2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的零點問題 專項訓(xùn)練【含答案】

微專題3函數(shù)的零點問題

［考情分析］本專題考查求函數(shù)零點、零點個數(shù)的判斷以及零點所在區(qū)間、求參數(shù)取值范圍

等方面.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，有時難度較大.

■思維導(dǎo)圖

一解方程求函數(shù)的零點

基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖象」

必備常見-判斷函數(shù)零點的個數(shù)

函數(shù)零點的定義一一

知識函題型-根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍

函數(shù)零點存在定理一數(shù)

的一嵌套函數(shù)的零點問題

零

點

定義法一問「忽略函數(shù)圖象的畫法

必備題常見

數(shù)形結(jié)合法一一-忽略參數(shù)范圍端點值的取舍

解法一誤區(qū)

利用零點存在定理求零點一—忽略等價轉(zhuǎn)化的形式是否正確

______________________________________

考點一函數(shù)零點個數(shù)的判斷

【典例1】(2023?揚州模擬)設(shè)函數(shù)40的定義域為R,火-x)=/(x),火x)=A2—x),當x￡［0,l］

――13

時，人勸=必，則函數(shù)g(X)=|cOS7LX|—/(X)在區(qū)間L'2_J上零點的個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

答案D

解析由八-工)=危)，得益)的圖象關(guān)于》軸對稱，由次x)=/(2—x),得人x)的圖象關(guān)于直線

x=l對稱，

令g(x)=|cosnx\―段)=0,得|cos7LY|=/(X)，

3

函數(shù)》=|cos必是周期為1的偶函數(shù),當、引0,1］時，J(X)=X9

在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)丁=/)在［-1,2］上的圖象，函數(shù)》=|COS7LX|在］'2_1上的圖象，如

圖，

y

1

W/\//|\\y=lcos7Tx\

—1-

觀察圖象知，函數(shù)y=/(x)與＞=|cosM的圖象在1'2」上有7個交點,

—1-

所以函數(shù)gG)=|C0S7Lx|一/)在區(qū)間［'2」上零點的個數(shù)為7.

跟蹤訓(xùn)練1(2023?杭州模擬)已知函數(shù)夕=%)是定義在R上的偶函數(shù)，且"+1)=加-1),

當xG［0,l］時，/)=2工一1,則函數(shù)g(x)=/(x)—lgx的零點個數(shù)為()

A.6B.7C.8D.9

答案D

解析由Hx+l)=/(x—1),得次x+2)=/(x),所以“c)是以2為周期的函數(shù).

又函數(shù)y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當xe［0,l］時，危尸2」1,

根據(jù)已知，作出函數(shù)y=/(x)的圖象，以及y=lgx的圖象，

Z1246810*

7=lgx

因為lgl0=l,所以Ig8<lg9<l,由圖象可知，y=/(x)與y=lgx的交點共有9個，

所以函數(shù)g(x)=/(x)—Igx的零點個數(shù)為9.

考點二根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍

【典例2】(2023?昆明模擬)已知函數(shù)人x)滿足/(x+2)=Xx),當時，￡0=爐.函數(shù)g(x)

(a>0且aW1),若函數(shù)〃(x)=兀0—g(x)在區(qū)間［-17,5］上恰有20個零點,

logfl(x—1),x>\

則實數(shù)a的取值范圍為

答案(2,4)

解析因為函數(shù)〃(》)=加)一8(X)在區(qū)間［—17,5］上恰有20個零點,

則函數(shù)｛x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間［-17,5］上有20個交點,

由人x+2)=Ax),知人x)是周期為2的函數(shù)，

作出函數(shù)人x)與函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示.

斗

2

1?2345%

易知當xG［—17,1］時，函數(shù)負#)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有17個交點，故在(1,5］上有3個交

點，

顯然0<°<1不滿足題意，

a>\,

所以logfl(3-l)<l,解得2<a<4.

logfl(5—1)>1,

跟蹤訓(xùn)練2(2023?銀川模擬)已知函數(shù)/(x)滿足人x)=/(x+2),且段)是偶函數(shù)，當xd［—1,0］

?=x2,若在區(qū)間［—1,3］內(nèi)，函數(shù)g(x)=/a)—logR有2個零點，則實數(shù)。的取值范圍

是.

