2024年中考數(shù)學幾何模型專練：三角形中的導角模型-高分線模型、雙（三）垂直模型

專題04三角形中的導角模型-高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模

型、子母型雙垂直模型（射影定理模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1：高分線模型

2

例1.（2023秋,浙江?八年級專題練習）如圖，在ABC中，ZA=3O°,ZB=50°,CO為/ACS的平分線,

CE，AB于點、E,則，ECD度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】依據(jù)直角三角形，即可得到NBCE=40。，再根據(jù)乙4=30。,（?。平分/4?3,即可得到438的度

數(shù),再根據(jù)ZDCE=ZBCD-ZBCE進行計算即可.

【詳解】解：ZB=50°,CELAB,ZBCE=40°,

又?ZA=30°,CD平分/ACB,：./BCD=|ZBCA=|x（180°-50°-30°）=50°,

ZDCE=/BCD-NBCE=50。-40°=10。,故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?河南南陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，01=02,G為AD的中點，BG的延長線交

AC于點E,尸為AB上的一點，CF與垂直，交于點則下面判斷正確的有（）

BDC

①A。是AA8E的角平分線；②BE是△ABD的邊A。上的中線；

③S是母48的邊A。上的高；④48是AAC尸的角平分線和高

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】解：①根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AG是AABE的角平分線，故此說法錯誤；

②根據(jù)三角形的中線的概念，知BG是的邊上的中線，故此說法錯誤；

③根據(jù)三角形的高的概念，知C8為△AC￡＞的邊A。上的高，故此說法正確；

④根據(jù)三角形的角平分線和高的概念，知是AACP的角平分線和高線，故此說法正確.故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分線、

中線、高都是線段，且都是頂點和三角形的某條邊相交的交點之間的線段.透徹理解定義是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?安徽合肥?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A。、AE分別是的高和中線，AB=9cm,AC

=12cm,BC=15cm,試求：（1）A。的長度；（2）/VICE和△A8E的周長的差.

BDEC

【答案】（1）A。的長度為日加；（2）AACE和△相￡的周長的差是3m.

【分析】（1）利用直角三角形的面積法來求線段AD的長度；（2）由于AE是中線，那么BE=CE,再表示回ACE

的周長和EIABE的周長，化簡可得MCE的周長-0ABE的周長=AC-AB即可.

【詳解】解：（1）H3BAC=90°,AD是邊BC上的高，I3SAACB=/AB?AC=gBC?AD,

ABAC9x1236、口"心二36

EIAB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,0AD=-----------=--------=一（cm）,即AD的長度為一cm；

CB1555

（2）EIAE為BC邊上的中線，I3BE=CE,

EBACE的周長-EIABE的周長=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=12-9=3（cm）,

即MCE和EIABE的周長的差是3cm.

【點睛】此題主要考查了三角形的面積，關(guān)鍵是掌握直角三角形的面積求法.

例4.（2023?廣東東莞?八年級?？茧A段練習）如圖，在ABC中，AD,AE分別是，ABC的高和角平分線,

若々=30。，NC=50。.⑴求1D4E的度數(shù).⑵試寫出N7ME與/C—N3關(guān)系式，并證明.（3）如圖，F(xiàn)

為AE的延長線上的一點，F(xiàn)D工BC于D,這時NATO與NC-/B的關(guān)系式是否變化，說明理由.

【答案】（l）10°（2）NZME=g（NC-NB）（3）不變，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出/B4C,根據(jù)角平分線的定義得到N54E=50。，根據(jù)高線的性質(zhì)得到

ZADE=90°,從而求出/54。=60。，繼而根據(jù)角的和差得到結(jié)果；（2）根據(jù)角平分線的定義得到

/BAE=148AC,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出ZE4c=90。一1ZB—1/C,根據(jù)角的和差得至I］結(jié)果；（3）過A作

222

AG_L3c于G,結(jié)合（2）知NE4G=；（NC-NB）,證明五D〃AG,得到ZAFD=NE4G,即可證明.

【詳解】（1）解：EZB=30°,ZC=50°,0ZBAC=180°-50°-30°=100°,

團AE平分/R4C,0ZBAE=ZCAE=-ZBAC=50°,

2

EIAO是高，SZADE=90°,0ZB=3O°,EZBAD=60°,0Z.DAE=ZBAD-ZBAE=10°；

（2）/DAE=g（NC-/B）,

證明如下：回AE平分/54C,B1ZEAC=-ZBAC,

2

0ZBAC=180°-ZB-ZC,EZE4C=1（1800-ZB-ZC）=90°-1zB-izC,

0/FAD=ZEAC-ADAC=90°-1ZB-1ZC-（900-ZC）=1（ZC-ZB）；

（3）不變，理由是：如圖，過A作AG_L2C于G,由（2）可知：ZE4G=1（ZC-ZB）,

F

AGA.BC,ZAGB=90°,FDA.BC,:.ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,:.ZAFD=^(ZC-ZB).

