2024年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓的綜合 27類(lèi)題型（原卷版）

專(zhuān)題3-6圓的綜合（27類(lèi)題型）

題型?解讀，

圓的綜合問(wèn)題常用的規(guī)律方法

模塊一圓中常見(jiàn)輔助線

【題型1］遇到弦時(shí)

【題型2】遇到有直徑時(shí)

【題型3】遇到有切線時(shí)

【題型4】遇到兩相交切線時(shí)

【題型5】遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

【題型6】遇到三角形的外接圓時(shí)

模塊二切線證明

類(lèi)型1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直

【題型7】特殊角計(jì)算證垂直

【題型8】勾股定理逆定理證垂直

【題型9】通過(guò)平行線代換證垂直

【題型10】利用等角代換法證明垂直

【題型11】利用三角形全等證明垂直

類(lèi)型2無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑

【題型12】角平分線的性質(zhì)證半徑

【題型131特殊角計(jì)算證垂直

模塊三圓中求線段長(zhǎng)度

【題型14］結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)

【題型15】結(jié)合三角函數(shù)求線段長(zhǎng)

【題型16】結(jié)合相似求線段長(zhǎng)

【題型17］利用旋轉(zhuǎn)變換求線段長(zhǎng)

模塊四以圓為背景的陰影部分面積問(wèn)題

【題型18】和差法（割補(bǔ)）

【題型19］拼接法（等積變形）

模塊五其它類(lèi)型

【題型20】與圓錐的相關(guān)計(jì)算

【題型21］圓內(nèi)接四邊形

【題型22］圓與相似綜合1：等積式相關(guān)證明

【題型23］圓與相似綜合2：線段積問(wèn)題

【題型24】圓中線段間的數(shù)量關(guān)系（和差倍分）

［題型25］選填壓軸以圓為背景的多結(jié)論判斷問(wèn)題

【題型26】求圓周角的三角函數(shù)值

【題型27］圓中的翻折

滿分?技巧/

圓的綜合問(wèn)題常用的規(guī)律方法：

技法01:第一問(wèn)常考考點(diǎn)——切線，對(duì)應(yīng)規(guī)律

①切線的判定：常用方法

有切點(diǎn)，連半徑，證垂直!

無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！

☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證，，先找，”

②切線的性質(zhì)：常用方法T見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！

因切線所得結(jié)論必為，，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題

技法02:考題常見(jiàn)結(jié)合考點(diǎn)

角平分線'

①知2得1：平行線卜口2得In常用于第1問(wèn)關(guān)聯(lián)“切線”

等腰△

放△相似

②三角形相似：/字、8字相似結(jié)合的可能性最大=斐1對(duì)配對(duì)應(yīng)邊成比例

進(jìn)而求長(zhǎng)度

母子△相似

③三角函數(shù)：相似三角形與三角函數(shù)不分家，所以應(yīng)用方法類(lèi)似;

特殊之處是：給三角函數(shù)，必“找"RtA

④特殊角及其轉(zhuǎn)化：

’15。.推30。、75。、75。的等腰△

位回國(guó)后聲30。-＞推等邊△（圓心角為60。亦可得）

沿圓周用為V小

45。一推等腰衣，△（圓心角為90。亦可得）

60?！?:1：后型等腰△（圓心角為120。亦可得）

技法03:常見(jiàn)輔助線

①連半徑——有關(guān)切線時(shí)，連接的是過(guò)切點(diǎn)的半徑

②作弦心距——構(gòu)造RtA,進(jìn)而用知2得3

?或做兩條弦心距，構(gòu)造矩形或正方形

③連接弦——使直徑所對(duì)的圓周角=90°,進(jìn)而在Rt△中展開(kāi)問(wèn)題

技法04:圓中等積式證明（三角形相似）

圓中的等積式證明主要有下面幾種形式：

(1)BE-EF=DE-AE

(2)CF2=CGCE

(3)CE2=kDEBO

（4）MN-MC^a（證a為定值）

BEAECFCE

其中第（1）（2）的形式屬最簡(jiǎn)單的形式，只需要將線段乘積寫(xiě)成比例的形式（----=----,----=）

DEEFCGCF

然后找到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形相似即可，稍復(fù)雜的題目還會(huì)有將等積式中的線段替換為其他相等的線