答案［3,+°°)

解析當x￡(O,l]時，一工￡[—1,0),/(%)=/(—x)=(—x)2=X2;

故x￡[—1,1]時，氏x)=x2,

當x￡(l,3]時，x-2e(-l,l],即人工)=加-2)=。-2)2.

g(x)=/(x)—logaX=0，即/(X)=logaX,火3)=1,

畫出函數(shù)圖象，如圖所示.

y=fix)yTogJ

23冗

當OVQVI時，y=/(x)與y=logM的圖象最多有一個交點，不滿足題意；

當a>\時，要使y=/(x)與y=logaX的圖象在內(nèi)有兩個交點，則loga3〈l,即loga3^1og^,

。23.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是［3,+8).

考點三嵌套函數(shù)的零點

4,2工％V0

【典例3】已知函數(shù)外)=,‘、'若關(guān)于x的方程順x))=0有且僅有一個實數(shù)根，則

logzx,x>0,

實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,0)B.(一8,0)U(0,l)

C.(0,1)D.(0,1)U(l,+8)

答案B

解析令"=義的，則人式)=0.

①當a—0時，若"W0,人")=0；

若〃>o,由=iog2〃=0,得〃=i.

所以由歡x))=0可得/(x)W0或火x)=l.

如圖所示，

“=於)

滿足")W0的X有無數(shù)個，方程加)=1只有一個解，不滿足題意；

②當aWO時，若“W0,則/(w)=a-2"W0；若〃>0,由人")=log2"=0,得z/=l.

所以由歡x))=0可得以)=1,

當X>0時，由fix)=log2X=1,可得X=2,

因為關(guān)于X的方程/(x))=0有且僅有一個實數(shù)根，則方程加)=1在(一8,0］上無解,

若0>0且xWO,於)=0-2工6(0,a］,故0<a<l；

若a<0且xWO,/(x)=a-2，y0,滿足題意.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是(一8,O)U(O,1).

跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)/(x)=-''若關(guān)于x的方程#(x)+y(x)+f=O有三個不同

lg(—x),x<0,

的實數(shù)根，貝心的取值范圍為()

A.(-8,-2]

B.[1,+0°)

C.[-2,1]

D.(-8,-2]U[1,+°o)

答案A

解析作出人x)的圖象，如圖所示，令=

當m<l時，y=/(x)與y=m的圖象有1個交點，即加)=機有1個根，

當機21時，y=/(x)與>=機的圖象有2個交點，即加)=〃?有2個根,

y=m

O~~x

則關(guān)于x的方程/2(%)+火%)+/=()轉(zhuǎn)化為m2+m+t=0,

由題意得4=12—4?0,解得《―,

=—1+#—4t

2==

方程m+m+/0的兩根為mi，加2=

因為關(guān)于X的方程f\x)+Ax)+t=O有三個不同的實數(shù)根,

Z

-1~V14Z<1

2

解得fW—2,滿足題意.

[總結(jié)提升]

關(guān)于已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函

數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

熱點突破

1.已知函數(shù)人x)=?''g(x)=X%)+x+Q.若g(x)存在2個零點，則。的取值范圍是

Inx,x＞0,

()

A.［-1,0)B.［0,+8)

C.［-1,+8)D.［1,+°0)

答案C

解析令〃(x)=-x—a,

則g(x)=Ax)-A(x).

在同一坐標系中畫出y=?x),y=/z(x)圖象的示意圖，如圖所示.

若g(x)存在2個零點，則y=/(x)的圖象與y=//(x)的圖象有2個交點，平移了=〃任)的圖象可

知，當直線y=-x-a過點(0,1)時，有2個交點，

此時1=10—a,a=-1.

當y=-x—a在y=—x+1上方，即a＜一1時，僅有1個交點，不符合題意；

當y=-x—a在y=-x+1下方，即。＞一1時，有2個交點，符合題意.

綜上，。的取值范圍為［-1,+0°).

2.(2023?成都模擬)已知定義域為R的奇函數(shù)｛x)滿足人x+4)—/(x)=A2),當xd(0,2)時，?

=2x2—3x+l,則函數(shù)y=/(x)在［―4,4］上零點的個數(shù)為()

A.10B.11C.12D.13

答案D

解析因為是定義域為R的奇函數(shù)，

所以人0)=0.

因為｛x+4)—Ax)=A2),

令x=—2,得八-2+4)=人-2)+人2),

即人2)=人一2)+人2),所以八一2)=0.

