于兩外項之積.

3.（2024?河南初三期中）已知P=三，則上”的值是（）

a13a+b

239

A.-B.-C.一］

324

【答案】D

【解析】

=.?.設(shè)出b=5k,得出a=13k,把a,b的值代入^—,得,

a13a+b

a-b13k-5k8k4

-----=---------=—=-.故選D.

a+b13k+5k18k9

必考點2平行線分線段成比例

1、平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線

段也相等。

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特別狀況。

口u全等竺

［下一H下次［上一U下人］全一【I全》［下

1

3.平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例。

4、三角形一邊的平行線的判定定理。假如一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線

段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

【典例2］（2024?青海中考真題）如圖，4￡>//6石//。7,直線小《與這三條平行線分別交于點A、B、C

和點D、E、F.已知心1,於3,法1.2,則郎的長為（）

A.3.6B.4.8C.5D.5.2

【答案】B

【解析】

解：AD//BE//CF,

ABDE11.2

---=----,即一=----,

BCEF3EF

EF=3.6,

DF=EF+DE=3.6+1.2=4.8,

故選：B.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭基本學(xué)問，屬于中考?？碱}型.

【舉一反三】

1.（2024?四川中考真題）如圖，在AABC中，DE//BC,AD=9,DB=3,CE=2,則AC的長

B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

'：DEIIBC,

ADAE9AE

---=----,即nn一=----，

DBEC32

AE=6,

AC=AE+EC=6+2=8.

故選：C.

【點睛】

此題考查平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵在于求出AE

2.（2024?廣西中考真題）如圖，在AABC中，。，石分別是ABAC邊上的點,DE//BC,若

AD=2,AB=3,DE=4,則等于（）

A.C.7D.8

【答案】B

【解析】

解：VDE//BC,

：.ADEABC,

ADDE

ABBC

24

即一=,

3BC

解得：BC=6,

故選A

【點睛】

本題考查了相像三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相像得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵

3.(2024?四川中考真題)如圖，在AABC中，D在AC邊上，AD：￡>0=1:2,0是BD的中點，連接A0

并延長交BC于E,則BE：EC=()

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【答案】B

【解析】

解：如圖，過。作OG/ABC，交AC于G,

：0是BD的中點，

...G是DC的中點.

又AD：DC=1：2,

:.AD^DG^GC,

:.AGzGC=2：1,AaOE=2：1,

SAAOB：SMOE-2

設(shè)S帖OE-S,^^AOB—2s,又30=01)f

???SAAOD=2S,S^BD=4S,

,AD：DC=1：2,

-q

…°ABDC——8S,S四邊形cooE—7S,

?,SAA￡；C=9S,S^BE=3S,

BE_S坎BE__J_

~EC~~S^~9S~^

故選：B.

BEc

【點睛】

考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的學(xué)問，難度較大，留意嫻熟運用中位線定理和三角形面積公

式.

必考點3相像三角形

1、相像三角形：兩個對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相像三角形。

說明：證兩個三角形相像時和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，

這樣便于找出相像三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。

2、相像比：相像三角形對應(yīng)邊的比k,叫做相像比（或叫做相像系數(shù)）。

3、相像三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相像。

說明：這個定理反映了相像三角形的存在性，所以有的書把它叫做相像三角形的存在定理，它是證明

三角形相像的判定定理的理論基礎(chǔ)。

4、三角形相像的判定定理：

（1）判定定理1：假如一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么就兩個三角形相

像。可簡潔說成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像。

（2）判定定理2：假如一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那

么這兩個三角形相像，可簡潔說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像。

（3）判定定理3：假如一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形

相像，可簡潔說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相像。

（4）直角三角形相像的判定定理假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊

和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相像。

說明：以上四個判定定理不難證明，以下判定三角形相像的命題是正確的，在解題時，也可以用它們

來判定兩個三角形的相像。

第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相像。

其次：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相像。

第三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相像。

第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相像。

第五：假如一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)成

比例，那么這兩個三角形.相像。

5、相像三角形的性質(zhì)：

(1)相像三角形性質(zhì)1：相像三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相像比。

(2)相像三角形性質(zhì)2：相像三角形周長的比等于相像比。

說明：以上兩特性質(zhì)簡潔記為：相像三角形對應(yīng)線段的比等于相像比。

(3)相像三角形面積的比等于相像比的平方。

說明：兩個三角形相像，依據(jù)定義可知它們具有對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例這特性質(zhì)。

【典例3】(2024?山東中考真題)如圖，在AABC中，AC=2,BC=4,。為邊上的一點，且

ZCAD=ZB.若AA0C的面積為則的面積為()

7

C.3aD.-a

2

【答案】C

【解析】

【詳解】

VZCAD=ZB,ZACD^ZBCA,

：.AACDABCA,

解得，A3C4的面積為4a,

的面積為：4a-a=3a,

故選：C.