【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì),

熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

模型2：雙垂直模型

結(jié)論：①NA=NC；?ZB=ZAFD=ZCFE；③=AE-3C。

例L（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考一模）如圖，在.ABC中，CRBE分別是48,AC邊上的高，并且CD,8E交于點

P,若NA=50。，則的度數(shù)為（)

120°C.110°D.100°

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個銳角互余可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得.

【詳解】解：回即是AC邊上的高，SZBEA=90°,EZA=50°,HZABE=90°-ZA=90°-50°=40°,

是AB邊上的高，0ZCDB=90°,0ZBPC=ZCDB+ZABE=90°+40°=130°,故選：A.

【點睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點.

例2.（2022秋?安徽宿州,八年級校考期中）如圖，在，A6C中，CD和BE分別是AB,AC邊上的高，若CD=12,

sr

BE"則花的值為（）.

D

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可.

11123

【詳解】回S如c=—AC-BE，回12As=16AC,E—故選B.

22AB164

【點睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計算問題.根據(jù)三角形的面積公式得出AB-CD=A。BE是解題關(guān)鍵.

例3.（2023春?河南周口?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，AB=8,5C=10,CFJ.AB于點、F,ADIBC

于點。，AD與CP交于點E,ZB=46°.

⑴求NAEC的度數(shù).（2）若AD=6,求CP的長.

【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；

（2）利用等面積法，由S△即=代值求解即可得到答案.

【詳解】（1）解：0CFJAB,0ZCFB=90°,

0ZB=46°,E1ZBCF=44O,^ADIBC,0ZADC=9O°,

0ZAEC=ZADC+ZBCF=90°+44°=134°；

(2)解：^\CF1AB,AD1BC,SS^ABC=~BC-AD=^-AB-CF,

ADBC6x1015

SAB=8,3c=10,AD=6EICF=

AB8

【點睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問題的關(guān)鍵.

模型3：子母型雙垂直模型（射影定理模型）（三垂直模型）

4

結(jié)論：?ZB=ZCAD；②NC=/BAD；?AB-ACADBC.

例1.（2023?廣東廣州?七年級?？茧A段練習）如圖，在/XACB中，ZACB=90°,CDJ_AB于。，求證:

ZB=ZACD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)CD，AB可得NACB=NCDB=90。，再根據(jù)NB+/BCD=NBCD+NACO=90。，即可求證.

【詳解】證：SCD1AB,ZACB=9000ZACB=ZCDB=90°

又⑦ZB+/CDB+/BCD=180。,0ZB+ZBCD=90°

又團ZACB=/BCD+ZACD=90°,0ZB+/BCD=/BCD+ZACD=90°回=ZACD

【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì).

例2.（2023?山東泰安?七年級校考階段練習）如圖，AD,分別是0ABC的高線與角平分線，BF,AO交于

點、E,01=02.求證：S42c是直角三角形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)AD是AABC的高線,可得SB即+回加。=90°,根據(jù)角平分線的定義可得觀察

與B4E尸的位置，可知是一組對頂角，進而進行等量代換可得EAEF+fflABE=90。，至此結(jié)合已知不難得到

E1AF￡+EABE=9O",由此解題.

【詳解】證明：由題意得：AD5\BC,8尸平分EABC,

00BE￡>+0EBD=9O°,^\ABE=SEBD,^3\BED+^ABE=90°,

EEAEF+EL4B￡=90°,

SEAEF=^AFE,E0AFE+EIABE=9OO,0EIBAF=9O°,即AABC是直角三角形.

【點睛】本題考查了三角形高線、角平分線的定義，對頂角相等，熟記角平分線的定義與直角三角形的定

義是關(guān)鍵.

例3.（2022秋?北京通州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在...ABC中，ZABC=90°,BD1AC,垂足為D.如果

AC=6,BC=3,則的長為（）

A.2B.y3C.3Vr3D.受3V3

【答案】D

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB,再利用三角形面積求出BD即可.

