2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)練：解直角三角形模型之新定義模型

專(zhuān)題23解直角三角形模型之新定義模型

解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類(lèi)試

題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)

學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類(lèi)試題往往對(duì)

學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這

方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程，豐富解題內(nèi)涵。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

模型1、新定義模型

此類(lèi)模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也

可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。

若無(wú)特殊說(shuō)明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角NA、/B、ZC分別對(duì)應(yīng)邊“b、c；

1）正弦定理：如圖1,——^=，一=2R（其中R是三角形外接圓的半徑）。

sinAsinBsinC

2)余弦定理：如圖2,a2=b2+c2-2bccosAb1=/+c2-2tzccosBc1=a2+b2—2abcosC.

3)正弦面積公式：如圖2,S=—absmC=—bcsmA=—acsmB.

A222

4)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：s加2e+cos2，=i,〃〃㈣。

cosO

5）和（差）、二倍角角公式:

sin(a±4)=sinacos/3±cosasin/3;sin2.cc=Isinoccosoc.

cos{a±J3)=cosacos/3.sinasin/3;cos2a=cos1a—sir^a=2cos1a-1二1一Isir^a.

,c、tana±tanBc2tana

tan(za±0)=--------------—tanla=---------.

1.tanatan/31-tana

例1.（2022?湖南?中考真題）閱讀下列材料:

在「ABC中，ZA>￡>B、NC所對(duì)的邊分別為。、b、c,求證：----=----

sinAsinB

證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作CD,AB于點(diǎn)。，貝!J：

在RtABCD中，CD=as'mB；在RtAACD中，CD=bsinA

?D7?4.ab

asm6=OsinA??-----=-----

sinAsinB

根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：

hc

⑴如圖2,在AABC中，ZA、吟“所對(duì)的邊分別為"、b、c,求證：—=—；⑵為了辦好湖南

省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知Z4=67。,

ZB=53°,AC=80米，求這片區(qū)域的面積.（結(jié)果保留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,sin67°?0.9）

【答案】⑴見(jiàn)解析（2）18004

【分析】（1）作2C邊上的高，利用三角函數(shù)表示后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解;

（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和8C,即可求解.

⑴證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作A￡）_LBC于點(diǎn)。，在RrAABD中，AD=csmB,

在RtAACD中，AD=bsinC,..csin3=Z?sinC,----=-----

sinBsinC

(2)解：如圖3,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,ZBAC=6T,N5=53。，,\ZC=60°,

在RtAACE中，AE=AC?sin60°=80x苧=40/(m)

.ACBCnn80BC?而?c1vQOv1乂

??J\JXI1L1,1?5c-人-XV/人1J_Lov/V*JJ

入sin3sinABAC"0.80.9’

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)

題的前提.

例2.（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的

數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題.余弦定理是這

樣描述的：在S42c中，M、SB、回C所對(duì)的邊分別為。、b、c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的

平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：^—l^+c2-2bccosA；b2—a2+c2-2accosB；c2—a2+b2-2abcosC

現(xiàn)已知在13ABe中，AB=3,AC=4,她=60。，則BC=.

【答案】V13

【分析】從閱讀可得：BC2=AB2+AC2-2AB.AC.cosA,將數(shù)值代入求得結(jié)果.

【詳解】解：由題意可得，

BC2=AB2+AC2-2AB?AC?COSA=32+42-2x3x4?cos60°=13,0BC=V13,故答案為：A/13.

【點(diǎn)睛】本題考查閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數(shù)值等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是公式的具體情景運(yùn)用.

例3.（2022?山東青島??？级＃﹩?wèn)題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問(wèn)題探究：為了解決上述問(wèn)題，我們先由特殊到一般來(lái)進(jìn)行探究.

探究一：如圖1,在一ABC中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,NC=N&,求ABC的面積.

在RtAAEC中./ABC=90°,sina=..AB=￡>.sinar.-'-S=-BC-AB=—a?bsina.