段情況；

第（3）種形式和第（2）種類(lèi)似，建議先寫(xiě)成線段比例的形式，然后再考慮數(shù)字的歸屬問(wèn)題，將系

數(shù)分配給某一線段；

MN（）

第（4）種情況難度最大，題目中只給兩條線段，另外兩條需要自己找，建議寫(xiě)成^=——的形式,

（）MC

括號(hào)內(nèi)的一般填入的是題中可求值的線段，再根據(jù)題中條件具體分析即可。

【圓中的相似模型】

（1）圓周角定理推論（直徑所對(duì)圓周角為90。;同弧所對(duì)圓周角相等）

⑵圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)（通常是圓內(nèi)外兩個(gè)三角形相似）

⑶已知線段比例關(guān)系，利用公共角及兩邊對(duì)應(yīng)成比例證相似

技法05:求陰影部分面積

求陰影部分面積主要有2種形式：①割補(bǔ)法，②等級(jí)變形（拼接）

BEC

核心?題型/

模塊一圓中常見(jiàn)輔助線

【題型1］遇到弦時(shí)

處理方式：常添加弦心距

1.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，如

圖1.唐代陳廷章在《水輪賦》中寫(xiě)道‘水能利物，輪乃曲成”.如圖2,已知圓心。在水面上方,

且O。被水面截得弦AB長(zhǎng)為8米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，點(diǎn)C到弦2B所在直線的距離

是2,則。。的半徑長(zhǎng)為米.

2.如圖，。。的半徑為10匹，弦4B的長(zhǎng)為16VLP是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，則線段OP長(zhǎng)的最小值為

B.8V2C.5D.6V2

3.（2022?安徽中考）已知。。的半徑為7,48是。。的弦,點(diǎn)尸在弦48上.若尸N=4,PB=6,

則OP=()

A.Vl4B.4D.5

4.如圖，4B是。。的直徑，弦CD交48于點(diǎn)P,N2PC=30°,點(diǎn)P是04的中點(diǎn)，且4P=2,則

CD=_______

5.已知。。的半徑是5cm,弦48||CD,AB=6cm,CD=8cm,則48與CO的距離是（

A.7cmB.7emblemC.5cm或2cmD.lcm

6.如圖，已知。。的直徑為26,弦AB=24,動(dòng)點(diǎn)P、Q在。。上，弦PQ=10,若點(diǎn)M、N分別是

弦力B、PQ的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）

A.7<MN<17B.14<MN<34C.7<MN<17D.6<MN<16

【題型2】遇到直徑時(shí)

處理方式：常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角

作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。

7.如圖，在△力BC中，AB=AC,ZC=70°,以4B為直徑的O。交BC于點(diǎn)D,則前的度數(shù)

為°.

8.如圖，點(diǎn)力、B、C、。均在。。上，48為直徑，BC=CD.若乙4=50。，求NB的度數(shù).

D

C

9.如圖，在△力BD中，AB=AD,以力B為直徑作O。，交線段BD于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CF14D于點(diǎn)

(2)當(dāng)/。=30。，CE=g時(shí)，求衣的長(zhǎng).

【題型3】遇到有切線時(shí)

處理方式：添加過(guò)切點(diǎn)的半徑(連結(jié)圓心和切點(diǎn))

10.如圖，CD切。。于8,若NC=30。,則乙48。的度數(shù)是.

11.如圖，在。。中，4B切。。于點(diǎn)4連接。B交。。于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)4作ADIIOB交。。于點(diǎn)。，連

則NOCD為（

A.21°B.24°C.25°D.30°

12.如圖，半圓。。的圓心在BC上，47、4B分別與。。相切于點(diǎn)C、D,半圓。。交BC于另一點(diǎn)

E.連接DE、A0,求證：DEWAO.

【題型4】遇到兩相交切線時(shí)

處理方式：常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)（切線長(zhǎng)定理）

13.如圖，P4PB分別與。。相切于點(diǎn)4、B,連接48.若A8=P8,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)（異于4、

14.如圖，從點(diǎn)P向。。引兩條切線P4PB,切點(diǎn)為4B,作直徑BC,連接2C,若NP=60。,

PB=2,貝i|ac=.

15.如圖，P4PB是。。的切線，4、B為切點(diǎn)，^OAB=30°.

（1）求44PB的度數(shù)；

（2）當(dāng)4P=3時(shí)，求。。的半徑.

【題型5】遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

處理方式：連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得①內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；

②內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。

16.（2023?湖北天門(mén)中考）如圖，在。3c中，乙4cB=70。,△4BC的內(nèi)切圓。。與3c分別相

切于點(diǎn)D,E,連接?！?/。的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)尸，則N4ED=.

17.如圖，在一張紙片中，乙4cB=90。，BC=5,AC=12,O。是它的內(nèi)切圓.小明用

剪刀沿著。。的切線DE剪下一塊三角形4DE,則△4DE的周長(zhǎng)為（）

A.19B.17C.22D.20

18.已知：如圖，。。是RtaABC的內(nèi)切圓，ZC=9O°.若aC=12cm,BC=9cm,求。。的半徑

r；若AC=b,BC=a,AB=c,求O。的半徑r.