【詳解】解：BZABC=90°,AC=6,BC=3,回根據(jù)勾股定理鈣=,4^—3C?=《6—e=3』，

^BDLAC,^\SAABC=~ABBC=-ACBD,即」x3/x3=』x6-B。，解得：BD=—.故選擇D.

22222

【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

三角形面積等積式是解題關(guān)鍵.

例4.（2023春?江蘇蘇州?七年級蘇州中學校考期中）已知，在.ABC中，ZACB=ZCDB=；77°（0<m<180）,

AE是角平分線，。是A3上的點，AE,C。相交于點F.

（1）若〃2=90時，如圖所示，求證：NCFE=/CE尸；（2）若相片90時，試問/CFE=/CE/還成立嗎？若成立

說明理由；若不成立，請比較NCPE和/C。的大小，并說明理由.

【答案】⑴見解析；（2）不成立；當機>90時，NCFE>NCEF；當機<90時，ZCFE<ZCEF；理由見解析.

【分析】（1）證明=由NACB=NCE）3=90。，證明/ACD=/B,由三角形的外角的性質(zhì)可

ZCFE=ZACD+ZCAE,ZCEF=ZB+ZBAE,從而可得結(jié)論.

（2）證明NCFE-NCEF=NACF-NB,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得

ACFE-ZCEF=m-ZBCD-(180-m-ZBCD)=2m-180,再分兩種情況可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：團AE是角平分線，SZCAE=ZBAE,

0ZACB=ZCDB=m°(0<m<180),m=90,0ZACB=ZC￡>B=90°,

13ZACD+ZBCD=90°=ZBCD+ZB,^ZACD^ZB,

0ZCFE=ZACD+ZCAE,NCEF=NB+NBAE,Z.CFE=Z.CEF.

(2)不成立.理由如下：

SZCFE=ZCAF+ZACF,ZCEF=ZB+ZEAB,NCAE=NBAE,ZCFE-ZCEF=ZACF-ZB,

0ZACB=NCDB=m°(0<m<180),ENCFE—NCEF=m-Z.BCD-(180-m-ABCD)=2〃z—180

當〃z>90時，ZCFE-ZCEF=2/n-180>0,⑦NCFE>NCEF；

當初<90時，ZCFE-ZCEF=2m-l80<0,SZCFE<ZCEF.

【點睛】本題考查的是三角形的角平分線是含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，不

等式的性質(zhì)，熟記三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

課后專項訓練

1.（2023秋?江蘇?八年級專題練習）如圖，在ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB的垂直平分線交AC于

點。，交AB于點E,AC=6,則CD的長為（）

【答案】B

【分析】連接即，由垂直平分線得=45,可求得NC8D=30。，于是=,根據(jù)AC=6,

求得CD=2.

【詳解】解：連接30,回DE是A8的垂直平分線，^BD=AD,

0ZABD=ZA=30°,0NCBD=180°-90°-30°x2=30°,

0ZCBD=ZABD=30°,SCD=-BD=-AD,回AC=6,EI3CD=6,回CD=2.故選：B.

22

【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，30。角直角三角形性質(zhì)；添加輔助線，運用垂直

平分線導出角之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?浙江?八年級專題練習)如圖，ABC中，BE平分/ABC,若？A,NDBE=20°,

則/ABC=()

【答案】B

【分析】設(shè)/C=a,那么/A=2a,然后利用a分別表示/ABC,NABE,ZABD,最后利用三角形內(nèi)

角和定理建立方程解決問題.

【詳解】解：133ABe中，？A2?C,

團設(shè)NC=a,那么NA=2a,0ZABC=18O°-ZA-ZC=18O°-36Z,

團BE平分NABC,0ZABE=-ZABC=-(180°-3a),

22

i3

05D1AC,NDBE=20°,0ZABD=ZABE-ZDBE=-（180°-3a）-20°=70°--a,

3

El/A+/AB。=2a+70°--a=90°,回a=40°,

2

fflZABC=180°-ZA-ZC=180°-3?=60°.故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時也利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角

形內(nèi)角和定理.

3.（2023?綿陽市八年級月考）如圖，在ASC中，AF平分/B4C交BC于點/、破平分/ABC交AC于

點、E,反與BE相交于點。，AD是BC邊上的高，若NC=50。，BELAC,則ND鏟的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意證明ABE=CBE（ASA）,得出Zft4C=NC=50。，三角形內(nèi)角和定理得出加C=80。，根據(jù)

直角三角形的兩個銳角互余求得440=10°,根據(jù)角平分線的定義可得NBAF=g/BAC=25。，根據(jù)

ZD4F=Z&4F-ZZMB即可求解.