A.C&ABC22

探究二：如圖2,ABC中，AB=AC=b,BC=a,ZB=Za,求ABC的面積（用含。、b、a代數(shù)式

表示），寫(xiě)出探究過(guò)程.

探究三：如圖3,ABC中，AB=b,BC=a,ZB=Za,求ABC的面積（用。、b、a表示）寫(xiě)出探究

過(guò)程.

問(wèn)題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字?jǐn)⑹觯?

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4,已知平行四邊形A3CD中，AB=b,BC=a,NB=cc,求平行四邊形A3CD的面積（用

a、b、a表示）寫(xiě)出解題過(guò)程.

問(wèn)題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫(xiě)出任意四邊形的面積（用。、b、c、d、a、夕表示），

其中AB—b,BC-c,CD=d,AD-a,AA—a,NC=0.

【答案】［aOsina,見(jiàn)解析；^-absina,見(jiàn)解析；一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半；absina；

22

SwmABCD=；.力sina+；cd.sin夕

【分析】探究二：如圖2中，作于X.求出高即可解決問(wèn)題；

探究三：如圖3中，作A"_LC3于H.求出高即可解決問(wèn)題；

問(wèn)題解決：S=^absinZC（NC）是。、b兩邊的夾角）；

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作A/70CB于H.求出高AH,即可解決問(wèn)題；

問(wèn)題拓廣：如圖5,連接80,由探究三的結(jié)論可得出答案.

【詳解】解：探究二：如圖2中，作AHLCB于H.

AB=AC=b,BC=a,/B=/a,ZB=Z.C=CL?

在H/AWC中，ZAHC=90°,sina=^;7：.AH=bsina,=^-BC?AH=^-absina.

AC，Z.

探究三：如圖3中，作AHJ_C3于H.

在心Af/C中，ZAHC=90°.-.sina=^,：.AH=bsina.-.S^=^-BC.AH=^-absina.

問(wèn)題解決：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

故答案為：一個(gè)三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

問(wèn)題應(yīng)用：如圖4中，作AH_LCB于

在RtAHB中，ZAHB=90°sina=——,/.AH=bsina?二S平行四邊形.⑺=BC-AH=absina.

問(wèn)題拓廣：連接50,由探究三的結(jié)論可得：SAABD=^xABxADxsina=^ab.sina.

SMCD=g*BCxCD=gcd?sinp.S四邊形的⑦=gab.sina+gcd?sinf3.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積，銳角三角函數(shù)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

例4.(2023春?四川瀘州,八年級(jí)?？计谥?平面幾何圖形的許多問(wèn)題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問(wèn)

題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決.古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積.具

體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為。、b、c,尸=gm+6+c),則有下列面積公式：

S=dP(P—a)(P—b)(P—c)(海倫公式)；5=。片/_('+；一―力(秦九韶公式).

⑴一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7,利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；

⑵學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積.如圖，在.ABC中，45=15,

BC=14,AC=13,求ABC的面積和BC邊上得高AO的長(zhǎng).

【答案】(1)6#⑵.ABC的面積為84；邊上得高AD的長(zhǎng)為12

【分析】(1)利用兩個(gè)公式分別代入即可；

(2)設(shè)B￡>=x,貝l]DC=14-x,利用勾股定理得AD?=AC2-C￡>2,AEr=Alf-Brr,HP132-(14-x)2=152-x2,

求解得元=9,即30=9,再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可.

【詳解】(1)解：尸=；(“+8+c)=gx(5+6+7)=9,

由海倫公式可得S=《P(P_aKP-b)(P-c)=V9X(9-5)X(9-6)X(9-7)=6n；

由秦九昭公式可得S=g=gx5*-『+丁]=676.