【題型6】遇到三角形的外接圓時(shí)

處理方式：連結(jié)外心和各頂點(diǎn)

作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等(角平分線交點(diǎn))

19.如圖，△4BC內(nèi)接于。。，AB=AC,連接4。.

(1)求證：AOLBC-

(2)若。4=5,BC=8,求力B的長(zhǎng).

20.如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長(zhǎng)為80cm,腰長(zhǎng)為50cm.

(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：

(2)用一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少cm?

(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離.

模塊二切線證明

根據(jù)條件確定是否有明確交點(diǎn)

確定交點(diǎn)

根據(jù)有無(wú)交點(diǎn)作出相應(yīng)的輔助線

解題模板:

利用切線的判定方法進(jìn)行證明

推導(dǎo)證明

類(lèi)型1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直

【題型7】特殊角計(jì)算證垂直

21.如圖，N5為。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，AC=CD=DB,DELAC.

22.如圖，NC是。。的直徑，8在。。上，BD平分/4BC交00于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作DE〃/C交3c

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

求證：DE是。。的切線.

23.如圖，在。。中，48為。。的直徑，NC為弦，。。=4,

ZOAC=60°.

(1)求N/OC的度數(shù)；

(2)在圖(1)中，尸為直徑氏4的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且S?4c=4四，求證：尸C為。。的切線;

24.已知：在。。中，4B是。。的直徑，4C是弦，ZD=60°,點(diǎn)尸是力B延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

CP=AC.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)若PB=V^,求。。的直徑.

【題型8】勾股定理逆定理證垂直

25.如圖，C是。0上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑AB的延長(zhǎng)線上，。。的半徑為6,PB=4,PC=8.求證:

PC是。0的切線;

26.如圖，C是O。上一點(diǎn)，點(diǎn)。在直徑4B的延長(zhǎng)線上，。。的半徑為6,DB=4,DC=8.求證

0C是。。的切線.

VJ

27.如圖，AD,BD是。O的弦，AD_LBD,且BD=2AD=8,點(diǎn)C是BD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),

CD=2,求證：AC是。。的切線.

28.如圖，AD,3。是。。的弦，ADVBD,且AD=24D=8,點(diǎn)C是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD

【題型91通過(guò)平行線代換證垂直

29.已知：N8是。。的直徑，8。是。。的弦，延長(zhǎng)3。到點(diǎn)C,?AB=AC,連結(jié)NC,過(guò)點(diǎn)。作

DE1AC,垂足為E.求證：為。。的切線.

A

30.如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于。O,AB為。。的直徑，過(guò)點(diǎn)C作“，AD交4D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,延長(zhǎng)EC,4B交于點(diǎn)E,ZECD=ZBCF.

求證：CE為。。的切線;

31.已知：如圖，在△48C中，AB=AC,以4B為直徑的O。交BC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。ElAC于點(diǎn)

E.

4-卜’二〃

(1)求證：DE是。。的切線;

(2)若NC4B=120。，。。的半徑等于5,求線段DE的長(zhǎng).

【題型10］利用等角代換法證明垂直

32.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)。在直徑上(D與A,2不重合)，CDLAB,>CD^AB,連

接C8,與。。交于點(diǎn)R在CD上取一點(diǎn)E,使得EF=EC.

求證：E尸是。。的切線;

D,

B

33.如圖，力B是。。的弦，ODLOB,交4B于E,且=求證：4。是O。的切線.

34.如圖，在RtZi4BC中，乙4cB=90。，點(diǎn)。在AC邊上，以4。為直徑作O。交48于點(diǎn)E,連接

CE,且CB=CE.求證：CE是。。的切線.

35.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，CD,48于點(diǎn)。，點(diǎn)E是圓外一點(diǎn)，C4平分/

ECD.求證：CE是。。的切線.

36.如圖，A43C內(nèi)接于半圓，N8是直徑，過(guò)/作直線MN,ZMAC=ZABC,。是弧/C的中

點(diǎn)，連接3。交NC于G,過(guò)。作。EL48于E,交/C于廣

（1）求證：MV是半圓的切線.

(2)求證：FD=FG.

【題型11］利用三角形全等證明垂直

37.如圖，4;是。。的直徑，P4相切于。。，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，且PA=PB,連接力B,

ABAC=30°,求證：PB是。。的切線.

38.如圖，4B是。。的直徑，4C是。。的切線，連接0C,過(guò)B作BDIIOC交O。于點(diǎn)D,連接CD

并延長(zhǎng)，交4B延長(zhǎng)線于E,求證：CE是。。的切線.

39.如圖，N2為。。的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)。是。。上的兩點(diǎn)，連接2C,DC,BC=CD,CELDA

交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

求證：CE是。。的切線；

D

40.如圖，已知48是。。的直徑，BC1AB,連接。C,弦4D〃OC,直線C?交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E.