【詳解】解：BELAC,BE平分/ABC,:.ZAEB=ZCEB=90°,ZABE=/CBE,

BE=BE,ABEmCBE（ASA）,,-.ZBAC=ZC=50°,z.ZABC=1800-ZBAC-ZC=80°,

BELAC,:.ZADB=90°,:.ZBAD=W°

AF平分NBAC,ZBAF=ZBAC=25°,;.ZDAF=ZBAF-ZDAB=\50,故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的兩個銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，角平

分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?遼寧沈陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ZACB=90°,AD,BE,CT分別是；ABC的

中線、角平分線和高線，BE交CF于點、G,交AD于點H,下面說法中一定正確的是（）

420的面積等于△相￡＞的面積；②NCEG=NCGE；

③ZACB=2ZABE；@AH=BH.

c

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

【答案】B

【分析】①根據(jù)三角形中線平分三角形的面積，即可判斷ACD的面積等于△相￡＞的面積；

②先根據(jù)同角的余角相等證得NC4B=N3CG,再根據(jù)角平分線的定義得出=,最后根據(jù)三角

形外角的性質(zhì)得出NCEG=NC4B+/ABE,NCGE=NCBE+NBCG,即可得證；

③先根據(jù)同角的余角相等證得/ACF=/CBP再根據(jù)角平分線的定義得出/CBF=2ZABE,于是推出

ZACF=2ZABE-.④無法證得AH=BH.

【詳解】解：回AD是-ABC的中線，回。。=瓦）,0AC?的面積等于△ABD的面積，故①正確；

團8E是:ABC的角平分線，^\ZABE=ZCBE,

回CT是，ABC的高線，0ZCM=90°,0ZC4B+ZACF=90°,

SZACB=90°,ZACF+ZBCG=9Q°,SZCAB=ZBCG,

回/CEG是的一個外角，fflZCEG=ZCAB+ZABE,

回/CGE是，BCG的一個外角，13Z.CGE=ZCBE+Z.BCG,SZCEG=ZCGE,故②正確;

團（主是「ABC的高線，0ZCfB=90°,0ZCSF+ZSCF=90°,

0ZACB=90°,SZACF+ZBCF=90°,^ZACF=ZCBF,

回BE是11ABe的角平分線，@NCBF=2ZABE,SZACF^2ZABE,故③正確；

無法證得故④錯誤；故正確的有①②③故選回B.

【點睛】本題考查了三角形的面積，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等，角平分線的定義，熟練掌握這

些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023,湖北十堰,八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,BC=W,AD是

高，BE是中線，CP是角平分線，CF交AD于點G,交BE于點、H,下面結(jié)論：①aABE的面積=Z^BCE

的面積；②NAFG=NAGF；@ZFAG=2ZACF；@AD=2.4.其中結(jié)論正確的是（）

A.①②B.①②④C.@@③D.①②③④

【答案】c

【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定

△ABE和△3CE的面積關(guān)系以及求出AD的長度.

【詳解】解：BE是QABC的中線.?.他=EC.上班的面積等于△3CE的面積故①正確；

ZBAC=90°,AD是1sABC的高..ZAFG+ZACG=90。，NDCG+NDGC=90。

CP是ABC的角平分線/ACG=/Z）CG:.ZAFG^ZDGC

又：ZDGC=ZAGF:.ZAFG=ZAGF故②正確；

ZFAG+ZDAC=ZDAC+ZACD=90°:.ZFAG^ZACD

ZACD=ZACF+ZDCF=2ZACF:.ZFAG^2ZACF故③正確；

2SABC=AB.AC=BC.ADAD=^^=—=4.8故④錯誤；故選：C

BC10

【點睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?山西呂梁?八年級統(tǒng)考期末）如圖，ABC是等腰三角形，AB^AC,NA=45。，在腰AB上取

一點、D,DE1BC,垂足為E,另一腰AC上的高所交。E于點G,垂足為R若班=3,則。G的長

為.