(2)解：設(shè)3D=x,則￡>C=14-x,AD1BC,AD2=AC2-CD2,AD2=AB2-BD2,

.?.132-(14-X)2=152-X2,解得尤=9；0BD=9

0AD=7AB2-BD2=V152-92=12.回S^-186-^0=1x14x12=84.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例5.(2023?北京市?九年級(jí)?？计谀?關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin例+0)=sinacos|3+cosasin|3,sin(a

-p)=sinacosp-cosasinP；cos(a+p)=cosacosP-sinasinP，cos(a-p)=cosacosp+sinasin[3；tan(a+P)

tana+t：n,(1_tanatan^O),合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)

1-tancrtanp

來(lái)求值，如sin90°=sin(30°+60°)=sin30°cos60°+cos300sin60°=—x—H—^-x—=1,利用上述公式計(jì)算下

2222~

列三角函數(shù)①5g105。=逅逑，②12(1105。=-2-百，③sinl5=一一行,@cos90°=0,其中正確的

44

個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案.

0

【詳解】①sinl05°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60sin45°=^X-+-x—=巫史，故此選項(xiàng)正確；

22224

g°/°tan45+tan601+^3(1+gV旦“但丁工十會(huì)

(2)tanl05=tan(60+45)=-=----產(chǎn)=------=-2--J3,故此選項(xiàng)正確;

l-tan45tan6Q1-^/3-2

0

(3)sinl5°=sin(60°-45°)=sin600cos450-cos60sin45°=2^x^--—x^?-=^--,故止匕選項(xiàng)正確;

22224

00

@cos90°=cos(45°+45°)=cos45cos45°-sin45°sin45=^x—--x—=0,故此選項(xiàng)正確；

2222

故正確的有4個(gè).故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

例6.(2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題)"一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)"，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的

山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶(hù).某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)

度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量.如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干0。疊合時(shí)，在與塔

底。水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部。的仰角/血＞=45。，風(fēng)葉。4的視角/OE4=30。.

(1)已知a,S兩角和的余弦公式為：85(。+2)=85。856-5m0^11，，請(qǐng)利用公式計(jì)算￡：0$75。;

⑵求風(fēng)葉。4的長(zhǎng)度.

【答案】⑴＞二）⑵風(fēng)葉）的長(zhǎng)度為（606-60）米

【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)4作AF1DE,連接AC,OG1AC,先根據(jù)題意求出OE,

再根據(jù)等腰對(duì)等邊證明OE=AE,結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論用三角函數(shù)即可求EF,再證明四邊形D/AG是矩形，

即可求出.

【詳解】（1）解：由題意可得：cos75°=cos（45°+30°）,

0cos（450+30°）=cos450cos30°-sin45°sin30°=x--也^xi=———；

v'22224

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AF1DE,連接AC,OGA.AC,如圖所示，

OE-DE_60_JT-

由題意得：DE=60米，ZOED=45°,0=的/45。=近=米，NDOE=45°,

~T

回三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，I3ZD（M=120°,=120°-45°=75°,

又團(tuán)NO￡A=30°,0ZOAE=180°-75°-30°=75°,SZOAE^ZAOE,回QE=AE=60魚(yú)米，

?/OEA=30°,ZOED=45°,團(tuán)ZA￡D=75°,由（1）得：cos"。=任也,

4

0￡F=AExcos750=30^-302^,回DF=DE-E尸=60-（306一30）=90-306米，

SAFLDE,OGLAC,0D1DE,回四邊形Z^G是矩形，回AG=D尸=90-3。6米，

團(tuán)三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120。，且三片風(fēng)葉長(zhǎng)度相等，SZOAG=30°,

AG_90-30^_/yr\

回^30^=73=[?J米，國(guó)風(fēng)葉必的長(zhǎng)度為（60/一60）米.

T

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵.

例7.（2023?四川宜賓??？既＃┩ㄟ^(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊

長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類(lèi)似的，可以在等腰三角形中建立邊角

之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如果J1BC中，AB^AC,

那么頂角A的正對(duì)記作sadA,這時(shí)sadA=與g=繪.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯

腰AB

3

一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，填空：如果/A的正弦函數(shù)值為那么sadA的值為.

【答案】叵

5

【分析】過(guò)點(diǎn)B作3OLAC于O,利用NA的正弦函數(shù)值，設(shè)出比＞、的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AD、CD,

最后根據(jù)sadA的規(guī)定求值即可.