求證：CD是。。的切線;

41.如圖，N2為。。的直徑，四邊形02CD是矩形，連接4D,延長(zhǎng)4D交。。于E,連接CE.求

證：CE為。。的切線.

類(lèi)型2無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑

【題型12】角平分線的性質(zhì)證半徑

42.如圖，。為正方形N5CD對(duì)角線NC上一點(diǎn)，以。為圓心，長(zhǎng)為半徑的。。與3c相切于點(diǎn)

M.求證：CD與。。相切.

BM

43.如圖，BD是乙4BC的角平分線，點(diǎn)。是BD上一點(diǎn)，O。與A8相切于點(diǎn)M,與BD交于點(diǎn)E、

F.求證：8C是O。的切線.

44.如圖，在Rt^ABC中，AACB=90°,4。是△ABC的角平分線，以。為圓心，0C為半徑作

00,求證：AB是。。的切線.

45.如圖，aABC為等腰三角形，0是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與。。相切于點(diǎn)D.求證AC是。

0的切線.

46.如圖，在ZL48c中，〃=90。，的角平分線交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)。在48上，以點(diǎn)。為圓心,

為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，分別交4C、4B于點(diǎn)E,F.

(1)試判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若8。=2而，BF=2,求。。的半徑.

【題型13］特殊角計(jì)算證垂直

47.如圖，在四邊形2BCD中，NA=4B=90。，AD+BC=CD,以48為直徑作。0,

求證：CD與。。相切.

AD

n

BC

模塊三圓中求線段長(zhǎng)度

利用圓的相關(guān)定理和性質(zhì)作輔助線

解題模板：—

.分析題目一選取合適的方法進(jìn)像十算

【題型14］結(jié)合勾股定理求線段長(zhǎng)

48.如圖，在中，ZC=9O°,40是△ABC的角平分線,過(guò)點(diǎn)/、。的圓的圓心。在邊48

上，O。與邊A8交于另一點(diǎn)E.

D

(1)證明：BC與。。相切；

(2)若力C=6,ZB=30°.則AD=.

49.如圖，力B是。。的直徑，AC是弦，。是通的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)、E.尸是4B延長(zhǎng)線上的一

點(diǎn)，且CF=EF.

(1)求證：CF為。。的切線；

(2)連接8D.若CF=4,BF=2,求8。的長(zhǎng).

50.如圖，在中，ZC=90°,BD是角平分線，點(diǎn)。在B4上，以點(diǎn)。為圓心，BO長(zhǎng)為半徑的

圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：4C是。。的切線；

(2)若。B=10,CD=8,求EB的長(zhǎng).

51.如圖，四邊形/BCD是菱形，以N2為直徑作。。，交CB于點(diǎn)F,點(diǎn)E在CD上，且CE=

CF,連接/E.

(1)求證：NE是。。的切線；

(2)連接NC交。。于點(diǎn)P,若AP=虛,BF=\,求。。的半徑.

52.如圖，在中，ZBAC=90°,8。是角平分線，以點(diǎn)。為圓心，。/為半徑的。。與/C

相交于點(diǎn)E.

⑴求證：8c是。。的切線；

(2)若48=5,2c=13,求CE的長(zhǎng).

53.如圖，N8是。。的直徑，AM,8N分別切。。于點(diǎn)N,B,CD交AM,BN于■點(diǎn)、D,C,。。平

分/ADC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若/。=4,BC=9,求。。的半徑R.

54.如圖，N8為。。的直徑，PD切。。于點(diǎn)C,與反4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，Z)E_LPO交尸。延長(zhǎng)

線于點(diǎn)￡,連接OC,PB,己知依=6,DB=8,/EDB=NEPB.

(1)求證：尸8是。。的切線；

(2)求。。的半徑.

(3)連接2E,求的長(zhǎng).

55.（2023?遼寧大連中考）如圖1,在。。中，為。。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，AD為NCAB

的平分線交。。于點(diǎn)。，連接交3C于點(diǎn)月

圖1圖2

⑴求4瓦）的度數(shù)；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)/作。。的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作DG〃AF交AB于點(diǎn)、G.若AD=2后,

DE=4,求DG的長(zhǎng).

【題型15］結(jié)合三角函數(shù)求線段長(zhǎng)

56.（2023?四川成都中考）如圖，以“BC的邊/C為直徑作O。，交BC邊于點(diǎn)、D,過(guò)點(diǎn)C作

CE〃AB交OO于點(diǎn),E,連接40,DE,AB=ZADE.

（1）求證：AC=BC；

（2）若tan3=2,CD=3,求22和的長(zhǎng).

57,（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考）如圖，以48為直徑的。。與的邊2C相切于點(diǎn)2,且與/C

邊交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡為8c中點(diǎn)，連接DE、BD.