【答案】6

【分析】過點G作“G,3/交3。于點M,過點M作NMLED,根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出

NFBC=/BDE,再由垂直及等量代換得出/MGD=/3DG,利用等角對等邊確定MG=MD=3G,

DG=2DN,再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：過點G作加GL8F交8。于點過點M作NM工ED,如圖所示：

A

SAB=AC,ZA=45°,DEIBC,

EIZABC=NC=67.5°,NBDE=22.5°,/ABF=/A=45°,

0ZFBC=ZABC-ZABF=22.5°,NBGE=67.5°團NFBC=ZBDE,

0MG1BF,NM±ED,0/BGM=NMND=90。,NABF=/BMG=45。

0NMGD=180°-/BGE-NBGM=22.5°,MG=BG,

0NMGD=NBDG,gMG=MD=BG,DG=2DN,

ZMND=ZBEG=90°

在，DM/與,BEG中，-ZBDE=ZFBC,aDNM^^BEG（AAS）

DM=BG

0DN=BE=3,0DG=2DN=6,故答案為：6.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟

練運用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.（2023春，江蘇宿遷?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ASC中，/54C=90。，ZC=40°,A"、應(yīng)）分別是ABC

的高和角平分線，點E為BC邊上一點，當_3/定為直角三角形時，則

【答案】50或25/25或50

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/ABC=50。，由角平分線的定義得4)3C=25。，當為直角三角

形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：BlZBAC=90°,ZC=40°,EZABC=90°-40°=50°

05。平分ZABC^^DBC=-NABC=25°

2

當△也比為直角三角形時，有以下兩種情況：

①當ZBED=90°時，如圖1,ElZC=40o,EZCDE=90°-40°=50°；

②當ZSDE=90。時，如圖2,EZB￡E>=90o-25°=65°,

B1/BED=NC+/CDB,EI/CDE=65°—40°=25°,

綜上，NCDE的度數(shù)為50°或25。.故答案為：50或25.

【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知"三角形的外角的性質(zhì)"是解答此

題的關(guān)鍵.

8.（2023春?江蘇泰州?七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在.ABC中，ZACB^90°,D、E分別在邊AB、BC

上，AE.C。相交于點尸.

（1）給出下列信息：①NCFE=/CEF；②AE是ABC的角平分線；③C。是的高.請你用其中的兩

個事項作為條件，余下的事項作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并給出證明；

條件：，結(jié)論：.（填序號）

證明：

（2）在（1）的條件下，若/B=c,求"EE的度數(shù).（用含。的代數(shù)式表示）

【答案】⑴①②；③；見解答⑵〃相=135。a

【分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線的性質(zhì)可得NS4E=NC4E,由/CFE=NCEF和

ZAFD^ZCFE,得出/CEF=/AFD,利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論;

（2）利用（1）的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案.

【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論：③，

證明：團AE是，A5C的角平分線，SiZBAE=ZCAE,

團/CFE=NCEF,NCFE=ZAFD,^iZCEF^ZAFD,

^ZACE+ZAEC+ZCAE=ZADF+ZAFD+ZBAE=18O°,

0ZACE=ZADF=90°,EIC。是.ABC的高.

條件：①③，結(jié)論：②，

證明：回。是，ABC的高，0ZACB=ZBDC=90°,0ZB=ZACD=90°-ZBCD,

@NCFE=NCEF,ZCFE=ZACF+Z.CAF,NCEF=NB+NBAE,

^ZBAE^ZCAE,E1AE是11ABe的角平分線；

條件：②③，結(jié)論：①，

證明：回AE是，ABC的角平分線，^ZBAE^ZCAE,

EIC。是，ABC的高，^ZACB=ZBDC=9Q°,

0ZB=ZACD=90°-NBCD,

SZCFE=ZACF+Z.CAF,NCEF=NB+NBAE,

田/CFE=NCEF；故答案為：①②；③；

證明：見解答；

（2）El/B=a,0ZBAC=9O°-tz,

190°-a

回AE是，ABC的角平分線，SZBAE=-ZBAC=,

90°-a1

0ZADC=9OO,0ZDFE=ZBAE+ZADC=--------+90°=135°--a.

22

【點睛】本題考查命題與定理，掌握角分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.（2023秋?浙江?八年級專題練習）如圖，在中，ZACB=90°,CmAB于D,"平分

交CD于E,交BC于尸.

c

⑴如果NCFE=70。，求的度數(shù)；（2）試說明：NCEF=NCFE.

【答案】⑴50°（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NC4尸的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得/C43的度數(shù)，根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)可得的度數(shù)；

（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得NC4F+NCEE=90。，ZDAE+ZAED=90°,根據(jù)角平分線的定義

可得NC4F=/ZME,從而可得NCFE=ZA￡D,即可得證.