又因為外)為奇函數(shù)，

所以人2)=一八-2)=0,

所以"+4)=/(x)+/(2)=Ax),

所以外)是以4為周期的周期函數(shù).

根據(jù)周期性及奇函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)了=加)在［—4,4］上的圖象，如圖.

由圖可知,函數(shù)y=/(x)在［―4,4］上的零點有一4,—3.5,—3,—2,—1,—0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4,

共13個零點.

-X3

3.(2023?蚌埠二中模擬)已知xi+21=0,x2+log2X2=0,3-log2X3=0,貝ij()

A.Xl<X2<X3B.X2<X1<X3

C.X1<X3<X2D.X2<X3<Xl

答案A

解析設(shè)函數(shù)段)=x+2，，易知40在R上是增函數(shù)，

赦=1，

即人-1求0)<0，

由零點存在定理可知一1<處<0；

設(shè)函數(shù)g(x)=x+log2X,

易知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

U=_;g(i)=i,

即g[i]g(l)<0,

由零點存在定理可知!<X2<1；

2

設(shè)函數(shù)〃(%)=匕]—10g2X,

易知〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

h(X3)=0,

因為h(l)>h(X3),

由函數(shù)單調(diào)性可知143,

即—1<X1<0<X2<1<X3.

4.已知函數(shù)外)=?'/'若函數(shù)g(x)=/a)—依2—2可(左￡R)恰有4個零點，則左的取

、—x,x<0.

值范圍是()

A（—8,一）（2也,+co）

48,—1]「

B.lJU（O,2V2）

C.（—8,o）u（0,2^2）

D.（一8,0）U（2也，+°°）

答案D

解析方法一注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4個零點，只需方程原一2|=堂恰有3

慟

個實根即可.

令砥v)=?,即》=依一2|與7z(x)="助的圖象有3個交點.

團kl

2

危）lx,x>0,

h（x）=

IM[1,x<0.

當左=0時，此時＞=也一2|=2,如圖①，歹=2與％(%)="0的圖象有1個交點，不滿足題意；

慟

當左＜0時，如圖②，此時y=|自一2|與〃(x)=?的圖象恒有3個交點，滿足題意；

慟

當左＞0時，如圖③，由—2與＞=/聯(lián)立，得/—Ax+2=0,令/＞0,得左之一8＞0,解得

綜上，后的取值范圍為(-8,0)U(2^,+°°).

方法二由方法一知y=|履一2|與/6)=回的圖象有3個交點，令人=一』，檢驗知符合題意,

國2

可排除選項A,B；令左=1,檢驗知不符合題意，可排除選項C.

方法三函數(shù)g(x)有4個零點，即＞=/)與＞=依2—2x|的圖象有4個交點，函數(shù)＞=信)的圖

象如圖④.

①若左=0,則^=依2-2X|=|-2X|=|2X],兩函數(shù)圖象不可能有4個交點，

②若左＞0,令》=收2—2%|=0,解得％=0或%=-,如圖⑤.

當x〈0時，一］=點2-2%無解，此時兩函數(shù)圖象無交點.

當x＞—時，由后:?l2x=x3,得N—fcr+2=0.

k

由/＞0,得上2—8＞0,解得左＞2/或右一2/(舍去)，

此時有兩實根X=MT.

2

當人＞2/時，兩函數(shù)圖象有2個交點.

當OWxW2時，由一kx2-\-2x=xi,

k

得x(x2+fa:-2)=0,

此時有兩實根xi=O,也=—1+：)+8,兩函數(shù)圖象有2個交點.

2

因此，當人＞23時，兩函數(shù)圖象有4個交點，排除B,C.

③若后＜0,取左=—1驗證，如圖⑥，兩函數(shù)圖象有4個交點，排除A.