(1)求證：DE是。。的切線；

4

⑵若DE=5,cosZABD=~,求?！甑拈L(zhǎng).

58.(2023?四川樂(lè)山中考)如圖，已知。。是Rt448C的外接圓，//C8=90。，。是圓上一點(diǎn)，￡

是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AD,AE,且AD=AE,CA=CE.

(1)求證：直線/E是。。是的切線；

2

(2)若sinE=§,。。的半徑為3,求的長(zhǎng).

59.(2023?內(nèi)蒙古赤峰中考)如圖，是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作CO1/3于點(diǎn)￡,

交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是NB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CF,AD,NFCD=2NDAF.

/\

OEIff/

⑴求證：CF是。。切線；

2

(2)若4產(chǎn)=10,sin尸=§,求CO的長(zhǎng).

60.(2023?甘肅武威中考)如圖，內(nèi)接于。。，力5是。。的直徑，。是。。上的一點(diǎn)，CO

平分/BCD,CEA.AD,垂足為E,22與C。相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：CE是。。的切線；

3

⑵當(dāng)。。的半徑為5,sin3='時(shí)，求CE的長(zhǎng).

61.(2023?湖南衡陽(yáng)中考)如圖，是。。的直徑，/C是一條弦，。是就的中點(diǎn)，DEJ.AB于

點(diǎn)、E,交/C于點(diǎn)R交。。于點(diǎn)“，DB交AC于點(diǎn)G.

II、--

(1)求證：AF=DF.

(2)若4F=g,sinN/8O=S，求的半徑.

62.如圖，已知4B是。。的直徑，PB是。。切線，C是。。上的點(diǎn)且ACIIOP.

(1)求證：PC是。。的切線;

(2)若乙4=60。,AB=4,求PC長(zhǎng).

63.(2023?寧夏中考)如圖，已知是。。的直徑，直線。C是。。的切線，切點(diǎn)為C,

AEVDC,垂足為E.連接/C.

(1)求證：NC平分N84E1；

3

(2)若/C=5,tanZACE=~,求。。的半徑.

64.(2023?遼寧沈陽(yáng)中考)如圖，NB是。。的直徑，點(diǎn)。是。。上的一點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)A,B重

合)，連接/c、3C,點(diǎn)。是A8上的一點(diǎn)，AC=AD,AE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,且

BE=BC.

(1)求證：AE1是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,ta巫=；,則AE的長(zhǎng)為

65.(2023?浙江湖州中考)如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,點(diǎn)。在邊NC上，以點(diǎn)。為圓心,

OC為半徑的半圓與斜邊相切于點(diǎn)。，交。4于點(diǎn)E,連結(jié)08.

(1)求證：BD=BC.

⑵已知0c=1,NN=30。，求48的長(zhǎng).

66.(2023?湖南湘西中考)如圖，點(diǎn)。，E在以NC為直徑的。。上，,4DC的平分線交。。于點(diǎn)

B,連接R4,EC,EA,過(guò)點(diǎn)E作E/fLNC,垂足為〃，交4D于點(diǎn)尸.

(1)求證：AE2=AF-AD

9反

(2)^sinAABD=-y-,AB^5,求的長(zhǎng).

67.如圖，48是O。的直徑，點(diǎn)P是O。外一點(diǎn)，P4切O。于點(diǎn)4連接0P,過(guò)點(diǎn)8作BCIIOP交O。

于點(diǎn)C,點(diǎn)E是通的中點(diǎn)，且4B=10,BC=6.

(1)PC與。。有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

(2)求CE的長(zhǎng).

68.(2023?山東濟(jì)南中考)如圖，AB,CD為。。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與N8

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,48c=2/BCP,點(diǎn)E是麗的中點(diǎn)，弦CE,RD相交于點(diǎn)E.

(1)求/。四的度數(shù)；

(2)若E尸=3,求。。直徑的長(zhǎng).

69.(2023?遼寧錦州中考)如圖，NE為。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，與。。相切于點(diǎn)與OC

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)8作交NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

(1)求證：AB=BD；

3

⑵點(diǎn)尸為。。上一點(diǎn)，連接昉，BF,BF與AE交于點(diǎn)、G.若NE=45。,AB=5,XanAABG^-,

求。。的半徑及的長(zhǎng).

70.(2023?遼寧丹東中考)如圖，己知48是。。的直徑，2。是。。的弦，點(diǎn)尸是。。外的一點(diǎn)，

PCLAB,垂足為點(diǎn)C,PC與8。相交于點(diǎn)E,連接P。，且PD=PE,延長(zhǎng)PD交24的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)F.

(1)求證：PD是。。的切線；

74

(2)若。尸=4,PE=~,cosZPFC=-,求3E的長(zhǎng).