【點睛】

本題考查相像三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭相像三角形的判定定理和性質(zhì).

【舉一反三】

1.（2024?四川中考真題）如圖，每個小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）與的4G

相像的是（）

A,B-

c-叢D

【答案】B

【解析】

解：因為M4cl中有一個角是135°,選項中，有135°角的三角形只有B,且滿意兩邊成比例夾角相等,

故選：B.

【點睛】

本題考查相像三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考?？碱}型.

2.（2024?四川中考真題）如圖口ABCD,F為BC中點，延長AD至E,使?！?AD=1:3,連結(jié)EF交DC于

點士G,則SDEG-S^CFG=（）

A.2：3B.3：2C.9：4D.4：9

【答案】D

【解析】

解：設(shè)DE=x,

DE:AD=1:3,

AD=3x,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BC,BC=AD=3x,

??,點F是BC的中點，

13

CF=-BC=-x,

22

AD//BC,

：.NDEG^ACFG,

故選：D.

【點睛】

此題主要考查了相像三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點的定義，表示出CF是解本題的關(guān)鍵.

3.（2024?海南中考真題）如圖，在RtMfiC中，NC=90°，AB=5,BC=4.點尸是邊4c上一動點,

過點尸作PQ〃鉆交比1于點0,。為線段網(wǎng)的中點，當(dāng)初平分NABC時，"的長度為（）

【答案】B

【解析】

解：ZC=90°.AB=5，BC=4,

.-.AC=VAB2-BC2=3'

PQ//AB,

ZABD=ZBDQ,又/ABD=NQBD,

ZQBD=ZBDQ,

QB=QD,

：.QP=2QB,

PQ//AB,

bCPQACAB,

CP_CQ_PQCP_4-QB_2QB

CACBAB345

24

解得，CP一,

13

:.AP=CA-CP=—,

13

故選自

【點睛】

本題考查的是相像三角形的判定和性質(zhì),駕馭相像三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【考點精煉】

1.（2024?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，D、E分別是△ABC邊A&AC上的點，ZADE=ZACB,若

AD=2,AB=6,AC=4,則AE的長是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

解：?/ZADE=ZACB,ZA=ZA,

ADEs.ACB，

ADAE2AE

：.——=——，a即一=——，

ACAB46

解得，AE=3,

故選：C.

【點睛】

本題考查分線段成比例定理，嫻熟駕馭運算法則是解題關(guān)鍵

2.（2024?太原市志達中學(xué)校初三月考）若q=2=￡,則」+:一0的值為（）

234a

A.2B.-c.D.9

92

【答案】C

【解析】

設(shè)abc,

2=3=4=*°)

則a=2k,b=3k,c=4k,

原式_2k+3k-4k_i,

一2k~2

故選：c.

【點睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡便.

3.（2024?廣西中考真題）如圖，在AABC中，點。，E分別在AB,AC邊上，DEHBC,ZACD^ZB,

若AD=2B￡>,BC=6,則線段CD的長為（）

A.26B.372C.276D.5

【答案】C

【解析】

解：設(shè)AD-2x，BD=x，

AB=3x,

?/DE//BC,

：.AADEAABC,

.DEADAE

"BC-AB~AC'

.DE2x

63x'

AE2

DE=4，=-，

AC3

；ZACD^ZB,

ZADE=ZB，

：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA，

MDEAACD,

.ADAEDE

AC~AD~CD'

設(shè)AE=2y,AC-3y,

AD_2y

~3y~^D'

AD=屈y,

2y4

瓜yCD

/.CD=2A/6，

故選C.

【點睛】

本題考查相像三角形，解題的關(guān)鍵是嫻熟運用相像三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型.

4.（2024?廣西中考真題）如圖，AB//EF//DC,AD//BC,EF與AC交于點、G,則是相像三角形共有

A.3對B.5對C.6對D.8對

【答案】C

圖中三角形有：AAEG,AADC,ACFG,ACBA,

VAB//EF//DC,AD//BC

：.AAEG^AADC^ACFG^ACBA

共有6個組合分別為：AAEG^AAOC，AAEG^ACFG,AAEG^ACBA,AADC^ACFG,

AADCSACBA,ACFG^ACBA

故選：c.

【點睛】

此題主要考查相像三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相像三角形的判定定理.

5.（2024?黑龍江中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，點E在對角線6。上，EMAD,交AB

于息M,EN交AO于點N,則下列式子肯定正確的是（）.