3

5.(多選)已知定義在R上的函數(shù)外)滿足八一x)=/(x),{2一勸=—段)，且當xd［—1,0］時,

j［x)=~\~x,貝U()

A.段)的圖象關(guān)于點(一1,0)對稱

B.八x)在區(qū)間［5,6］上單調(diào)遞減

C.若關(guān)于x的方程八》)=加在區(qū)間［0,6］上的所有實數(shù)根的和為g,則：

D.函數(shù)y=/(x)Tn|x|有4個零點

答案ACD

解析方法一由八一x)=?x)可得函數(shù)人X)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，

由大2—x)=-/(x)可得人x)圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

:點(1,0)關(guān)于y軸的對稱點為(一1,0),

A正確；

函數(shù)次x)的周期為T=4|l—0|=4,可得/(%)的圖象如圖，火x)在區(qū)間［5,6］上單調(diào)遞增，B錯誤;

對于C,由題意可知冽的取值范圍只可能是0＜冽＜1或一1＜冽＜0,

由圖知方程外)=冽在區(qū)間［0,6］上有3個實數(shù)根，設(shè)從小到大依次為％1,X2,x3,

當0＜優(yōu)＜1時，巨產(chǎn)=2,?￡(5,6),

**.X1+工2+%3=2義2+工3，

os1a

由2義2+冷=?，解得乃=羊莊(5,6),則不符合題意，

當一1＜根＜0時，必產(chǎn)=4,xie(o,l),

**.X1H-X2-I-X3=2X4+xi,

7S1

由2X4+?=—,解得xi=一￡(0,1),

33

...小亍日寸(J=一C正確；

對于D,易知y=x—1為y=lnx在點(1,0)處的切線，

數(shù)形結(jié)合可判斷")的圖象與y=ln|x|共有4個交點，D正確.

方法二八一的=加)，則於)為偶函數(shù)，｛2—x)=-/(x),則八2—x)+〃)=0,①

則八一2+x)十x)=0,可知於)關(guān)于點(-1,0)對稱,A對；

1.?/2-x)=-Ax)=-X-x),

.-.^2+%)=-?,

.,./4+x)=-/(2+x)=Ax),則“c)是以4為周期的周期函數(shù)，

小)在［—1,0］上單調(diào)遞減，則加0在［0,1］上單調(diào)遞增，

又由①知於)關(guān)于點(1,0)對稱,則火X)在［1,2］上單調(diào)遞增,則於)在［5,6］上單調(diào)遞增,B錯;

當0WxW2時，y(x)=x-l；

當2Wx＜4時，flx)=~x+3；

當4WxW6時，於)=工一5,

當一1V初＜0時，方程/(%)=以有三個根xi,X2,X3,

,。1

X2十%3=8,Xl=~,

3

.112

..m=----1=-----,

33

當0＜冽＜1時，/(%)=加有三個根X4,X5,X6,

必+%5=4,.,?％6="，不滿足題意，.,?冽=—2,C對；

33

y=x—l與y=lnx相切，只有一個交點，y=—x+3與y=lnx有且僅有一個交點,

?\Ax)與y=ln|x|在(0,+8)上有且僅有兩個交點，

，歹=於)—ln|x|有且僅有四個零點，D對.

A.A-3)+X2019)=-3

B.八x)在區(qū)間［4,5］上單調(diào)遞增

C.若方程｛x)=&+l恰有3個實數(shù)根，則』一5'T

D.若函數(shù)＞=段)一b在(一8,4)上有6個零點為(i=1,2,3,4,5,6),則錯誤!看心,)的取值范圍是

(0,6)

答案BCD

解析因為八-3)=—3,人2019)=火1+2018)=｛1)=義-1)=1,

所以八一3)+八2019)=—2,所以A錯誤；

作出函數(shù)圖象如圖所示，

由圖象知選項B正確;

若方程｛x)=Ax+l恰有3個實數(shù)根，則函數(shù)外)的圖象與直線＞=履+1有3個交點，

又直線y=fcv+l過點(0,1),所以當直線位于過點(2,0)與點(4,0)之間(不含端點)時，有3個交

點，

1—011—01

又過點(2,0)時，k=----=——,過點(4,0)時，k=----=——,

0-220-44

所以若方程危)=履+1恰有3個實數(shù)根，則』一2’一力，所以C正確;

函數(shù)y=/(x)—6在(-8,4)上有6個零點，即函數(shù)於)的圖象與直線y=6在(-8,4)上有6

個交點，

由函數(shù)人》)圖象知0<6<1,%1+%2+X3+X4+%5+%6=2X(—1)+2X1+2義3=6,

所以錯誤!刈(為)=66￡(0,6),所以D正確.

7.設(shè)於)，g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，危)的周期為4,g(x)的周期為2,且｛x)是奇

左(%+2),O〈xWL

函數(shù).當xe(o,2］時，")=yi—(X—1)2,g(x)=,_1