【詳解】解:過(guò)點(diǎn)3作BDLAC于。，如圖所示，

3__________

sinA=-,:.設(shè)BD=3k,AB=5k,AD=gt）?-（3人＞=44,

AB=AC=5k,:.CD=k,BC=J（3左=+/=Mk,

「a小些=?=巫；故答案為：叵.

AB5k55

【點(diǎn)睛】此題是新定義運(yùn)算題，主要考查了等腰三角形的定義、勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握勾

股定理、三角函數(shù)的定義以及新定義運(yùn)算的規(guī)定是解答此題的關(guān)鍵.

例8.（2022春?浙江?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料：

在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問(wèn)題：如圖1,在RtABC中，ZACB=90°,AB=l,ZA=a,

求sin2i（用含sina,cosa的式子表示）.

聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的:如圖2,取48的中點(diǎn)。，連接OC,過(guò)點(diǎn)C作CD_LAS于點(diǎn)D,則NCOB=2a,

然后利用銳角三角函數(shù)在RtABC中表示出AC,BC,在及A8中表示出8,則可以求出

.cCDsina-ACsina-cosa小.

sin2a=---=------；------=-------；-------=2sina?cosa

OCI1

22

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在RtABC中，ZC=90°,AB=l.

(1)如圖3,若BC=；,則sincr=_,sin2a=

（2）請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出tan2a的表達(dá)式（用含sin/cos。的式子表示）.

40,(2)tan2a=2coscr-sin6z

【答案】（1）

9l-2(sin6z)2

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得AC,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得sina和cosa,再根據(jù)sin22=2sin2?8s。

求解即可；（2）取的中點(diǎn)。，連接0C,過(guò)點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)。，則NCOB=2a,OC=\AB=\,在

RtACD中表示出C。，勾股定理求得OD,即可求解.

【詳解】解：（I）由勾股定理可得：AC=YAB-BC2=述

3

由三角函數(shù)的定義可得sina=4f=:,cosa=—=

AB3AB3

由材料可得：sin2a=2sina.cosa=勺巨故答案為《；勺以

939

（2）取A3的中點(diǎn)0,連接0C,過(guò)點(diǎn)C作⑦,至于點(diǎn)。，如下圖：

則NCO8=2a,OC=OB=—AB=—,2a<90°,a<45。

22

在RtABC中，AC=cosa,BC=sina在Rz^ACD中，CD=ACsina=cosasma,

2,貝！2

在川△CBD中,BD=BCsina-(sina)JOD=OC-BD=^-(sina)

CDcosasina2cosa?sina

2cosa?sina

故答案為tan2a=

l-2(sincr)2

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線作所求角

的直角三角形.

例9.（2022?重慶?校考一模）材料一：證明：sin26Z+cos2a=1-

證明：如圖，作團(tuán)8AC二即，在射線AC上任意取一點(diǎn)。（異于點(diǎn)A）,過(guò)點(diǎn)。作。國(guó)鉆，垂足為E

EB

團(tuán)于點(diǎn)E.,.sinZ.BAC=,cosABAC=/.sin2NBAC=——r-,cos2Z.BAC=^

ADADAD2AD2

2

八"2A/7r）i72,Ap-2Arx2

團(tuán)在RfS^DE中，DE?+AE2=AD-sin2ABAC+cos2ABAC=—=--------------=--=1

AD'AD~AD'AD~

00BAC=0aEsin2a+cos2a=1-

材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)或知道

直角三角形的一條邊的長(zhǎng)及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長(zhǎng)度和其它角的度

數(shù)；由"SAS"定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角

形的第三條邊一定可以求出來(lái).

應(yīng)用以上材料，完成下列問(wèn)題：⑴如圖，在0ABe中，AC=4,BC=6,回C=60。，求AB的長(zhǎng).