71.(2023?遼寧丹東中考)如圖，已知48是。。的直徑，是。。的弦，點(diǎn)尸是。。外的一點(diǎn)，

PCLAB,垂足為點(diǎn)C,PC與8。相交于點(diǎn)E,連接P。，且PD=PE,延長(zhǎng)PD交64的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)F.

(1)求證：是。。的切線；

74

(2)若。尸=4,尸￡=,，cosZPFC=-,求BE的長(zhǎng).

72.(2023?遼寧鞍山中考)如圖，四邊形/3CD內(nèi)接于OO,48為。。的直徑，過(guò)點(diǎn)。作。尸18C,

交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交R4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,連接AD.若/EAD+NBDF=180°.

(1)求證：跖為。。的切線.

2

⑵若3E=10,sinZBDC=-,求。。的半徑.

73.(2023?四川內(nèi)江中考)如圖，以線段A8為直徑作。。，交射線/C于點(diǎn)C,AD平分/CAB交

。。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作直線。交/C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足連接3。

并延長(zhǎng)交NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

(1)求證：直線。E是。。的切線；

(2)當(dāng)々=30。時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；

⑶在(2)的條件下，ME=l,連接3c交4D于點(diǎn)尸，求/尸的長(zhǎng).

74.(2023?新疆中考)如圖，48是的直徑，點(diǎn)C,尸是上的點(diǎn)，且NCBF=NBAC,連

接4F,過(guò)點(diǎn)C作/尸的垂線，交/尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，交43的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)尸作

FG，AB于點(diǎn)、G,交4c于點(diǎn)H.

⑴求證：CE是。。的切線；

3

(2)若tan￡=w，BE=4,求F”的長(zhǎng).

75.(2023?山東中考)如圖，4B為OO的直徑，C是圓上一點(diǎn)，。是數(shù)的中點(diǎn)，肱DEJ.AB,

垂足為點(diǎn)F.

(1)求證：BC=DE；

(2)P是初上一點(diǎn)，AC=6,BF=2,求tan/APC；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)CP是//C5的平分線時(shí)，求。尸的長(zhǎng).

76,(2023?內(nèi)蒙古呼和浩特中考)已知在RtZ\23C中，NACB=9。。,BC=6,AC=8,以邊/C

為直徑作。。，與N8邊交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為邊3c的中點(diǎn)，連接DW.

(1)求證：DM是。。的切線；

⑵點(diǎn)戶為直線3c上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接在交。。于點(diǎn)0,連接CQ.

①當(dāng)tanZ84P=；時(shí)，求8尸的長(zhǎng)；

②求當(dāng)?shù)淖畲笾?

AP

77.(2023?四川雅安中考)如圖，在RtA43C中，ZABC=90°,以N5為直徑的。。與/C交于點(diǎn)

。，點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，連接2。，DE.

(1)求證：DE是。。的切線;

(2)若。E=2,tan/BNC=；,求工。的長(zhǎng);

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，求尸N+P8的最大值.

【題型16］結(jié)合相似求線段長(zhǎng)

78.如圖，“3C是。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,/A4c=120。，。是3C邊上一點(diǎn)，連接并

延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E.若/。=2,DE=3,則。。的半徑為()

A

c.2V10D.35/10

是。。的直徑，AB=2M,O。的弦CDL48于點(diǎn)E,

CD=6.過(guò)點(diǎn)C作。。的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接3C.

(1)求證：BC平分NDCF；

(2)G為石上一點(diǎn)，連接CG交AB于點(diǎn)〃，若CH=3GH,求8〃的長(zhǎng).

80.(2023?四川眉山中考)如圖，“3C中，以28為直徑的OO交3C于點(diǎn)E.AE平分/B4C,

過(guò)點(diǎn)￡作瓦?，工。于點(diǎn)。，延長(zhǎng)交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

c

⑴求證：PE是。。的切線；

⑵若sinNP=；,8P=4,求C。的長(zhǎng).

81.（2023?青海西寧中考）如圖，是。。的弦，半徑008,垂足為。，弦CE與4B交于點(diǎn)

F,連接/E,AC,BC.

⑴求證：NBAC=NE；

（2）若43=8,DC=2,CE=3A/10,求CF的長(zhǎng).

82.（2023?江蘇蘇州中考）如圖，A/8C是。。的內(nèi)接三角形，A8是。。的直徑，

AC=#,BC=2垂，點(diǎn)尸在N8上，連接CF并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)D,連接B。，作8EJ_CD,

垂足為E.

B

D

(1)求證：ADBEsAABC；

(2)若NF=2,求的長(zhǎng).

83.（2023?河南中考）如圖，尸/與。。相切于點(diǎn)4PO交。。于點(diǎn)3,點(diǎn)C在尸/上，且

CB=CA.若。4=5,PA=12,則O的長(zhǎng)為.