【詳解】（1）解：ZACB=90°,ZCFE=10°,

ZCAF=18O°-9O°-70°=20°,

AF平分NC43交CD于E,

ZCAB=2ZCAF=40°,

,-,ZB=90o-40o=50°；

（2）證明：-NACB=90°,

ZCAF+ZCFE=90°,

CD1AB,

:.ZADE^90°,

:.ZDAE+ZAED^90°,

AF平分NC4B交CD于E,

:.Z.CAF^ZDAE,

：.ZCFE=ZAED,

ZAED=NCEF,

：.ZCEF=ZCFE.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023秋?浙江?八年級專題練習）對于下列問題,在解答過程的空白處填上適當?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學式）.如

圖.在直角ABC中，C。是斜邊A3上的高，NBCD=35°.

⑴求/EBC的度數(shù)；⑵求—A的度數(shù).

解：⑴,CDLAB（已知），

:.NCDB=。，

ZEBC=ZCDB+ZBCD（）,

:.NEBC=。+35。=°（等量代換），

（2）NEBC=ZA+ZACB（）,

:.ZA^ZEBC-（等式的性質(zhì)），

ZACB=90°（己知），

.1NA=-90。=。（等量代換）.

【答案】（1）90；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；90；125

⑵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；ZACB-.125°；35

【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進行作答即可；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進行作答即可.

【詳解】（1）解：。。，43（己知），；./6/）3=90。，

/EBC=/CDB+/BCE＞（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和）.

NEBC=900+35°=125°（等量代換）.

（2）/EBC=NA+NACB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和），

,NA=NEBC-NACB（等式的性質(zhì)）.

ZACB=900（已知），；.NA=125°-90°=35。（等量代換）.

【點睛】本題考查三角形的外角.熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解題關(guān)鍵.

11.（2023?廣東中山,八年級校聯(lián)考期中）如圖，在ABC中，NACB=90。，。0,45于點。，E為AB上一

點，AC=AE

c

⑴求證：CE平分NDCB；（2）若CE=EB,求證：BD=3AD.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）證明/OCE=90O—/CED,NBCE=90?！猌ACE,再證明/皿）=/ACE,從而可得結(jié)論；

（2）先證明ZB=ZBCE,/B=NDCE=/BCE=30?？傻肸ACD=90?！?DCE—/BCE=30。,AC=2AD,

AB=2AC=4AD,從而可得結(jié)論.

【詳解】（1）證：在RtZXCDE中，/DCE=90?！狽CED

在RtA4BC中，ZBCE=90°-ZACE

0AC—AE,

SZCED=ZACE,

?NDCE=NBCE,

[BCE平分/DC3；

（2）BICE=BE,

SZB^ZBCE

El在Rt/XCDE中，/B+/BCD=90°,而ZBCD=ZDCE+NBCE

0ZB=ZDCE=ZBCE=30°

BZACD=90°-ZDCE-ZBCE=30°

回在Rt^ACD中，ZACD=30°

0AC=2A￡>

團在Rt^ABC中，ZB=30°

0AB=2AC=4AD,

SBD=AB-AD=3AD.

【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的證明并

求解NB=ZDCE=ZBCE=30°是解本題的關(guān)鍵.

12.（2023?浙江溫州?八年級?？茧A段練習）如圖，在0ABe中，0ACB=9O°,CD0A8于點。，CE平分SDC8

交48于點E,

（1）求證：EIA￡C=0AC￡；（2）若0AEC=2I3B,AD=1,求AB的長.

【答案】（1）證明見解析⑵A3=4

【分析】（1）依據(jù)EACB=90。，CD^AB,即可得到0ACO=EIB,再根據(jù)CE平分EIBCO,可得MCE=EI￡>CE,

進而得出0AEC=EACE；（2）依據(jù)048=站慮=回。（7￡,0ACB=90°,即可得到0AC￡）=3O。，進而得出Rt^ACD

中，AC=2AD=2,RfAABC中，AB=2AC=4.

【詳解】（1）0EIACB=9OO,CD^AB,

EI0ACD+EIA=0B+EA=90°,EBAC￡>=EIB,

E1CE平分團BCD,^BCE^DCE,

^EB+SBCE=SACD+^DCE,即EAEC=a4C￡；

（2）00AEC=0B+I3BCE,0AEC=20B,E0B=EIBCE,

又aa4CD=!3B,fflBCE=0￡>CE,SBACD=SBCE=SDCE,

又EEL4C8=90°,^EACD=30°,08=30°,

EIRfAACZ）中，AC=2AD=2,團MAABC中，AB=2AC=4.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形30。角所對的直角

邊長度是斜邊的一半，解題時注意：三角形內(nèi)角和是180。，三角形外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和.