（2）在（1）題圖中，如果AC=6,BC=a,0C=a,你能用a,b和cosa表示48的長(zhǎng)度嗎？如果可以，寫(xiě)出推

導(dǎo)過(guò)程；如果不可以，說(shuō)明理由.

【答案】⑴2"⑵能,過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作A。人8c于點(diǎn)。，根據(jù)解直角三角形即可求得；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD13C于點(diǎn)D,根據(jù)解直角三角形即可求得.

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作ADI3c于點(diǎn)。

AD^AC.sin60°=4x—=2m,CD=AC-cos60°=4x-=2

22

.-.DB=CB-CD=6-2=4AB=y/AD2+DB2+42=2近

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD13C于點(diǎn)。

AD=AC-?ma-b-w\a,CD=AC-cosa-b-cosaDB=CB-CD=a—b-cosa

AB=JAD2+DB?=^(Z>-sina)2+(a-Z?-cosa)2

=y/b2sin2a+?2-labcosa+b1cos2a=\lb2+O2-2abcosa■

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

例10.（2023春?湖北?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，

即在圖1所示的直角二角形ABC,NA是銳角，那么sinA=ZA的對(duì)邊+斜邊，cos4=NA的鄰邊+斜邊，

1血4=/4的對(duì)邊+-4的鄰邊.為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來(lái)規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)

有一個(gè)角a,我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為無(wú)軸的正半軸。x,建立直角坐標(biāo)系（圖2）,在角

a的終邊上任取一點(diǎn)P,它的橫坐標(biāo)是無(wú)縱坐標(biāo)是y,點(diǎn)P和原點(diǎn)（。,0）的距離為r=舊+林（r總是正的），

然后把角a的三角函數(shù)規(guī)定為：sina=），cosa=-,tana=^.我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A

rrx

的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角a的大小有關(guān)，而與點(diǎn)尸

在角a的終邊位置無(wú)關(guān).比較圖1與圖2,可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的,

根據(jù)第二種定義回答下列問(wèn)題：

⑴若90。<1<180。，則角a的三角函數(shù)值sina、cosa,tana,其中取正值的是；

⑵若角a的終邊與直線y=2無(wú)重合，則sina+cosa的值；

⑶若角a是鈍角，其終邊上一點(diǎn)尸（無(wú),2）,且cosa=gx,求tancr的值；

⑷若0°<a490°,則sina+cosa的取值范圍是.

【答案】（1）sina（2）3f或_3f（3）tana=+^~-（4）1<sina+cosa<&

【分析】（1）由題意可得r>0,y>0,尤<0,然后依據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)尸（x,2x）,貝卜=百丘|,

然后分為x>0和x<0兩種情況求解即可；（3）由題意可得廠=3,然后依據(jù)定理列出關(guān)于x的方程，從而求

出X的值，然后依據(jù)正切的定義求解即可；（4）依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得x+y>r,然后再得到

-7==,再求得"工的取值范圍，即可求得結(jié)果.

sina+cosa-

4尤+yx2+y2

【詳解】（1）解：當(dāng)90。<。<180°時(shí)，r>0,y>o,x<0,

sin?=—>0,cosfz=—<0,tan?=—<0,故答案為：sina.

rrx

（2）解：???若角。的終邊與直線y=2%重合,0(％,2x),r=Jx2+(2x)2—A/5\X\,

小、八葉?.2rx3752xx_375

當(dāng)x>01叮，sma+cosa--j=-+-j=-=---當(dāng)％v0時(shí)，sina+cosa=

<5x<5x5y[5xV5x5

/.sina+cosor的值為仝5或一±5.

55

X1

(3)解：cosa二一，點(diǎn)P(x,2),且cosa二%，

r3

275

二.J尤2+2?=3,x=(正值舍去)，「.tana=2

x

.yxx+yx+y

(4)解：sma+cosa=-+-=----=：x+y>r/.sincr+coscr>1,

rrr次+丁2

(x-y)2>0,x2+y2>2xy,X.=1+<1+1=2,

x+yx+y

1<sina+cosa<>/2,故答案為：1<sina+cosa<5/2?