84.（2023?湖南常德中考）如圖，四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，48是直徑，C是麗的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)C作CE，4D交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：CE是。。的切線；

（2）若BC=6,AC=8,求的長(zhǎng).

85.（2023?山東聊城中考）如圖，在RtZ\48C中，ZACB=9Q°,/胡C的平分線/。交3C于點(diǎn)

—4DC的平分線。E交/C于點(diǎn)￡.以上的點(diǎn)。為圓心，0。為半徑作O。，恰好過(guò)點(diǎn)￡.

A

3

⑵若CD=12,tanZABC=-,求。。的半徑.

86.（2023?四川中考）如圖，48為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，連接NC,BC,過(guò)點(diǎn)C作。。

的切線交48延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，。下，8C于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

C

3,

（2）^4sinZG4B=—,AB=10,求8。的長(zhǎng).

87.（2022?新疆中考）如圖，。。是“3C的外接圓，N8是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上,

AC^CD,連接延長(zhǎng)DB交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)瓦

C

⑵求證：BEVCE■

(3)若/C=4,BC=3,求的長(zhǎng).

88.（2022?湖北恩施中考）如圖，尸為。。外一點(diǎn)，PA、尸3為。。的切線，切點(diǎn)分別為/、B,直

線尸。交。。于點(diǎn)。、E,交Z2于點(diǎn)C.

(1)求證：ZADE=ZPAE.

(2)若N/DE=30°,求證：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求C￡的長(zhǎng).

89.(2022?四川遂寧中考)如圖，0。是的外接圓，點(diǎn)。在5c上，/R4C的角平分線交。。

于點(diǎn)。，連接5D,CD,過(guò)點(diǎn)。作的平行線與/C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：PD是。。的切線；

⑵求證：AABDsaCP；

(3)若48=6,AC=8,求點(diǎn)。到AD的距離.

90.(2023?四川宜賓中考)如圖，以28為直徑的。。上有兩點(diǎn)E、F,BE^EF，過(guò)點(diǎn)E作直線

CA_LN尸交Z尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，交N8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,過(guò)C作CM平分//CO交4E于點(diǎn)

(1)求證：CD是。。的切線;

⑵求證：EM=EN-

(3)如果N是CW的中點(diǎn)，且/8=96，求EN的長(zhǎng).

91.(2022?廣西柳州中考)如圖，已知是。。的直徑，點(diǎn)E是。。上異于/,3的點(diǎn)，點(diǎn)尸是詼

的中點(diǎn)，連接AF,BF,過(guò)點(diǎn)尸作尸交NE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,交N5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡),

N4DC的平分線DG交于點(diǎn)G,交FB于點(diǎn)、H.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)求sinZFHG的值；

@若GH=4亞,HB=2,求。。的直徑.

92.(2022?貴州安順中考)如圖，42是OO的直徑，點(diǎn)E是劣弧2。上一點(diǎn)，NPAD=NAED,且

DE=42,4E平分/BAD,AE與BD交于點(diǎn)F.

(1)求證：尸/是。。的切線；

歷

(2)^tanADAE=,求E尸的長(zhǎng)；

(3)延長(zhǎng)。E,交于點(diǎn)C,若OB=BC,求OO的半徑.

93.(2023?湖北中考)如圖，等腰內(nèi)接于O。，AB=AC,8。是邊NC上的中線，過(guò)點(diǎn)C

作48的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,BE交OO于點(diǎn)、F,連接尸C.

(1)求證：NE為。。的切線；

⑵若。。的半徑為5,BC=6,求尸C的長(zhǎng).

94.（2023?內(nèi)蒙古通遼中考）如圖，N3為。。的直徑，D,E是上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)A8至點(diǎn)C,

⑵求證：CD是。。的切線；

3

（3）若tanE=M，NC=10,求OO的半徑.

95,（2023?內(nèi)蒙古中考）如圖，N8是。。的直徑，￡為。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是初的中點(diǎn)，連接3C,

過(guò)點(diǎn)C的直線垂直于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

（2）若PC=2也BO,尸8=10,求8E的長(zhǎng).

96.（2023?陜西中考）如圖，A/5C內(nèi)接于。。，ABAC=45°,過(guò)點(diǎn)8作3C的垂線，交。。于點(diǎn)

D,并與C/的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,作BF/4C,垂足為朋,交。。于點(diǎn)尸.

⑵若。。的半徑r=3,BE=6,求線段戰(zhàn)的長(zhǎng).

97.（2023?遼寧盤(pán)錦中考）如圖，A/BC內(nèi)接于O。，為。。的直徑，延長(zhǎng)/C到點(diǎn)G,使得

CG=CB,連接G8,過(guò)點(diǎn)C作CD〃G8,交48于點(diǎn)尸，交點(diǎn)。。于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作

DE//AB.交G3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：DE與。。相切.