13.（2022秋?河南商丘?八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在：ABC中，AD、/歸分別是,ABC的角平分線和高

線，ZABC=a,AACB=/3（a<。）.

A

（1）若a=35。,〃=55。，貝UZZME=；

⑵小明說："無需給出。、尸的具體數(shù)值，只需確定用與夕的差值，即可確定鉆的度數(shù).”請通過計算

驗證小明的說法是否正確.

【答案】（1）10°（2）小明的說法正確，理由見解析

【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出/B4C,根據(jù)角平分線的定義求出/C4D,根據(jù)直角三角形的兩

個銳角互余求出/。1E,再利用角的和差即可求出N1ME；

（2）根據(jù)（1）的思路求出/以后二勺三，即可作出判斷.

【詳解】（1）回ZABC=0,ZACB=/3（a<0）,e=35°,/=55°,

回N3AC=180°—e—6=90°,

回AO是NBAC的平分線，

QZDAC=-ZBAC=45°,

2

團AE是高線，

/.ZAEC=90°,

/.ZEAC=90°-ZACB=90?！?，=35°,

^ZDAE=ZCAD-ZCAE=45o-35°=10°；

（2）國4AC=180。—（/45。+/48）=180。-3+4）,4）是/840的平分線，

ADAC=|ABAC=90。一+月）.

AE是高線，

/.ZAEC=90°,

/.ZEAC=90°-ZACB=90°-/?,

ZDAE=ZDAC-ZEAC=90°-1（tz+^）-（90°-/3、=.

由=可知：―ZME的度數(shù)與￡的具體數(shù)值無關(guān)，只和尸與。的差值有關(guān)，

故小明的說法正確.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、直角三角形的兩個銳角互余和角的和差計算，

屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握三角形的基本知識是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?安徽安慶?八年級?？计谥校┤鐖D，在，ABC中，ZB=63°,NC=51。,AD是BC邊上的高，AE

是/B4C的平分線.

A

⑴求N7ME的度數(shù)；（2）若/3>/C,試探求/B、NC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）ZDAE=6。⑵NZME=：/B-g/C

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“^^=180。-/5-/。=66。，根據(jù)角平分線的定義得出

ZBAE=ZCAE=-ZBAC=33°,根據(jù)AD15C,得出NADB=NADC=90。，求出NRW=90?！?8=27。,

2

最后根據(jù)NZME=Z&4￡_NSW=33。-27。=6。得出結(jié)果；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出/54E=NC4E=1/BAC=90。一根據(jù)高線的定義得出

222

ZADB^ZADC^90°,求出/3">=90。一/5,根據(jù)得出/S4D<NB4E,根據(jù)

NZME=44E-44。求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：回在“ASC中，NB=63。，ZC=51°,

fflZ&4C=180°-ZB-ZC=66°,

回AE是/A4C的平分線，

回ZBAE=ZCAE=-ABAC=33°,

2

團AD是BC邊上的高，

^ADIBC,

0ZADB=ZADC=9O°,

0ZK4D=9O°-ZB=27°,

SZDAE=ZBAE-ZBAD=33°-21°=6°.

（2）解:回NB4c=180。—NC,AE是/A4C的平分線，

ZBAE=ZCAE=-ZBAC=90°--ZB--ZC,

222

團AO是BC邊上的高，

^ADIBC,

0ZADB=Zz4DC=9O°,

0ZS4D=9O°-ZS,

0ZB>ZC,

國/BADc/BAE,

⑦ZDAE=ZBAE—ZBAD

-90°--ZB-izC-900+ZB

22

=-ZB--ZC,

22

即Na4E=g/B—；NC.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，三角形的高線，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握三角形內(nèi)角和為180。.

15.（2023?福建莆田,八年級?？计谥校┮?guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，

那么稱這兩個三角形互為"等角三角形

從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分

割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形是"等角三角形"，我

們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線

（1）如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD1AB,請寫出圖中兩對“等角三角形"；

⑵如圖2,在ABC中，CD為NACB的平分線，ZA=40°,-3=60。.求證：CD為ABC的"等角分割線”；

⑶在ABC中，若NA=50。，CD是.ABC的“等角分割線”，請求出所有可能的/ACB的度數(shù).