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及完全平方公式，理解三角函數(shù)的定義是解題的

關(guān)鍵.

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023秋?廣東東莞?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值

關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問(wèn)題.余弦定

理是這樣描述的：在，ABC中，NA、NB、NC所對(duì)的邊分別為a、b、c,則三角形中任意一邊的平方等

于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用公式可描述為：

a2=b2+c2—2￡>ccosA;b2=a2+c2-2accosB;c?="+廿-2a0cosC；現(xiàn)已知在ABC中，AB=2,BC=4,

ZA=60°,則AC的長(zhǎng)為（）

A.2道B.屈+1C.V13-1D.3桓

【答案】B

【分析】利用公式直接解答即可.

【詳角星】解：回AB=2,BC=4,0c=2,a=4,

0a2=b2+c2-2bccosA>04"=b"+2"—2x2/?x—,整理得，b2-2fe-12=0,

解得b=jm+1或1一加（負(fù)值舍去），故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用、解一元二次方程，正確理解公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川廣元市?中考真題）規(guī)定：

sin(-%)=-sin%,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny給出以下四個(gè)結(jié)論：⑴

sin(-30°)=-1(2)cos2x=cos2x-sin2x；(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny；(4)

cosl5°=/二史其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論.

【詳解】解：(1)sin(-30°)=-sin30°=-1,故此結(jié)論正確；

(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos2%-sin2x,故此結(jié)論正確；

(3)cos(尤一y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny故此結(jié)論正確；

(4)cos150-cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°—+——+—

222244

遂+虛,故此結(jié)論錯(cuò)誤.故選：C.

4

【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問(wèn)題，主要考查了三角函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，

理解題中公式.

3.（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)中，給

出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為。、6、c的ABC的面積為介-『2+；一［.帥C的邊

。、b、c所對(duì)的角分別是0A、SB、回C,則SAABC=：出?sinC=gacsin8=；bcsinA.下列結(jié)論中正確的是()

A.cose，1B,8SC=>+TC,eg"-D.COSC—%T

2ab2ab2ac2bc

【答案】A

【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可.

【詳解】解：0S*，SABC=^absinC,

l即

=aZ?sinc［=^sin2c)

cosC+bi故選:A.

cos2C=

1lab)2ab

【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡(jiǎn)，熟悉siYC+cos2c=1是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?安徽滁州??？级?已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,求其面積問(wèn)題.中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行

過(guò)深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=Jp(p-a)(p-3(p-c),其中p="1^；

我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=gja262Td告二C)2,若

一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,則其面積是()

A.6瓜B.6715C.D.IhUL

22

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7的面積，從而可以解答

本題.

【詳解】叫卜"1+丁〉國(guó)若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,

則面積是：S=g,x6?-產(chǎn)+；_72(J900_36=6",故選A.

【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列相應(yīng)的二次根式并將其化簡(jiǎn).

5.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模)一般地，當(dāng)a、B為任意角時(shí)，tan(a+B)與tan(a-0)的值可以用下面的

1一3

tana±tan￡…tan45-tan30_____3__3-V3

公式求得：tan（a±P）---------土.例如：tanl5°=tan(45°-30°)

1.tana-tanp1+tan45-tan301+"一直方

3

（3—A/3）2

二（3+市）（3-百）=2-6.請(qǐng)根據(jù)以上材料，求得tan75。的值為.

【答案】2+6.

【分析】根據(jù)給定的公式，將tan45。"tan3。。=爭(zhēng)弋入tan75。=［器葭黑。中計(jì)算化簡(jiǎn)即可.

tan450+tan30°__3+退一◎+后

【詳解】解：tan75°=tan(45°+30°)=2+73.

l-tan45°-tan30°】［義3--^3(3_百)(3+抬)

-XT

故答案為：2+73.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算以及用平方差公式進(jìn)行分母有理化，讀懂新定義的含義是關(guān)鍵.