AMNEAMANBCBEBDBC

A.——------B.——=------C.-------------D.-----

BMDEABADMEBDBEEM

【答案】D

【解析】

解：?..在，ABCD中，EMAD

易證四邊形AMEN為平行四邊形

,易證ABEMs^BADSAETVD

,AMNEDE…、=

??------=------=-----,A項錯底

BMBMBE

AMND…、=

-----=------,B項錯供

ABAD

BCADBD-

MEMEBE

BDACBC工…

BEMEME

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了相像三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，嫻熟運用兩者性質(zhì)確定線段比例關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

6.(2024?湖北中考模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A(6,8),B(10,2),

若以原點0為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的,后得到線段CD,則點A的對應(yīng)點C的坐

2

標(biāo)為()

A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5)

【答案】C

【解析】

V以原點0為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的上后得到線段CD,

2

端點C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半，

又：A(6,8),

.??端點C的坐標(biāo)為(3,4).

故選C.

點睛：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對應(yīng)點橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

7.(2024?遼寧中考真題)如圖，點尸(8,6)在△板的邊/C上，以原點0為位似中心，在第一象限內(nèi)

將縮小到原來的工,得到△/B'C,點P在2C上的對應(yīng)點P的的坐標(biāo)為()

2

A.(4,3)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,4)

【答案】A

【解析】

;點P(8,6)在aABC的邊AC上，以原點0為位似中心，在第一象限內(nèi)將AABC縮小到原來的工，得到

2

△A，B'C,

.,.點P在A'C'上的對應(yīng)點P，的的坐標(biāo)為：(4,3).

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵.

8.（2024?西藏中考真題）如圖，在AABC中，RE分別為AB、AC邊上的中點，則AADE與AABC的

面積之比是（）

【答案】A

【解析】

由題意可知：。后是AA5C的中位線，

:.DE//BC,DE=-BC,

2

..AADESAABC,

.s“（町」

■■l5cj4’

故選：A.

【點睛】

本題考查相像三角形，解題的關(guān)鍵是嫻熟運用相像三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型.

9.（2024?河南初三期中）如圖，在△板中，BF平分/ABC,AF工即于懸F,〃為血的中點，連接加延

長交2。于點反若止10,除16,則線段跖的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

解：VAFXBF,

.,.ZAFB=90°,

VAB=10,D為AB中點，

1

.?.DF=-AB=AD=BD=5,

2

ZABF=ZBFD,

又：BF平分/ABC,

/.ZABF=ZCBF,

/.ZCBF=ZDFB,

；.DE〃BC,

.,.△ADE^AABC,

EDADED5

---=----即an----=—,

BCAB1610

解得：DE=8,

；.EF=DE-DF=3,

故選B.

【點睛】

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)和相像三角形的判定與性質(zhì)，嫻熟運用其判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?江蘇中考模擬）如圖，4ABC中，D為BC上一點，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,則CD的長為

【答案】5

【解析】

解：VZBAD=ZC,NB=NB,

/.△BAD^ABCA,

.BABD

"BC--

VAB=6,BD=4,

6_4

BC-6

.\BC=9,

.,.CD=BC-BD=9-4=5.

【點睛】

本題考查相像三角形的判定與性質(zhì)，熟記判定方法精確找到相像三角形對應(yīng)邊是本題的解題關(guān)鍵..

11.（2024?廣西中考真題）如圖，以點。為位似中心，將3放大后得到AOCD,0A=2,AC=3,

AB

則

~CD

2

【答案】j.

【解析】

解：?.?以點。為位似中心，將AQ43放大后得到AOCD,Q4=2,AC=3,

?OAAB2__2

"OC-CD_2+3-5-

故答案為：—.

【點睛】

此題主要考查了位似變換，正確得出對應(yīng)邊的比值是解題關(guān)鍵.

12.（2024?江蘇中考真題）如圖，Z\ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE〃BC,AD：AB=1：3,則AADE與

AABC的面積之比為.

【解析】

由DE〃BC,可得△ADES^ABC,依據(jù)相像三角形的面積之比等于相像比的平方可得SAADE：SAABC=（AD：AB）

2=1：9.

考點：相像三角形的性質(zhì).

13.(2024?遼寧中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，點A3的坐標(biāo)分別是4(4,2),8(5,0),以點。為位似

中心，相們比為g,把縮小，得到44。，則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為.

【答案】(2,1)或(—2,—1)

【解析】

解：以點。為位似中心，相像比為g,把縮小，點A的坐標(biāo)是A(4,2)

則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為［4x；,2x；］或1—4xg,—2xJ即(2,1)或(—2,—1),

故答案為：(2,1)或(—2,—1).

【點睛】

本題考查的是位似圖形，嫻熟駕馭位似變換是解題的關(guān)鍵.

14.(2024?內(nèi)蒙古中考真題)已知三個邊長分別為2。"，3cm,5cm的正方形如圖排列，則圖中陰影部

分的面積為.

【答案】3.75cm2.

【解析】

對角線所分得的三個三角形相像,

5x

依據(jù)相