【答案】⑴.與,ACD；ABC與△BCD；ACD與△BCD（任意寫出兩對“等角三角形”即可）

⑵見解析⑶/ACB的度數(shù)為100?；?15?；?等600或號310-°

【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NACB=NADC=/BDC=90。，ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

再根據(jù)"等角三角形"的定義即可得；

（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/ACB=80。，從而可得NACD=/r>CB=40。，根據(jù)等腰三角形的判

定可得AACD是等腰三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得N3DC=/ACB=80。，從而可得△BCD與

ABC是"等角三角形"，然后根據(jù)等角分割線的定義即可得證；

（3）分①當二ACD是等腰三角形，D4=OC時；②當一ACD是等腰三角形，ZM=AC時；③當△38是

等腰三角形，OC=BD時；④當△BCD是等腰三角形，D3=3C時四種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)、三

角形的外角性質(zhì)求解即可得.

【詳解】(1)解：ZACB=90。，CD1AB,

ZACB=ZADC=ZBDC=90°,

ZA+=ZA+ZACD=NB+NBCD=ZACD+ABCD=90°,

:.ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

：.ABC與aACD；ABC與△BCD；.420與△3CD是”等角三角形(任意寫出兩對“等角三角形”即可)

(2)證明：在..ABC中，ZA=40°,/3=60。，

0ZACB=180°-ZA-ZB=80°,

回co為角平分線，

0ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,

2

I3ZACD=ZA,ZDCB=ZA,

團CD=AD,

0ACD是等腰三角形，

回在△O3C中，ZDCB=40°,/3=60°,

0NBDC=180°-NDCB—NB=80°,

ZBDCZACB,

團△BCD與ABC是"等角三角形"，

回C。為，ABC的等角分割線.

(3)解：由題意，分以下四種情況：

①當/ACD是等腰三角形，/M=DC時，NACD=NA=50。，

0ZACB=ZBDC=50°+50°=100°；

②當,ACD是等腰三角形，ZM=AC時，ZACD=ZADC=65°,ZBCD=ZA=50°,

0ZACB=65°+50°=115°；

c

ADB

1OHO_CQO1QAO

③當△BCD是等腰三角形，OC=BD時，NACD=NBCD=NB=--------=——,

④當△BCD是等腰三角形，DB=BC時，NBDC=NBCD,

設(shè)ZBDC=ZBCD=x,則N8=180°—2x,.?.ZACD=ZB=180°—2x,

230°

由三角形的外角性質(zhì)得：ZA+ZACD=ZBDC,即50。+180。一2了=%，解得X=三~,

310°

0ZACB=ZACD+ZBCD=180°-2x+x=——；

綜上，/ACB的度數(shù)為100。或H5?；?手600或3學10°.

33

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，較難的是題（3）,正

確分四種情況討論是解題關(guān)鍵.

16.（2023?安徽安慶?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，/瓦1C和，MC的平分線相交于點O,過點。

作EF//AB交BC于F,交AC于E,過點。作ODLBC于D.

(1)求證：ZAOB=90°+-ZC；(2)求證：AE+BF=EF；(3)^OD=a,CE+CF=2b,請用含。，b

2

的代數(shù)式表示AC￡F的面積，S,CEF=（直接寫出結(jié)果）

【答案】。）見解析；（2）EF=AE+BF；（3）ab

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論成立.

（2）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得到AE=OE,BF=OF,然后即可得結(jié)論成立;

（3）過點。作0G團AC,連接0C,由點。為內(nèi)心，可知OD=OG,由另期=另的+SACOE，即可得到答案.

【詳解】證明：(1)OA,。3平分4c和/ABC

NOAB=ZOAE=-ZCOB,ZOBA=NOBF=-ZABC

22

:.ZAOB=1800-NOAB-ZOBA

=180°--ZCOB--ZABC

22

=180°一;(/C0B+/A8C)

-180°-1(180°-ZC)

=90。+』/。；

2

(2)EF//AB,

:.ZOAB=ZAOE,ZABO=ZBOF,

又/OAB=NEAO,NOBA=NOBF,

:.ZAOE=ZEAO,NBOF=NOBF,

:.AE=OE,BF=OF,

:.EF=OE+OF=AE+BF

(3)如圖，過點。作OGEIAC,連接OC,

回點。為國ABC的內(nèi)心，則OC是回ACB的角平分線,

團OG=OD=a,

團S^CEF=+SACOE

=-CF?OD+-CE?OG

22

=1（?D*（CF+CE）

1?

~—a*2b

2

=ab；

故答案為：ab.

【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確得到角之間

的關(guān)系，從而進行解題.

17.（2023春?江蘇徐州?七年級?？茧A段練習）在.ABC中，Z3=80。，NC=40。，AE平分/54C.

（1）如圖①，若ADL3C于。，求NE4D的度數(shù).⑵如圖②若點P為AE上一點，P