6.（2023?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題.

sin230°+cos230°=

sin245°+cos245°=

sin260°+cos260°=

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A,都有siMA+cos2A=

【答案】1111

【詳解】sin230°+cos230°=(g)2

=1，

sin245°+cos245o：=

sin260°+cos260°=

即可猜想出：對(duì)任意銳角A,都有sidA+cos2A=1.故答案為：1；1；1；1

7.（2023秋?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種運(yùn)算：sin（a+/7）=sinctcos^+cosasm（3,

A/3VI1V2A/6-72

sin(a-/?)=sincrcos/?-cosasinjS.^ij：當(dāng)a=60。，〃=45。時(shí)，sin(60°-45°)=-------X----------------X--------=--------------------,

22224

則sin75°的值為—.

【答案］'

4

【分析】根據(jù)75。=45。+30。和新定義，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°

V273V21A/6+\/2故答案為：二十夜

---X-----1----x—=

22224

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值，能

準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式的計(jì)算.

8.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式:

sin(0一4)=sinacosf3-cosasin/,sin(a+/?)=sinacos(3+coscrsin/7,

cos(a—/?)=cosacos/?+sincsin(3,cos(a+4)=cosacos)3-smasinp,例:

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=正丁.若已知銳角a滿(mǎn)足條件sina=1,則

sin2a=_______

【答案】迪

9

【分析】先根據(jù)；求出把變?yōu)?/p>

sina=cosa,sin2asina+a然后根據(jù)sin(a+萬(wàn))=sinacosp+cosasin/?計(jì)

算即可.

【詳解】解：如圖，在RtZXABC中,

._abb2a2a2+b2

團(tuán)nsinAA=—,cosA——,團(tuán)sin2A+cos2A=~~H——=------=1.

ccccc

[827?

回sina=—,0cos2cr=l-sin2?=-.回。為銳角，回cosa=」一.

393

團(tuán)sin（a+/?）=sinacos0+cosasin0

門(mén)?c?12夜2V214A/2電*4A/2

團(tuán)sm2a=sina+a=sinacosa+cosasma=一義----H--------x—=------.故答案為：----.

333399

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算，正確理解所給計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）定義一種運(yùn)算；sin（6Z+/3）=sinacos/3+cosasm/39

sin(6r-P)=sinacos13-cosasm/3,例如：當(dāng)a=45。，分=30°時(shí)，sin(45°+30°)=

立苫+也〉_L=#+0,則sinl5。的值為.

22224

［答案］邁二正

4

【分析】根據(jù)sin(a-#)=sinacos，-coscsin"代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

V2^A/3A/2^1_^A/2_A/6-A/2故答案為.員夜

2222444,4

【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

10.(2023,四川成都?成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒?觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題

AD

在銳角AABC中，EIA、0B,EIC的對(duì)邊分別是a、b、c,過(guò)A作ADEIBC于D(如圖(1)),則sinB=即

beccinh

AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB二bsinC,即----=----,同理有：----=----,----=----,所以

sinBsinCsinCsinAsinAsinB

a_b_c

sinAsinBsinC

即：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素(至少有一

條邊)，運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素.

根據(jù)上述材料，完成下列各題.

圖(1)圖(2)圖(3)

(1)如圖(2),AABC中，EIB=45°,EIC=75°,BC=60,貝I]E1A=_；AC=

(2)某次巡邏中，如圖(3),我漁政船在C處測(cè)得釣魚(yú)島A在我漁政船的北偏西30。的方向上，隨后以40

海里/時(shí)的速度按北偏東30。的方向航行,半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚(yú)島A在的北偏西75。的方向上,

求此時(shí)漁政船距釣魚(yú)島A的距離AB.

【答案】(1)60°,20V6；(2)10A/6

【詳解】(1)先利用三角形內(nèi)角和定理求出回A,再利用題目總結(jié)的正弦定理，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可；(2)

在回ABC中，分別求得BC的長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用題目中總結(jié)的正弦定理AB的長(zhǎng)即可.

解析：(1)甌B=45°,0