（2）若/C=4,BC=2,求5E的長(zhǎng).

【題型17］利用旋轉(zhuǎn)變換求線段長(zhǎng)

98,（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特中考）如圖，A/5C內(nèi)接于。。且//CB=90。，弦CD平分NNCB,連

接ND,BD.若4B=5,AC=4,則,CD=.

模塊四以圓為背景的陰影部分面積問(wèn)題

【題型18］和差法（割補(bǔ)）

99.如圖，以邊長(zhǎng)為2的等邊頂點(diǎn)/為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，恰好與邊相切，分

別交NSNC于D,E,則圖中陰影部分的面積是（）

（6一加道71

n~~3D.V3-^

如圖，在扇形045中，已知N495=90°,04=2,過(guò)AB的中點(diǎn)。作CE工OB,垂足分

別為點(diǎn)。，E,則圖中陰影部分的面積為（

A.H-1B.TT-2C.Ji-4D.5—1

100.（2022?山西?中考真題）如圖，扇形紙片/。8的半徑為3,沿N8折疊扇形紙片，點(diǎn)。恰好落

在標(biāo)上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（）

A.3兀-3KC.2兀-36

101.如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△N2C,分別以點(diǎn)/,B,C為圓心，以N8

長(zhǎng)為半徑作曲，AC,AB,三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形.如果一個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)

為2m則此曲邊三角形的面積為（）

A.2TT-2V3B.2TT-V3C.2nD.TT—y/3

102.（2023?湖北鄂州中考）如圖，在A/3C中，ZABC=90°,乙4c3=30。，AB=4,點(diǎn)、。為BC

的中點(diǎn)，以。為圓心，03長(zhǎng)為半徑作半圓，交/C于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是（）

A

D

A.5A/3-—B.56-47C.573-2/rD.10君一2萬(wàn)

3

1廠1廠60%x(2g『

S陰影=^AACB一SRCOD一$扇形＜?B=3x4x4J3--xV3x6—=5v312n

22JoU

2一

103.如圖，在口/BCD中，AD=^AB,N24D=45°,以點(diǎn)/為圓心、/。為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)

E,連接CE,若AB=3a,則圖中陰影部分的面積是

104.如圖，直徑為6的半圓，繞“點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,此時(shí)點(diǎn)8到了點(diǎn)玄，則圖中陰影部

分的面積是.

105.在中，已知N/8C=90°,ZBAC=30°,BC=1.如圖所示，將△/3C繞點(diǎn)/按逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后得到△N?。.則圖中陰影部分的面積為

106.（2023?浙江衢州中考）如圖，在RtZ\4BC中，4cB=90。，。為/C邊上一點(diǎn)，連結(jié)。8,

以O(shè)C為半徑的半圓與邊相切于點(diǎn)。，交4c邊于點(diǎn)E.

隊(duì)

(1)求證：BC=BD；

⑵若。8=04,AE=2,①求半圓。的半徑；②求圖中陰影部分的面積.

107.(2023?山東濰坊中考)如圖，正方形48c。內(nèi)接于。O,在標(biāo)上取一點(diǎn)E,連接/E,

DE.過(guò)點(diǎn)/作/G1/E,交。。于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)、F,連接CG,DG.

(2)若N3=2,NBAE=30°,求陰影部分的面積.

108.(2022?內(nèi)蒙古通遼中考)如圖，在放A/08中，4402=90。，以。為圓心，。的長(zhǎng)為半徑

的圓交邊48于點(diǎn)。，點(diǎn)C在邊CM上且CD=/C,延長(zhǎng)C0交08的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：CD是圓的切線；

(2)已知sin/OCD=g,AB=4^,求ZC長(zhǎng)度及陰影部分面積.

109.(2023?湖南懷化中考)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，P4與O。相切于點(diǎn)A,

點(diǎn)C為。。上的一點(diǎn).連接PC、AC,0C,且尸。=尸/.

Pz

(1)求證：尸C為。。的切線;

(2)延長(zhǎng)尸C與4B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，求證：PDOC=PA-OD；

(3)若/C48=30。，00=8,求陰影部分的面積.

110.(2022?湖南益陽(yáng)中考)如圖，C是圓O被直徑N3分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線

交N8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接C4,CO,CB.

(1)求證：ZACO^ZBCP；

(2)若/ABC=2/BCP,求NP的度數(shù)；

⑶在(2)的條件下，若48=4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留兀和根號(hào)).

【題型19］拼接法(等積變形)

111.如圖，菱形。N2C的三個(gè)頂點(diǎn)B,C在。。上，對(duì)角線/C,。5交于點(diǎn)D,若。。的半徑

V3有

A.2KB.6TTC.D.V3n

112.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形/BCD中，以為直徑畫(huà)半圓，則陰影部分的面積是()

A.9B.6C.3